공데셍

※이 글은 2계 동차 선형미분방정식에 대한 기본 지식이 있어야 이해할 수 있습니다. 비동차 미분방정식의 특정해(Particular solution)를 구하는 방법으로 이전 글에서 계수비교법(Method of undetermined coefficient)를 소개했었다. 이 방법은 일반적인 선형 미분방정식 (편의를 위해 2계 미분방정식에 대해서 적을 것이다.) $$ y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t) $$ 에서 $g(t)$ 항이 $\sin{x}$ 나 $e^x \cos{x}$ 꼴 등의 특수한 경우에 대해서만 이용할 수 있음을 알 수 있었다. 하지만 $g(t)$ 항이 항상 그런 특수한 꼴을 하고 있으리란 법은 없고, 일반적인 $g(t)$ 꼴에 대해서도 특정해를 구하는 방법이 있으면 좋을 것이다. ..

※이 글은 2계 동차 선형미분방정식에 대한 기본 지식이 있어야 이해할 수 있습니다. 지금까지는 동차인 선형 미분방정식에 대해서만 다루었다. 동차(Homogeneous)란 어떤 $n$ 계 선형 미분방정식이 다음과 같이 표현될 때, $$ L[y] = \textcolor{skyblue}{g(t)} $$ 에서 $g(t) = 0$ 인 경우이다. 예를 들면, 다음은 비동차 미분방정식이고 $$ \sin{t}y'' - y' = \textcolor{skyblue}{-t^3} $$ 다음은 동차이다. $$ \sin{t}y'' - y' = \textcolor{skyblue}{0} $$ 다음의 경우엔 미분방정식이 선형이 아니므로 동차 비동차를 따지지 않는다. $$ \sqrt{y''} - yy'' = -t $$ 동차인 선형 미분..

계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 $$ ay'' + by' + cy = 0 $$ 의 Characteristic equation $ar^2 + br + c = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 가질 때는 이 글에서 다루었고 한 쌍의 켤레복소수 근을 가질 때는 이 글에서 다루었다. 마지막으로 중근을 가지는 경우에 대해서 이번 글에서 다룰 것이다. Characteristic equation이 $ar^2 + br + c = 0$ 로 표현된다고 할 때 이 이차방정식이 중근을 가진다면 근의 공식에 의해 근은 $r = \dfrac{-b}{2a}$ 이다. 즉 다음과 같은 하나의 해를 찾을 수 있다. $$ y_1 = e^{rt} = e^{-\frac{b}{2a}t} $$ 그런데 중근이라서 두 번째 해도 똑같은 함수로 $y..

이 글에서 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 $ay'' + by' + cy = 0$ 는 $y = e^{rt}$ 라고 하면 이차방정식 $ar^2 + br + c = 0$ 을 푸는 문제로 바뀌고 이 중 서로 다른 두 실근 $r_1, r_2$ 을 갖는 경우에 대해 다루었었다. 이 글에서는 $y = e^{rt}$ 로 두고 푸는 것이 왜 가능한건지 여러가지 2계 선형 미분방정식에 관한 정리를 통해 보였었다. 이번 글에서는 켤레 복소수 근(서로 다른 두 허근)을 갖는 경우에 대해 다루고자 한다. $r_1, r_2$ 가 허수이므로 $y = e^{rt}$ 는 지수가 허수인 지수함수이다. 그런데 지수함수는 정의역이 실수인 경우에 대해 정의가 되어 있었으므로 허수를 지수로 갖는 지수함수가 무엇인지 정의할 필요가 있다. ..

※ 참고) 이번 글은 약간의 선형대수학 지식을 요합니다. 이전 글에서 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식은 $y = e^{rt}$ 라고 하면 이차방정식 형태로 나오는 특성방정식을 푸는 문제로 바뀌고, 서로 다른 두 실근, 중근, 켤레복소수근이 나올 수 있으므로 세 경우에 대한 풀이를 알아보면 된다고 했었다. 그리고 그 중 서로 다른 두 실근인 경우의 풀이법에 대해 다루었었다. 하지만 이전 글에서 얻은 일반 해(라고 추측한)의 형태 $y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ 가 진짜 일반 해인지 아닌지 증명하지는 않았다. 일반 해라고 부르려면, $y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ 형태의 해가 가능한 모든 해를 포함해야만 한다. 알고 보았더니 $e^{rt}$..

