공데셍

주로 수치해석 관련 전공서에서 다음과 같은 수식을 종종 볼 수 있다. $$ f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \dfrac{f''(x)}{2}h^2 + \dfrac{f'''(x)}{6}h^3 + ... $$ (주로 $h>0$ 인 경우이다. $h

다음 식을 만족하는 벡터 $\vec{x}$ 를 eigen vector, $\lambda$ 를 eigen value 라고 정의한다. $$ \textbf{A}\vec{x} = \lambda\vec{x} $$ 이를 말로 풀어서 쓰면, 선형변환 $\textbf{A}$ 으로 벡터 $\vec{x}$ 를 변환시켜도 벡터가 회전되지 않고 같은 방향 또는 반대의 방향으로 늘어나거나 줄어들기만 하는 특수한 벡터가 있는데, 이렇게 방향이 유지되는 벡터가 eigen vector 이고 늘어나는 정도가 eigen value가 된다. Eigen vector, eigen value를 구하기 위해 우선 식을 변형 하자. $\lambda \vec{x} = \lambda \textbf{I} \vec{x}$ 이므로 이렇게 바꾸고 정리하면 ..

크기가 $n$ 인 벡터 $\vec{x}$ 에 대해 p-$\infty$ Norm 의 정의는 다음과 같다. $$ \lVert \vec{x} \rVert_\infty = \lim_{p \to \infty} \left( |x_1|^p + |x_2|^p + |x_3|^p + \cdots + |x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}} $$ 그리고 많은 전공서에서 위 식이 다음과 같은 식과 같다는 것을 증명 없이 기재해 놓았다. $$ \lVert \vec{x} \rVert_\infty = \underset{j}{\max}|x_j| $$ 이 것의 증명에는 압축 정리(Squeeze theorem)의 아이디어가 이용된다. 우선 다음이 성립함을 관찰하자. $$ \begin{align} \lVert \vec{x} ..

보간(Interpolation)이란 데이터가 충분하지 못하고 이산적으로 띄엄띄엄 주어져 있을 때 주어진 데이터들을 적절한 곡선으로 이어서 주어지지 않은 데이터 값을 가상으로 만들어 내주는 작업을 말한다. 이론적이 아닌 현실의 상황에서는 데이터를 정확하게 표현하는 함수를 알기 힘들고 측정을 통해 데이터를 띄엄띄엄 얻어낼 수 밖에 없는 상황이 많다. 하지만 측정되지 않은 구간에서의 데이터가 필요할 때가 많고, 이를 위해서 띄엄띄엄 얻은 데이터 사이를 적절히 연결해주어 예측하는 것이 적절할 것이다. 두 점 $(1, 2)$, $(5, 4)$ 가 주어졌다고 해보자. $x = 1$, $x = 5$ 사이에서는 $y$ 값들이 어떻게 분포할까? 가장 쉽게는 두 점 사이가 직선으로 이어져 있다고 예측할 수 있다. 물론 두..

방정식의 해를 구할 때 보통은 손으로 직접 식을 변형하고 정리하여 해를 구하곤 한다. 예를 들어 다음과 같은 간단한 1차 함수의 $y = 0$ 에서의 해를 구하고자한다면 $$y = 3x + 2$$ 1. 이 함수를 $y = 0$ 과 연립시킨다. 2. $0 = 3x + 2$ 에서 양변에 $-2$ 를 더한 후 양변을 $3$ 으로 나누어준다. 3. $x = -\dfrac{2}{3}$ 라는 해를 얻어낸다. 이와 같은 절차를 거쳐 해를 구할 수 있다. 참고로 여기서 2번은 양변에 어떤 실수를 더하거나 빼거나 곱하거나 $0$ 이 아닌 수를 나누어도 등식은 여전히 성립한다는 정리를 이용한 것이다. 하지만 우리가 실생활에서 접하는 함수들은 위와 같이 같은 간단한 풀이법을 가지는 것만 존재하지는 않는다. 가령 함수 $y ..

