공데셍

신발끈 공식은 각 꼭지점의 좌표가 주어져 있을 때, 이 좌표들만을 이용하여 삼각형의 넓이를 계산해내는 공식으로 중고교 수학에서 교육과정에 정식으로 소개하지는 않지만 숨겨진 비기처럼 쓰이곤 하는 공식이다. 각 좌표에 대해서 $x$ 값들을 왼쪽 위에서부터 순서대로 아래로 적고 $y$ 값들을 오른쪽 위에서부터 순서대로 아래로 적어준 후 마지막에 시작점의 $x, y$ 값을 한 번 더 적어주고 $2 \times 2$ 크기의 행렬식 계산할 때처럼 엑스자 모양으로 계산하여 다 더하면 신발끈 공식이 된다. (마지막에 $2$ 로 나누어 주어야 한다.) 이 모습이 마치 신발끈을 묶는 모습과 같아서 신발끈 공식이라 불린다. 단순히 삼각형 넓이라면 기하학을 이용해 공식이 맞음을 쉽게 증명할 수 있는데 이 공식은 삼각형이 아닌..

$\text{curl}$ 이 회전을 나타내는 이유를 설명하는 글에 이어서 이번에는 $\text{div}$ 가 발산을 나타내는 이유를 설명하고자 한다. 이전글과 마찬가지로 단순화된 상황을 가정하고 계산을 통해 의미를 이끌어낼 것이다. 발산의 의미대로 어떤 점에 대해 그 점 근처의 벡터들이 얼마나 뻗어나가려는 경향을 가지는지 계산해야 한다. 발산을 계산하기 위해 다음과 같은 생각을 해보자. 0. $\textbf{F}(x, y, z) = $ 가 주어져있고 점 $x, y, z$ 주위로 부피가 $(2\Delta x)(2 \Delta y)(2 \Delta z)$ 인 직육면체가 둘러싸고 있다고 하자. 그러면 여섯 면에 대해서 그 면 위의 벡터가 얼마나 바깥방향을 향하고 있는지 계산하면 될 것이다. 1. 회전에서 반시..

$\text{curl }\textbf{F}(x,y,z)$ 는 점 $(x,y,z)$ 의 주변 벡터들이 회전하는 정도를 의미한다고 알려져 있다. 그리고 식으로는 다음과 같이 정의되어있는데 $$ \text{curl } \textbf{F} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \left( \dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z} \right) \textbf{i} ..

다음은 KMO 중학 2023년 기출이다. 풀이 전략은 가우스 기호가 포함된 항과 그렇지 않은 항을 분리시킨 후 그래프를 따로 그려서 교점을 찾는 것이다. 그러려면 가우스 기호가 포함된 함수의 그래프를 그릴 줄 알아야 한다. 우선 주어진 식을 변형하면 다음과 같다. $$ [x]([x] - 2) = 2x - 4 $$ 좌변의 그래프를 그리는 방법을 찾자. 간단히 떠오르는 방법으로는 전체 구간을 양 끝점이 정수인 크기가 $1$ 인 구간으로 쪼갠 후 각 구간에 대해 함수값을 직접 구해서 그래프를 그리는 것이다. $-2 \le x < -1 \textcolor{orange}{\Longrightarrow} [x]([x] - 2) = -2(-2 - 2) = \textcolor{red}{8} $ $-1 \le x < 0 ..

이번 글은 수학적인 계산보다는 직관으로 푸는 방법에 대해 설명한다. 바로 본론으로 들어가면 시침의 각속도가 $0$ 이여서 멈춰있다면, 하루에 분침이 $24$ 바퀴 도므로 둘은 하루에 $24$번 만나게 된다. 반대로 시침이 분침만큼 빠르다면 둘은 만난상태로 계속 돌게되므로 시침과 분침이 서로 스쳐서 지나가는 경우는 하루에 $0$ 번이 된다. 실제의 시침은 이 두 가지 경우의 속도들의 사이에 있다. 첫 번째 경우보다 빠르고 두 번째 경우보다 느리다. 즉, 두 바늘은 하루에 $0$ 번 보다 많고 $24$ 번 보다 적게 만난다는 뜻이다. 이렇게 답이 $24$ 번이 아님을 직관적으로 알 수 있다. 왜냐하면 실제 시계의 시침은 하루에 두 바퀴 도는데, 시침의 속도가 $0$ 이였을 때와는 달리 느리게라도 도는 속도가..

