공데셍

벡터 해석 단원의문제를 모아놓은 글이다. 다음 목록의 글들을 공부하고 풀어보자. 벡터장과 스칼라장 스칼라장에서의 선적분 벡터장에서의 선적분 선적분의 기본정리 벡터의 회전과 발산 그린 정리와 그 의미 매개변수 곡면과 그 넓이 스칼라 함수의 면적분 벡터 함수의 면적분 스토크스 정리 발산 정리 1. Evaluate the line integral, where $C$ is given curve. $$ \int_C xe^y \; ds, \quad C \text{ is the line segment from } (2, 0) \text{ to } (5,4) $$ 더보기 곡선 $C$ 를 매개변수 함수로 다음과 같이 표현할 수 있다. $$ C : \textbf{r}(t) = , \quad 0 \le t \le 1 $$ ..

앞서 그린 정리에서 발산에 관한 그린 정리에 대해 소개한 바가 있다. 발산 정리(2차원) $$ \oint_C \textbf{F} \cdot \textbf{n} \; ds = \iint_D \nabla \cdot \textbf{F} \; dA $$ 좌변은 폐곡선 상에서의 벡터장의 발산 정도를 나타내고 우변은 폐곡선이 만드는 영역위의 모든 점에서 벡터장의 발산을 합한 값을 나타내므로 "어떤 영역(평면)에서의 벡터장의 발산은 그 경계에서의 발산이랑 같다" 를 의미한다고 했었다. 이번에 소개할 발산정리는 위 정리를 3차원으로 확장시켜서 같은 논리로 "어떤 영역(공간)에서의 벡터장의 발산은 그 경계면에서의 발산이랑 같다" 라는 의미를 갖는 정리이고 식으로 다음과 같이 표현한다. 발산 정리(3차원) 공간속에 유계이..

앞서 그린 정리를 소개하면서 그린 정리는 스토크스 정리의 특수한 경우라고 언급했었다. 이제 그 스토크스 정리에 대해 알아보자. 정리를 소개하기 앞서 닫힌 곡면에서 곡면의 방향과 곡면의 경계선의 진행방향의 관계에 대해 다음과 같이 먼저 약속을 하고 가자. 어떤 방향이 있는 유향 곡면 $S$ 가 있고 이 곡면의 경계를 $C$ 라고 하자. 곡면 $S$ 는 앞 뒤의 두 방향이 존재하는데, 둘 중 한 방향을 정해 단위벡터로 $\textbf{n}$ 이라 하자. 그리고 $\textbf{n}$ 이 향하는 방향 위에서 곡면을 바라보았을 때 $C$ 의 진행방향이 반시계 방향이 되도록 정한다. 스토크스 정리(Stokes' Theorem) $S$ 가 닫혀있는 조각적으로 부드러운 단순곡선 $C$ 를 경계로 하는 조각적으로 부드..

본 블로그의 미적분학 시리즈를 순서대로 보지 않고 검색을 통해 들어왔다면 다음 글들을 읽어보고 이 글을 보는 것을 추천한다. 스칼라장에서의 선적분 벡터장에서의 선적분 스칼라 함수의 면적분 이해를 돕기 위해 벡터장에서의 선적분을 먼저 빠르게 복습해보자. 삼변수 벡터함수의 선적분은 다음과 같은 형태를 하고 있었음을 떠올리자. $$ \int_C \textbf{F} \cdot \textcolor{skyblue}{d\textbf{r}} = \int_C \textbf{F} \cdot \textcolor{skyblue}{\textbf{T} \; ds} $$ 그리고 이는 곡선 $C$ 의 각 부분마다 곡선이 향하는 방향으로의 벡터장 $\textbf{F}$ 의 성분을 다 더한다는 의미였었다. 곡선 $C$ 는 다음과 같이 ..

