$\text{div}$ 가 발산을 나타내는 연산자인 이유

$\text{curl}$ 이 회전을 나타내는 이유를 설명하는 글에 이어서

이번에는 $\text{div}$ 가 발산을 나타내는 이유를 설명하고자 한다.

 

이전글과 마찬가지로 단순화된 상황을 가정하고 계산을 통해 의미를 이끌어낼 것이다.

발산의 의미대로 어떤 점에 대해 그 점 근처의 벡터들이 얼마나 뻗어나가려는 경향을 가지는지 계산해야 한다.

 

발산을 계산하기 위해 다음과 같은 생각을 해보자.

 

0. $\textbf{F}(x, y, z) = <P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)>$ 가 주어져있고

점 $x, y, z$ 주위로 부피가 $(2\Delta x)(2 \Delta y)(2 \Delta z)$ 인 직육면체가 둘러싸고 있다고 하자.

그러면 여섯 면에 대해서 그 면 위의 벡터가 얼마나 바깥방향을 향하고 있는지 계산하면 될 것이다.

 

1. 회전에서 반시계, 시계방향의 두 방향이 존재했듯이, 면에도 면과 수직인 방향이 두 개 존재한다.

발산을 계산하고자 하므로 입체에 대해 면을 뚫고 나가는 방향을 양의 방향이라고 정하자.

예를 들어 모든 면이 $xy$ 또는 $yz$ 또는 $xz$ 평면중 하나와 평행한 직육면체가 있다고 하면

이 직육면체의 윗면의 방향을 나타내는 단위벡터는 $<0, 0, 1>$ 이다.

 

2. 매우 작은 부피의 직육면체를 상정하고 있으므로 각 면에 대응하는 벡터는 하나라고 가정한다.

 

3. 한 면 위의 한 점에서 벡터가 발산하는 정도는 그 벡터와 면의 방향(위에서 언급한 바깥수직방향)벡터의 내적을 통해 크기를 나타낼 수 있고, 그 발산이 면 전체에 분포하므로 면의 넓이를 곱해주자.

그러면 한 면 위에서 벡터가 발산하는 정도를 계산한 것이 될 것이다.

 

4. 이 계산을 여섯 면에 대해 수행해주어 다 더해주면

발산을 관찰하고자 하는 점 $(x,y,z)$ 주위의 모든 벡터에 대해 발산 정도를 계산한 것이 된다.

 

5. 이 발산정도는 상정한 직육면체의 부피에 의존하므로 이 값을 다시 나누어주면

단위 부피당 발산을 계산할 수 있다.

 

 

위 그림을 살펴보자

붉은 점으로 표시된 우리가 발산을 알아보고자 하는 점 $(x,y,z)$ 가 있고

이 주위를 부피가 $(2\Delta x)(2\Delta y)(2 \Delta z)$ 인 직육면체가 둘러싸고 있다.

여섯 면의 중심에 녹색으로 점이 표시되어 있으며, 이 점에서 뻗어나가는 붉은 화살표로 표현된 벡터가 존재한다.

(여기서는 윗면에 대해서만 표시했다.)

 

윗면에 대한 발산 정도를 계산해보자.

앞서 언급한대로 계산해보면 다음과 같다.

$$ \begin{align} \text{윗면의 발산 정도} = &\textbf{F}_\text{상} \cdot \textcolor{orange}{\text{윗면의 바깥방향 단위벡터}} \times \textcolor{skyblue}{\text{면의 넓이}} \\ = &\textbf{F}(x, y, z + \Delta z) \cdot \textcolor{orange}{<0, 0, 1>} \times \textcolor{skyblue}{(2\Delta x)(2\Delta y)} \\ = &<P(x,y,z+\Delta z), Q(x, y, z + \Delta z), R(x, y, z + \Delta z)> \cdot \textcolor{orange}{<0, 0, 1>} \times \textcolor{skyblue}{(2\Delta x)(2\Delta y)} \\ = &R(x,y,z + \Delta z) \times (2\Delta x)(2 \Delta y) \end{align} $$

 

같은 방법으로 아랫면에 대해서 계산하면 다음과 같다.

$$ \text{아랫면의 발산 정도} = -R(x,y,z-\Delta z) \times (2 \Delta x)(2 \Delta y) $$

 

이 둘을 더하고 분모분자에 각각 $(2\Delta z)$ 를 곱해주면 다음과 같다.

$$ \dfrac{R(x,y,z + \Delta z) - R(x,y,z - \Delta z)}{2\Delta z} (2\Delta x)(2\Delta y)(2\Delta z) $$

 

아주 작은 미소 부피에 대해서 생각하므로 $\Delta x, \Delta y, \Delta z \to 0$ 극한을 취해주면

편미분계수의 정의에 의해 다음과 같다.

$$ \dfrac{\partial R}{\partial z} \; dxdydz $$

 

같은 계산을 좌우면($x$ 축 방향)에 대해서 하여 더해주면 다음과 같고

$$ \dfrac{\partial P}{\partial x} \; dxdydz $$

 

앞뒷면($y$ 축 방향)에 대해 계산해주면 다음과 같다.

$$ \dfrac{\partial P}{\partial x} \; dxdydz $$

 

이를 모두 더해주면 여섯 면에 대해 다 더해준 것이다.

$$ \left( \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y}  + \dfrac{\partial R}{\partial z} \right) \; dxdydz$$

 

마지막으로 부피인 $dx dy dz$ 로 나누어주면

$$ \textcolor{red}{\dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y}  + \dfrac{\partial R}{\partial z}} $$

이는 $\text{div }\textbf{F}$ 의 정의와 같다.

 

이렇게 $\text{div}$ 가 왜 발산을 의미하는가에 대한 설명이 완료된다.