※이 글은 2계 동차 선형미분방정식에 대한 기본 지식이 있어야 이해할 수 있습니다.
비동차 미분방정식의 특정해(Particular solution)를 구하는 방법으로 이전 글에서
계수비교법(Method of undetermined coefficient)를 소개했었다.
이 방법은 일반적인 선형 미분방정식 (편의를 위해 2계 미분방정식에 대해서 적을 것이다.)
$$ y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t) $$
에서 $g(t)$ 항이 $\sin{x}$ 나 $e^x \cos{x}$ 꼴 등의 특수한 경우에 대해서만 이용할 수 있음을 알 수 있었다.
하지만 $g(t)$ 항이 항상 그런 특수한 꼴을 하고 있으리란 법은 없고,
일반적인 $g(t)$ 꼴에 대해서도 특정해를 구하는 방법이 있으면 좋을 것이다.
이 글에서 소개할 매개변수 변환법은 $g(t)$ 가 그 어떤 꼴이여도 적용할 수 있는
일반적인 특정해 찾는 방법이다. (단, 선형 미분방정식 한정이다.
애초에 homogeneous, non-homogeneous 를 따지는것도 선형 미분방정식에서만 하는 얘기이다.)
(혹시나 헷갈릴까봐 적지만, 미분방정식에서 homogeneous는 의미가 두 가지 있다.
여기서는 그 중 $g(t)$ 항이 $0$ 이냐 아니냐를 따지는 말로 homogeneous를 쓴다.)
유도과정은 책에도 나와있고 딱히 어렵거나 중요한 것이 아니므로 생략한다.
결론만 적자면 다음과 같다.
2계 선형 미분방정식에서의 특수 해 (매개변수 변환법을 이용)
다음과 같은 일반적인 2계 선형 미분방정식을 고려하자.
$$ y'' + p(t)y' + q(t)y = \textcolor{limegreen}{g(t)} $$
$\textcolor{orange}{y_1}$, $\textcolor{skyblue}{y_2}$ 가 $g(t)$ 항이 $0$ 일 때의 fundamental set of solution을 구성한다고 할 때
이 미분방정식의 특수 해(Particular solution)는 다음과 같다.
$$ Y(t) = -\textcolor{orange}{y_1(t)} \int_{t_0}^{t} \dfrac{\textcolor{skyblue}{y_2(s)}\textcolor{limegreen}{g(s)}}{W[y_1, y_2](s)} ds + \textcolor{skyblue}{y_2(t)} \int_{t_0}^{t} \dfrac{\textcolor{orange}{y_1(s)}\textcolor{limegreen}{g(s)}}{W[y_1, y_2](s)} ds$$
여기서 함수 $p, q, g$ 는 어떤 구간 $I$ 에서 연속이고 $t_0 \in I$ 이다.
예를 들어서 다음의 미분방정식
$$ y'' - 3y' - 4y = \textcolor{limegreen}{3e^{2t}} $$
은 Characteristic equation 이 $ r^2 - 3r - 4 = (r-4)(r+1) $ 이므로
$\textcolor{orange}{e^{4t}}, \; \textcolor{skyblue}{e^{-t}}$ 가 주어진 미분방정식의 complementary solution의 fundamental set 이다.
이를 각각 $\textcolor{orange}{y_1}, \; \textcolor{skyblue}{y_2}$ 라고 하면 $W[y_1, y_2](t) = -5e^{3t}$ 이고
위에서 소개한 공식에 의해 이 미분방정식의 Particular solution은 다음과 같다.
$$ \begin{align} Y(t) &= -\textcolor{orange}{e^{4t}} \int_{t_0}^{t} \dfrac{\textcolor{skyblue}{e^{-s}} \cdot \textcolor{limegreen}{3e^{2s}} }{-5e^{3s}} ds &+&\textcolor{skyblue}{e^{-t}} \int_{t_0}^{t} \dfrac{\textcolor{orange}{e^{4s}} \cdot \textcolor{limegreen}{3e^{2s}} }{-5e^{3s}} ds \\ &= \dfrac{3}{5}\textcolor{orange}{e^{4t}} \int_{t_0}^{t} e^{-2s} ds &-& \dfrac{3}{5}\textcolor{skyblue}{e^{-t}} \int_{t_0}^{t} e^{3s} ds \\ &= -\dfrac{1}{2}e^{2t} + C_1\textcolor{orange}{e^{4t}} + C_2\textcolor{skyblue}{e^{-t}} \end{align} $$
마지막 계산에서 $t_0$ 과 관련된 식은 상수항 $C$ 으로 묶어서 간단히 표현한 것이다.
여기서 Particular solution 만을 물어본다면, $C_1 = C_2 = 0$ 으로 만들어
$$ Y(t) = -\dfrac{1}{2}e^{2t} $$
라고 해도 된다.
왜냐하면 뒤에 붙은 $C_1\textcolor{orange}{e^{4t}} + C_2\textcolor{skyblue}{e^{-t}}$ 항은 Complementary solution에 완전히 흡수될 수 있는 식이기 때문이다.
이는 직접 계산을 해보면 이해가 되는데,
$Y(t)$ 를 이용해 $Y'' - 3Y' - 4Y$ 를 계산해본다면 $C_1\textcolor{orange}{e^{4t}} + C_2\textcolor{skyblue}{e^{-t}}$ 부분은 $0$ 이 되어 사라지고
$-\dfrac{1}{2}e^{2t}$ 부분만이 살아남아 $3e^{2t}$ 를 만든다는 것을 알 수 있다.
Variation of parameters 방법은 $g(t)$ 항 (물리학적인 이유로 forcing function 이라고들 부른다)
이 그 어떤 형태이더라도 Particular solution을 구할 수 있는 강력한 방법이다.
하지만 크리티컬한 문제점도 안고 있는데, 위 예제에서는 적분이 깔끔하게 다 완료되었지만
일반적인 경우에는 적분이 초등함수(초등학교에서 배우는 함수라는 뜻이 아니다)로 정리가 안된다는 것이다.
예를 들어 적분 식이 다음과 같은 경우엔 더 이상 정리를 진행할 수가 없다.
$$\int_{t_0}^{t} e^{-s^2} ds$$
따라서 이 방법으로 풀어라고 하는 문제들은 전부 적분이 가능한 경우로 낼 수 밖에 없다.