앞서 선적분에 대해 소개한 바가 있다. 원활한 이해를 위해 아래 글들을 한 번 읽고 오는 것을 추천한다. 스칼라장에서의 선적분 벡터장에서의 선적분 선적분이 매개변수로 표현된 곡선을 경로 삼아 함수를 적분하는 것이였다면, 이번에 소개할 면적분은 매개변수로 표현된 곡면을 적분 영역 삼아 함수를 적분하는 것이다. 선적분에서 스칼라 함수(스칼라장)의 선적분, 벡터 함수(벡터장)의 선적분 두 종류 있었 듯이 면적분에도 스칼라 함수(스칼라장)의 면적분, 벡터 함수(벡터장)의 면적분 두 종류를 다룬다. 이번 글에서는 스칼라 함수의 면적분에 대해 다룬다. 우선 이해를 돕기 위해 잠시 선적분을 복습하고 넘어가자. 삼변수 스칼라 함수의 선적분은 다음과 같이 표현되었음을 떠올리자 $$ \int_C f(x,y, z) \; d..

■ 매개변수 곡면의 정의와 의미 앞서 2차원 평면에 놓인 곡선을 매개변수 $t$ 를 이용해 다음과 같이 정의했었다. $$ \textbf{r}(t) = $$ 만약 곡선이 3차원 공간에 놓여있다면 $z$ 성분을 추가해주기만 하면 됐었다. $$ \textbf{r}(t) = $$ 비슷한 방법으로 3차원 상에 존재하는 매개 곡면을 정의해보자. 이 곡면의 $x, y, z$ 값을 표현하기 위해서는 곡선과는 달리 두 개의 독립 변수가 필요하다. 따라서 매개변수 곡면을 다음과 같이 제시할 수 있다. $$ \textbf{r}(u, v) = $$ 이렇게 표현한 $\textbf{r}$ 역시 벡터 함수임을 유념하자. 곡선의 매개변수 표현에서 $t$ 의 값(정의역)이 어떤 구간으로 표현 되었듯이 곡면의 매개변수 $u, v$ 역시..

※이 글은 2계 동차 선형미분방정식에 대한 기본 지식이 있어야 이해할 수 있습니다. 비동차 미분방정식의 특정해(Particular solution)를 구하는 방법으로 이전 글에서 계수비교법(Method of undetermined coefficient)를 소개했었다. 이 방법은 일반적인 선형 미분방정식 (편의를 위해 2계 미분방정식에 대해서 적을 것이다.) $$ y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t) $$ 에서 $g(t)$ 항이 $\sin{x}$ 나 $e^x \cos{x}$ 꼴 등의 특수한 경우에 대해서만 이용할 수 있음을 알 수 있었다. 하지만 $g(t)$ 항이 항상 그런 특수한 꼴을 하고 있으리란 법은 없고, 일반적인 $g(t)$ 꼴에 대해서도 특정해를 구하는 방법이 있으면 좋을 것이다. ..

※이 글은 2계 동차 선형미분방정식에 대한 기본 지식이 있어야 이해할 수 있습니다. 지금까지는 동차인 선형 미분방정식에 대해서만 다루었다. 동차(Homogeneous)란 어떤 $n$ 계 선형 미분방정식이 다음과 같이 표현될 때, $$ L[y] = \textcolor{skyblue}{g(t)} $$ 에서 $g(t) = 0$ 인 경우이다. 예를 들면, 다음은 비동차 미분방정식이고 $$ \sin{t}y'' - y' = \textcolor{skyblue}{-t^3} $$ 다음은 동차이다. $$ \sin{t}y'' - y' = \textcolor{skyblue}{0} $$ 다음의 경우엔 미분방정식이 선형이 아니므로 동차 비동차를 따지지 않는다. $$ \sqrt{y''} - yy'' = -t $$ 동차인 선형 미분..

