신발끈 공식 그린 정리로 유도하기

신발끈 공식은

각 꼭지점의 좌표가 주어져 있을 때, 이 좌표들만을 이용하여 삼각형의 넓이를 계산해내는 공식으로

중고교 수학에서 교육과정에 정식으로 소개하지는 않지만 숨겨진 비기처럼 쓰이곤 하는 공식이다.

 

출처 : Wikipedia

각 좌표에 대해서

$x$ 값들을 왼쪽 위에서부터 순서대로 아래로 적고

$y$ 값들을 오른쪽 위에서부터 순서대로 아래로 적어준 후

마지막에 시작점의 $x, y$ 값을 한 번 더 적어주고

$2 \times 2$ 크기의 행렬식 계산할 때처럼 엑스자 모양으로 계산하여 다 더하면 신발끈 공식이 된다.

(마지막에 $2$ 로 나누어 주어야 한다.)

이 모습이 마치 신발끈을 묶는 모습과 같아서 신발끈 공식이라 불린다.

 

 

단순히 삼각형 넓이라면 기하학을 이용해 공식이 맞음을 쉽게 증명할 수 있는데

이 공식은 삼각형이 아닌 임의의 단순 다각형에서도 이용할 수 있는 공식이고

이 경우는 단순히 기하학을 이용해 증명하려면 쉽지 않을 것이다.

 

 

단순 다각형(다각형을 이루는 선분이 교차하는 점이 없는 경우이다)에서의 신발끈 공식의 증명은

대학에서 교양으로 배우는 벡터해석에 등장하는 그린 정리(Green's Theorem)로 증명할 수 있다. 

만약 그린 정리에 대해 잘 모른다면 이 글 먼저 읽고 오는 것을 추천한다.

 

그린 정리는 다음과 같다.

그린 정리

$$ \int_C P \; dx + Q \; dy = \iint_D \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \; dA $$

 

여기서 우변의 피적분함수 $ \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} $ 가 만약 $1$ 이라면

우변은 $\displaystyle \iint_D 1 \; dA $ 가 되고 이는 영역 $D$ 의 넓이를 의미하게 된다.

 

 

즉, 그린 정리에 의해 $ \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}  = 1$ 이 되게끔 하는 벡터장 $\textbf{F} = <P, Q>$ 를 임의로 만들어서

$D$ 의 둘레에 대해 반시계 방향으로 선적분 해주기만 한다면 $D$ 의 넓이를 구할 수 있다는 의미이다.

 

 

다음은 $ \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}  = 1$ 이 되게끔 하는 벡터장 $\textbf{F}$ 의 예시들이다.

$$ \textbf{F} = <0, x> $$

$$ \textbf{F} = <-y, 0> $$

$$ \textbf{F} = <\dfrac{-y}{2}, \dfrac{x}{2}> $$

이 중에서 세 번째를 사용해 공식을 유도해보자.

 

 

우리가 해야할 것은 다각형의 경계에서 $\textbf{F} = <\dfrac{-y}{2}, \dfrac{x}{2}>$ 반시계 방향으로 선적분 하는 것이다.

다각형의 경계는 여러 개의 선분으로 구성되어 있으므로 임의의 선분에 대해 선적분 식을 구하는 것이 먼저일 것이다.

 

 

 

두 점 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ 를 잇는 선분 $C$ 를 다음과 같이 정의하자.

$$ \textbf{r}(t) = <x_1 + (x_2 - x_1)t, \; y_1 + (y_2 - y_1)t> , \quad t \in [0, 1]$$

그러면 $\textbf{r}'(t)$ 는 다음과 같고

$$ \textbf{r}'(t) = <(x_2 - x_1), (y_2 - y_1)> $$

$\textbf{F}(\textbf{r}(t))$ 는 다음과 같다.

$$ \textbf{F}( \textbf{r}(t) ) = \dfrac{1}{2} <-y_1 - (y_2 - y_1)t, x_1 + (x_2 - x_1)t> $$

 

이를 대입하면 선적분은 다음과 같이 계산된다.

$$ \begin{align} \int_C \textcolor{orange}{\textbf{F}} \cdot \textcolor{skyblue}{d\textbf{r}} = &\int_0^1 \textcolor{orange}{\textbf{F}(\textbf{r}(t))} \cdot \textcolor{skyblue}{\textbf{r}'(t) \; dt} \\ = &\int_0^1 \textcolor{orange}{\dfrac{1}{2}<-y_1 - (y_2 - y_1)t, x_1 + (x_2 - x_1)t>} \cdot \textcolor{skyblue}{<x_2 - x_1, y_2 - y_1> \; dt} \\ = &\dfrac{1}{2} \int_0^1 (y_2 - y_1)(x_1 + (x_2 - x_1)t) - (x_2 - x_1)(y_1 + (y_2 - y_1)t) \; dt \\ = &\textcolor{royalblue}{\dfrac{1}{2}(x_1y_2 - x_2y_1)} \end{align} $$

 

정리하자면,

두 점 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ 를 이은 선분에서의 $\textbf{F}$ 의 선적분은 $\dfrac{1}{2} (x_1y_2 - x_2y_1) $ 라는 것이다.

마찬가지로 계산하면

$(x_{n}, y_{n})$, $(x_{n+1}, y_{n+1})$ 을 이은 선분에서의 $\textbf{F}$ 의 선적분은 $\dfrac{1}{2}(x_n y_{n+1} -x_{n+1}y_n)$ 이 나온다.

 

따라서 $n$ 개의 꼭지점을 갖는 다각형이

반시계 방향으로 $n$ 개의 점 $(x_1, y_2)$, $(x_2, y_2)$, $\cdots$ , $(x_n, y_n)$ 이 배치되어 있다면

넓이는 각 선분에서의 선적분 값을 다 더한 것이 되므로 다음과 같다.

임의의 단순 다각형에서의 신발끈 공식

$$ \text{Area} = \dfrac{1}{2}[ (x_1 y_2 - x_2 y_1) + (x_2 y_3 - x_3 y_2) + \cdots + (x_n y_1 - x_1 y_n) ] $$

마지막 항에 $y_{n+1}$ 혹은 $x_{n+1}$ 이 아니라 $y_1$, $x_1$ 이 된 이유는

$n$ 번째 점의 바로 다음 점이 $(x_1, y_1)$ 이기 때문이다.

 

이 식이 우리가 유도하고자 하던 단순 $n$ 각형의 넓이를 구하는 신발끈 공식이다.