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수학/수치해석 2

다항식 보간법 (Polynominal Interpolation)

보간(Interpolation)이란 데이터가 충분하지 못하고 이산적으로 띄엄띄엄 주어져 있을 때 주어진 데이터들을 적절한 곡선으로 이어서 주어지지 않은 데이터 값을 가상으로 만들어 내주는 작업을 말한다. 이론적이 아닌 현실의 상황에서는 데이터를 정확하게 표현하는 함수를 알기 힘들고 측정을 통해 데이터를 띄엄띄엄 얻어낼 수 밖에 없는 상황이 많다. 하지만 측정되지 않은 구간에서의 데이터가 필요할 때가 많고, 이를 위해서 띄엄띄엄 얻은 데이터 사이를 적절히 연결해주어 예측하는 것이 적절할 것이다. 두 점 $(1, 2)$, $(5, 4)$ 가 주어졌다고 해보자. $x = 1$, $x = 5$ 사이에서는 $y$ 값들이 어떻게 분포할까? 가장 쉽게는 두 점 사이가 직선으로 이어져 있다고 예측할 수 있다. 물론 두..

수학/수치해석 2022.11.02

수치적으로 해를 찾는 알고리즘 1 - Bisection Method

방정식의 해를 구할 때 보통은 손으로 직접 식을 변형하고 정리하여 해를 구하곤 한다. 예를 들어 다음과 같은 간단한 1차 함수의 $y = 0$ 에서의 해를 구하고자한다면 $$y = 3x + 2$$ 1. 이 함수를 $y = 0$ 과 연립시킨다. 2. $0 = 3x + 2$ 에서 양변에 $-2$ 를 더한 후 양변을 $3$ 으로 나누어준다. 3. $x = -\dfrac{2}{3}$ 라는 해를 얻어낸다. 이와 같은 절차를 거쳐 해를 구할 수 있다. 참고로 여기서 2번은 양변에 어떤 실수를 더하거나 빼거나 곱하거나 $0$ 이 아닌 수를 나누어도 등식은 여전히 성립한다는 정리를 이용한 것이다. 하지만 우리가 실생활에서 접하는 함수들은 위와 같이 같은 간단한 풀이법을 가지는 것만 존재하지는 않는다. 가령 함수 $y ..

수학/수치해석 2022.10.27