일반적인 이계 선형 미분방정식의 풀이에 대해 설명하기 앞서서 계수가 상수인 경우에는 어떻게 푸는지 보일 것이다. 여기선 Homogeneous인 경우를 다룬다. 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식은 다음의 형태를 갖는다. $$ ay'' + by' + cy = 0 $$ 예제1 다음 미분방정식을 풀어라. $$ y'' - y = 0 $$ $$ \quad y(0) = 2, \; y'(0) = -1$$ 식을 이항하여 $y'' = y$ 로 만들면 두 번 미분하여 자기 자신이 되는 $y$ 를 찾는 문제라고 생각할 수 있다. 두 번 미분했을 때 형태가 잘 유지되는 함수가 무엇이 있는지 떠올려 보자. $y = \sin{t}$ 는 두 번 미분하면 $y'' = -\sin{t}$ 가 되므로 고려해봄직 하다. $\cos{t}$ ..

이제 이계 미분방정식으로 계(Order)를 올려볼 것이다. 만약 일계 미분방정식에 대해 잘 모른다면 먼저 공부하고 와야 한다. 이 블로그 미분방정식 카테고리의 첫 글부터 보고 오자. 링크 이계 미분방정식 (Second-Order Differential Equation) 은 다음의 꼴을 갖는 미분방정식을 얘기한다. $$ \dfrac{d^2 y}{dt^2} = f\left( t, y, \dfrac{dy}{dt} \right) $$ 여기서 $f$ 는 임의의 함수이고, 이 함수의 독립변수는 $t$ 이다. 당연하게도 $t$ 말고 $x$ 를 써도 상관없고 $y$ 대신 $x$ 를 써도 상관없다. 변수는 잡기 나름이다. 그리고 $f$ 가 다음의 꼴을 갖는다면 이계 선형 미분방정식은 선형(Linear)이라고 한다. $$..

이번 글에서는 이 글에서 소개하였던 일계 미분방정식이 특정 조건 하에서는 해가 존재하고 유일하다는 정리에 대한 증명에 관한 내용을 다룬다. 참고로 이 증명은 이 책에서도 완벽히 다루고 있지 않고, 실제 증명은 해석학 지식이 많이 필요하기 때문에 이를 공부하지 않은 필자는 실제 증명을 찾아보았으나 완벽히 이해하지 못했다. 이번 글은 책에 수록된 내용에 대해서만 약간의 부가 설명을 곁들여 썼다. 해석학을 공부한 후에 이 글을 수정할 예정이다. 일부 미분방정식들은 적분인자법, 변수분리해법 등의 풀이법을 통해 직접적으로 해가 존재함을 보일 수 있지만 대부분의 경우에는 이런 방법이 가능하지 않다. 따라서 다른 방법을 통해 일반적인 미분방정식의 해의 존재성을 증명해야하는데 이번에 소개할 그 방법의 핵심은 다음과 같..

지금껏 일계 미분방정식의 해를 구하는 여러가지 방법을 알아보았다. 선형인 경우엔 적분 인자를 곱하여 풀었고 변수분리형인 경우엔 변수를 분리한 후 적분하여 풀었고 완전 미분방정식인 경우에는 원함수가 무엇인지 적분으로 추정해내서 풀었다. 그리고 여기서 다음과 같은 일계 미분방정식은 특정 조건을 만족하면 항상 유일한 해가 존재한다는 정리를 소개했었다. $$ \dfrac{dy}{dt} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0 $$ 하지만 위에 나열하였듯 풀이 방법이 존재하는 경우는 아주 특수한 경우인 것이고 대부분의 경우에는 풀이법이 알려져있지 않다. 그럼에도 해가 존재한다는게 증명이 되어있으니 수치적 근사하는 방법으로라도 해를 찾아볼 수는 있을 것이다. 이번 글에서 수치적 근사 방법 중 하나인 오..

이번에는 일계 미분방정식 중 '완전 미분방정식' 이라 불리는 미분방정식에 대해 알아보고 그 풀이법에 대해서도 알아볼 것이다. 다음과 같은 미분방정식은 선형이 아니라서 적분인자 방법으로 풀 수도 없고 변수를 분리가능하지도 않아서 그렇게 풀 수도 없다. $$ 2x + y^2 + 2xyy' = 0 $$ 그런데 $ \psi(x, y) = x^2 + xy^2 $ 라는 함수를 상정해보면 $\textcolor{skyblue}{ \dfrac{\partial \psi}{\partial x} = 2x + y^2 } $ 이고, $ \textcolor{orange}{ \dfrac{\partial \psi}{\partial y} = 2xy } $ 이다. 그러면 주어진 미분방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다. $$ \left[..