공데셍

벡터 해석 단원의문제를 모아놓은 글이다. 다음 목록의 글들을 공부하고 풀어보자. 벡터장과 스칼라장 스칼라장에서의 선적분 벡터장에서의 선적분 선적분의 기본정리 벡터의 회전과 발산 그린 정리와 그 의미 매개변수 곡면과 그 넓이 스칼라 함수의 면적분 벡터 함수의 면적분 스토크스 정리 발산 정리 1. Evaluate the line integral, where $C$ is given curve. $$ \int_C xe^y \; ds, \quad C \text{ is the line segment from } (2, 0) \text{ to } (5,4) $$ 더보기 곡선 $C$ 를 매개변수 함수로 다음과 같이 표현할 수 있다. $$ C : \textbf{r}(t) = , \quad 0 \le t \le 1 $$ ..

앞서 그린 정리에서 발산에 관한 그린 정리에 대해 소개한 바가 있다. 발산 정리(2차원) $$ \oint_C \textbf{F} \cdot \textbf{n} \; ds = \iint_D \nabla \cdot \textbf{F} \; dA $$ 좌변은 폐곡선 상에서의 벡터장의 발산 정도를 나타내고 우변은 폐곡선이 만드는 영역위의 모든 점에서 벡터장의 발산을 합한 값을 나타내므로 "어떤 영역(평면)에서의 벡터장의 발산은 그 경계에서의 발산이랑 같다" 를 의미한다고 했었다. 이번에 소개할 발산정리는 위 정리를 3차원으로 확장시켜서 같은 논리로 "어떤 영역(공간)에서의 벡터장의 발산은 그 경계면에서의 발산이랑 같다" 라는 의미를 갖는 정리이고 식으로 다음과 같이 표현한다. 발산 정리(3차원) 공간속에 유계이..

앞서 그린 정리를 소개하면서 그린 정리는 스토크스 정리의 특수한 경우라고 언급했었다. 이제 그 스토크스 정리에 대해 알아보자. 정리를 소개하기 앞서 닫힌 곡면에서 곡면의 방향과 곡면의 경계선의 진행방향의 관계에 대해 다음과 같이 먼저 약속을 하고 가자. 어떤 방향이 있는 유향 곡면 $S$ 가 있고 이 곡면의 경계를 $C$ 라고 하자. 곡면 $S$ 는 앞 뒤의 두 방향이 존재하는데, 둘 중 한 방향을 정해 단위벡터로 $\textbf{n}$ 이라 하자. 그리고 $\textbf{n}$ 이 향하는 방향 위에서 곡면을 바라보았을 때 $C$ 의 진행방향이 반시계 방향이 되도록 정한다. 스토크스 정리(Stokes' Theorem) $S$ 가 닫혀있는 조각적으로 부드러운 단순곡선 $C$ 를 경계로 하는 조각적으로 부드..

본 블로그의 미적분학 시리즈를 순서대로 보지 않고 검색을 통해 들어왔다면 다음 글들을 읽어보고 이 글을 보는 것을 추천한다. 스칼라장에서의 선적분 벡터장에서의 선적분 스칼라 함수의 면적분 이해를 돕기 위해 벡터장에서의 선적분을 먼저 빠르게 복습해보자. 삼변수 벡터함수의 선적분은 다음과 같은 형태를 하고 있었음을 떠올리자. $$ \int_C \textbf{F} \cdot \textcolor{skyblue}{d\textbf{r}} = \int_C \textbf{F} \cdot \textcolor{skyblue}{\textbf{T} \; ds} $$ 그리고 이는 곡선 $C$ 의 각 부분마다 곡선이 향하는 방향으로의 벡터장 $\textbf{F}$ 의 성분을 다 더한다는 의미였었다. 곡선 $C$ 는 다음과 같이 ..

앞서 선적분에 대해 소개한 바가 있다. 원활한 이해를 위해 아래 글들을 한 번 읽고 오는 것을 추천한다. 스칼라장에서의 선적분 벡터장에서의 선적분 선적분이 매개변수로 표현된 곡선을 경로 삼아 함수를 적분하는 것이였다면, 이번에 소개할 면적분은 매개변수로 표현된 곡면을 적분 영역 삼아 함수를 적분하는 것이다. 선적분에서 스칼라 함수(스칼라장)의 선적분, 벡터 함수(벡터장)의 선적분 두 종류 있었 듯이 면적분에도 스칼라 함수(스칼라장)의 면적분, 벡터 함수(벡터장)의 면적분 두 종류를 다룬다. 이번 글에서는 스칼라 함수의 면적분에 대해 다룬다. 우선 이해를 돕기 위해 잠시 선적분을 복습하고 넘어가자. 삼변수 스칼라 함수의 선적분은 다음과 같이 표현되었음을 떠올리자 $$ \int_C f(x,y, z) \; d..