※이 글은 2계 동차 선형미분방정식에 대한 기본 지식이 있어야 이해할 수 있습니다. 지금까지는 동차인 선형 미분방정식에 대해서만 다루었다. 동차(Homogeneous)란 어떤 $n$ 계 선형 미분방정식이 다음과 같이 표현될 때, $$ L[y] = \textcolor{skyblue}{g(t)} $$ 에서 $g(t) = 0$ 인 경우이다. 예를 들면, 다음은 비동차 미분방정식이고 $$ \sin{t}y'' - y' = \textcolor{skyblue}{-t^3} $$ 다음은 동차이다. $$ \sin{t}y'' - y' = \textcolor{skyblue}{0} $$ 다음의 경우엔 미분방정식이 선형이 아니므로 동차 비동차를 따지지 않는다. $$ \sqrt{y''} - yy'' = -t $$ 동차인 선형 미분..

2계 선형 미분방정식 $$ y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 $$ 의 첫 번째 해 $y_1$ 가 무엇인지 알고 있다고 하자. 그러면 어떤 방법을 통해 $$ y_1\textcolor{skyblue}{k'} + (2y_1 + py_1)\textcolor{skyblue}{k} = 0 $$ 꼴의 1계 선형 미분방정식을 푸는 문제로 난이도를 낮출 수 있다. 그리고 이 1계 선형 미분방정식을 풀어내면 미지의 해였던 $y_2$ 를 구할 수 있게된다. 이 방법을 차수 축소법(Method of Reduction of Order)이라 부른다. 여기서 $k$ 는 $t$ 에 관한 함수인데, 이게 무엇인지는 이제 설명할 것이다. (참고 : 1계 선형 미분방정식 푸는 방법) 다음과 같은 일반적인 형태의 2계 선형 미분..

계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 $$ ay'' + by' + cy = 0 $$ 의 Characteristic equation $ar^2 + br + c = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 가질 때는 이 글에서 다루었고 한 쌍의 켤레복소수 근을 가질 때는 이 글에서 다루었다. 마지막으로 중근을 가지는 경우에 대해서 이번 글에서 다룰 것이다. Characteristic equation이 $ar^2 + br + c = 0$ 로 표현된다고 할 때 이 이차방정식이 중근을 가진다면 근의 공식에 의해 근은 $r = \dfrac{-b}{2a}$ 이다. 즉 다음과 같은 하나의 해를 찾을 수 있다. $$ y_1 = e^{rt} = e^{-\frac{b}{2a}t} $$ 그런데 중근이라서 두 번째 해도 똑같은 함수로 $y..

이 글에서 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 $ay'' + by' + cy = 0$ 는 $y = e^{rt}$ 라고 하면 이차방정식 $ar^2 + br + c = 0$ 을 푸는 문제로 바뀌고 이 중 서로 다른 두 실근 $r_1, r_2$ 을 갖는 경우에 대해 다루었었다. 이 글에서는 $y = e^{rt}$ 로 두고 푸는 것이 왜 가능한건지 여러가지 2계 선형 미분방정식에 관한 정리를 통해 보였었다. 이번 글에서는 켤레 복소수 근(서로 다른 두 허근)을 갖는 경우에 대해 다루고자 한다. $r_1, r_2$ 가 허수이므로 $y = e^{rt}$ 는 지수가 허수인 지수함수이다. 그런데 지수함수는 정의역이 실수인 경우에 대해 정의가 되어 있었으므로 허수를 지수로 갖는 지수함수가 무엇인지 정의할 필요가 있다. ..

$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$ 오일러 공식(Euler's Formula)은 워낙 유명해서 한 번 쯤은 다들 들어봤을 것이다. 이 글에서 오일러 공식을 유도하는 두 가지 방법에 대해 설명할 것이다. 이 글을 모두 이해하려면 대학 미적분학이랑 미분 방정식을 공부해야 하지만 첫 번째 방법인 테일러 전개를 이용한 방법은 테일러 급수에 대해 대강 설명하고 시작했기 때문에 그냥 보아도 이해 될 것으로 기대한다. 1. 테일러 전개를 이용한 방법 테일러 전개는 쉽게 얘기 하면, 특정한 조건을 만족하는 함수 $f(x)$ 는 다음과 같이 다항식의 무한 합으로 표현될 수 있는데 $$ f(x) = \sum_{x = 0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$ 이를 $x = a$ ..