계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 $$ ay'' + by' + cy = 0 $$ 의 Characteristic equation $ar^2 + br + c = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 가질 때는 이 글에서 다루었고 한 쌍의 켤레복소수 근을 가질 때는 이 글에서 다루었다. 마지막으로 중근을 가지는 경우에 대해서 이번 글에서 다룰 것이다. Characteristic equation이 $ar^2 + br + c = 0$ 로 표현된다고 할 때 이 이차방정식이 중근을 가진다면 근의 공식에 의해 근은 $r = \dfrac{-b}{2a}$ 이다. 즉 다음과 같은 하나의 해를 찾을 수 있다. $$ y_1 = e^{rt} = e^{-\frac{b}{2a}t} $$ 그런데 중근이라서 두 번째 해도 똑같은 함수로 $y..

이 글에서 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 $ay'' + by' + cy = 0$ 는 $y = e^{rt}$ 라고 하면 이차방정식 $ar^2 + br + c = 0$ 을 푸는 문제로 바뀌고 이 중 서로 다른 두 실근 $r_1, r_2$ 을 갖는 경우에 대해 다루었었다. 이 글에서는 $y = e^{rt}$ 로 두고 푸는 것이 왜 가능한건지 여러가지 2계 선형 미분방정식에 관한 정리를 통해 보였었다. 이번 글에서는 켤레 복소수 근(서로 다른 두 허근)을 갖는 경우에 대해 다루고자 한다. $r_1, r_2$ 가 허수이므로 $y = e^{rt}$ 는 지수가 허수인 지수함수이다. 그런데 지수함수는 정의역이 실수인 경우에 대해 정의가 되어 있었으므로 허수를 지수로 갖는 지수함수가 무엇인지 정의할 필요가 있다. ..

※ 참고) 이번 글은 약간의 선형대수학 지식을 요합니다. 이전 글에서 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식은 $y = e^{rt}$ 라고 하면 이차방정식 형태로 나오는 특성방정식을 푸는 문제로 바뀌고, 서로 다른 두 실근, 중근, 켤레복소수근이 나올 수 있으므로 세 경우에 대한 풀이를 알아보면 된다고 했었다. 그리고 그 중 서로 다른 두 실근인 경우의 풀이법에 대해 다루었었다. 하지만 이전 글에서 얻은 일반 해(라고 추측한)의 형태 $y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ 가 진짜 일반 해인지 아닌지 증명하지는 않았다. 일반 해라고 부르려면, $y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ 형태의 해가 가능한 모든 해를 포함해야만 한다. 알고 보았더니 $e^{rt}$..

일반적인 이계 선형 미분방정식의 풀이에 대해 설명하기 앞서서 계수가 상수인 경우에는 어떻게 푸는지 보일 것이다. 여기선 Homogeneous인 경우를 다룬다. 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식은 다음의 형태를 갖는다. $$ ay'' + by' + cy = 0 $$ 예제1 다음 미분방정식을 풀어라. $$ y'' - y = 0 $$ $$ \quad y(0) = 2, \; y'(0) = -1$$ 식을 이항하여 $y'' = y$ 로 만들면 두 번 미분하여 자기 자신이 되는 $y$ 를 찾는 문제라고 생각할 수 있다. 두 번 미분했을 때 형태가 잘 유지되는 함수가 무엇이 있는지 떠올려 보자. $y = \sin{t}$ 는 두 번 미분하면 $y'' = -\sin{t}$ 가 되므로 고려해봄직 하다. $\cos{t}$ ..

편입동기나 과정에 대해서는 여기서는 공개하지 않겠습니다. 연고대 편입판에서 가치가 높은 정보가 많이 있기 때문에 추후에 과외를 하게 되면 학업계획서와 함께 개인적으로 공개하려고 합니다. 전적대 : 인서울 중하위 학점 : 3.59 / 4.5 (F 받은 과목 2개 포함) TEPS : 337 / 600 (현재는 354/600 입니다) 제출 서류 : 전적대학 컨텐츠 및 게임 제작대회 금상(1등), 일반수학(미적분학)튜터 증명서