■ 매개변수 곡면의 정의와 의미 앞서 2차원 평면에 놓인 곡선을 매개변수 $t$ 를 이용해 다음과 같이 정의했었다. $$ \textbf{r}(t) = $$ 만약 곡선이 3차원 공간에 놓여있다면 $z$ 성분을 추가해주기만 하면 됐었다. $$ \textbf{r}(t) = $$ 비슷한 방법으로 3차원 상에 존재하는 매개 곡면을 정의해보자. 이 곡면의 $x, y, z$ 값을 표현하기 위해서는 곡선과는 달리 두 개의 독립 변수가 필요하다. 따라서 매개변수 곡면을 다음과 같이 제시할 수 있다. $$ \textbf{r}(u, v) = $$ 이렇게 표현한 $\textbf{r}$ 역시 벡터 함수임을 유념하자. 곡선의 매개변수 표현에서 $t$ 의 값(정의역)이 어떤 구간으로 표현 되었듯이 곡면의 매개변수 $u, v$ 역시..

신발끈 공식은 각 꼭지점의 좌표가 주어져 있을 때, 이 좌표들만을 이용하여 삼각형의 넓이를 계산해내는 공식으로 중고교 수학에서 교육과정에 정식으로 소개하지는 않지만 숨겨진 비기처럼 쓰이곤 하는 공식이다. 각 좌표에 대해서 $x$ 값들을 왼쪽 위에서부터 순서대로 아래로 적고 $y$ 값들을 오른쪽 위에서부터 순서대로 아래로 적어준 후 마지막에 시작점의 $x, y$ 값을 한 번 더 적어주고 $2 \times 2$ 크기의 행렬식 계산할 때처럼 엑스자 모양으로 계산하여 다 더하면 신발끈 공식이 된다. (마지막에 $2$ 로 나누어 주어야 한다.) 이 모습이 마치 신발끈을 묶는 모습과 같아서 신발끈 공식이라 불린다. 단순히 삼각형 넓이라면 기하학을 이용해 공식이 맞음을 쉽게 증명할 수 있는데 이 공식은 삼각형이 아닌..

본론으로 들어가기 앞서 다음 두 글을 읽고 오는 것을 추천한다. 벡터의 회전(Curl)과 발산(Div) $\text{curl}$ 이 회전을 나타내는 연산자인 이유 $\text{div} $ 가 발산을 나타내는 연산자인 이유 그린 정리는 한 평면 위에서 선적분이랑 영역적분을 이어주는 정리이다. 추후에 소개할 스토크스 정리의 특수한 경우라고 할 수 있는데 바로 본론으로 들어가자면 그린 정리는 다음과 같다. 그린 정리(Green's Theorem) 곡선 $C$ 가 $xy$ 평면 위에서 양의 방향(반시계방향)이고 조각적으로 부드러우며 단순 닫힌 곡선이라고 하고 영역 $D$ 를 곡선 $C$ 에 유계된 영역이라고 하자. 영역 $D$ 를 포함한 열린 영역에서 $P$ 와 $Q$ 가 연속인 편도함수를 가지면 다음이 성립한..

$\text{curl}$ 이 회전을 나타내는 이유를 설명하는 글에 이어서 이번에는 $\text{div}$ 가 발산을 나타내는 이유를 설명하고자 한다. 이전글과 마찬가지로 단순화된 상황을 가정하고 계산을 통해 의미를 이끌어낼 것이다. 발산의 의미대로 어떤 점에 대해 그 점 근처의 벡터들이 얼마나 뻗어나가려는 경향을 가지는지 계산해야 한다. 발산을 계산하기 위해 다음과 같은 생각을 해보자. 0. $\textbf{F}(x, y, z) = $ 가 주어져있고 점 $x, y, z$ 주위로 부피가 $(2\Delta x)(2 \Delta y)(2 \Delta z)$ 인 직육면체가 둘러싸고 있다고 하자. 그러면 여섯 면에 대해서 그 면 위의 벡터가 얼마나 바깥방향을 향하고 있는지 계산하면 될 것이다. 1. 회전에서 반시..

$\text{curl }\textbf{F}(x,y,z)$ 는 점 $(x,y,z)$ 의 주변 벡터들이 회전하는 정도를 의미한다고 알려져 있다. 그리고 식으로는 다음과 같이 정의되어있는데 $$ \text{curl } \textbf{F} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \left( \dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z} \right) \textbf{i} ..