Heat equation 의 풀이법 중 하나인 Combination of variables method를 소개한다. Heat equation 은 다음의 꼴을 갖는 편미분방정식이다. Heat equation 3차원 공간에서 특정 시간 $t$ 와 특정 위치에서의 온도를 나타내는 함수 $u(x, y, z, t)$ 에 대해 $$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \nabla^2 u$$ 종종 문제를 간단히 하기 위해 $y$ 와 $z$ 에 대한 열전달이 없다고 가정하고 오직 한 방향 $x$ 에 대해 이 방정식을 다음과 같이 기술한다. $$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$ 이런 꼴의 편미분방정식은 ..

주로 수치해석 관련 전공서에서 다음과 같은 수식을 종종 볼 수 있다. $$ f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \dfrac{f''(x)}{2}h^2 + \dfrac{f'''(x)}{6}h^3 + ... $$ (주로 $h>0$ 인 경우이다. $h

다음 식을 만족하는 벡터 $\vec{x}$ 를 eigen vector, $\lambda$ 를 eigen value 라고 정의한다. $$ \textbf{A}\vec{x} = \lambda\vec{x} $$ 이를 말로 풀어서 쓰면, 선형변환 $\textbf{A}$ 으로 벡터 $\vec{x}$ 를 변환시켜도 벡터가 회전되지 않고 같은 방향 또는 반대의 방향으로 늘어나거나 줄어들기만 하는 특수한 벡터가 있는데, 이렇게 방향이 유지되는 벡터가 eigen vector 이고 늘어나는 정도가 eigen value가 된다. Eigen vector, eigen value를 구하기 위해 우선 식을 변형 하자. $\lambda \vec{x} = \lambda \textbf{I} \vec{x}$ 이므로 이렇게 바꾸고 정리하면 ..

크기가 $n$ 인 벡터 $\vec{x}$ 에 대해 p-$\infty$ Norm 의 정의는 다음과 같다. $$ \lVert \vec{x} \rVert_\infty = \lim_{p \to \infty} \left( |x_1|^p + |x_2|^p + |x_3|^p + \cdots + |x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}} $$ 그리고 많은 전공서에서 위 식이 다음과 같은 식과 같다는 것을 증명 없이 기재해 놓았다. $$ \lVert \vec{x} \rVert_\infty = \underset{j}{\max}|x_j| $$ 이 것의 증명에는 압축 정리(Squeeze theorem)의 아이디어가 이용된다. 우선 다음이 성립함을 관찰하자. $$ \begin{align} \lVert \vec{x} ..

2계 선형 미분방정식 $$ y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 $$ 의 첫 번째 해 $y_1$ 가 무엇인지 알고 있다고 하자. 그러면 어떤 방법을 통해 $$ y_1\textcolor{skyblue}{k'} + (2y_1 + py_1)\textcolor{skyblue}{k} = 0 $$ 꼴의 1계 선형 미분방정식을 푸는 문제로 난이도를 낮출 수 있다. 그리고 이 1계 선형 미분방정식을 풀어내면 미지의 해였던 $y_2$ 를 구할 수 있게된다. 이 방법을 차수 축소법(Method of Reduction of Order)이라 부른다. 여기서 $k$ 는 $t$ 에 관한 함수인데, 이게 무엇인지는 이제 설명할 것이다. (참고 : 1계 선형 미분방정식 푸는 방법) 다음과 같은 일반적인 형태의 2계 선형 미분..