가우스 기호가 포함된 함수 그래프의 개형

다음은 KMO 중학 2023년 기출이다.

 

 

풀이 전략은 가우스 기호가 포함된 항과 그렇지 않은 항을 분리시킨 후

그래프를 따로 그려서 교점을 찾는 것이다.

그러려면 가우스 기호가 포함된 함수의 그래프를 그릴 줄 알아야 한다.

우선 주어진 식을 변형하면 다음과 같다.

$$ [x]([x] - 2) = 2x - 4 $$

좌변의 그래프를 그리는 방법을 찾자.

 

 

간단히 떠오르는 방법으로는

전체 구간을 양 끝점이 정수인 크기가 $1$ 인 구간으로 쪼갠 후

각 구간에 대해 함수값을 직접 구해서 그래프를 그리는 것이다.

$-2 \le x < -1 \textcolor{orange}{\Longrightarrow} [x]([x] - 2) = -2(-2 - 2) = \textcolor{red}{8} $

$-1 \le x < 0 \textcolor{orange}{\Longrightarrow} [x]([x] - 2) = -1(-1 - 2) = \textcolor{red}{3} $

$0 \le x < 1 \textcolor{orange}{\Longrightarrow} [x]([x] - 2) = 0(0 - 2) = \textcolor{red}{0} $

$1 \le x < 2 \textcolor{orange}{\Longrightarrow} [x]([x] - 2) = 1(1 - 2) = \textcolor{red}{-1} $

$2 \le x < 3 \textcolor{orange}{\Longrightarrow} [x]([x] - 2) = 2(2 - 2) = \textcolor{red}{0} $

$\cdots$

 

이렇게 해도 되지만 좀 더 쉽게 구하는 방법이 있다.

다음과 같은 아이디어가 있다.

"$[x]([x] - 2)$ 가 사실은 $f(x) = x(x - 2)$ 에 $x = [x]$ 를 대입한 것이다."

이렇게 생각한다면 $f(x) = x(x-2)$ 그래프를 먼저 그린 후에

$x$ 값이 정수인 지점에서의 함수값을 오른쪽으로 다음 정수 $x$ 까지 쭉 이어주기만 하면 된다는걸 알 수 있다.

왜냐하면 함수의 성질에 의해 하나의 $x$ 값에 대해서 오직 하나의 $y$ 값을 주기 때문이다.

 

무슨 말이냐면 예를 들어 $f(2) = 2(2-2) = 0$ 인데, 인자로 $x$ 대신 $[x]$ 를 넣는다 치면

$2$ 부터 $3$ 미만의 숫자까지는 아무리 대입해도 $2$ 로 바뀌어서 대입이 되기 때문에 모두 그냥 $f(2)$ 랑 같게 된다.

그래서 $2$ 일 때든, $2.1$ 일 때든 $2. 8$ 일 때든 상관없이 $3$ 이 대입되기 전까지

함수값이 $f(2)$ 로써 일정하게 쭉 이어지게되는 것이다.

 

이 방법대로 직접 그려보면 다음 그림과 같다.

 

 

빨간 선으로 표현한 그래프가 $[x]([x] - 2)$ 이고

초록 선으로 표현한 그래프가 $x(x - 2)$ 이다.

 

이제 $y = 2x - 4$ 를 그려주면 교점을 찾을 수 있다.

 

 

$x = 1.5, \; 2, \; 3.5$ 에서 교점을 가지므로 이 $x$ 값을 다 더하면 $S = 7$

참고로 더 이상 교점이 없다는 것은 $3.5$ 이후로 2차함수의 증가가

1차함수보다 가파르다는 것을 이용하면 쉽게 알 수 있다.

그리고 문제에서 $2S$ 를 구하라 했으므로 답은 $14$ 이다.