※이 글은 2계 동차 선형미분방정식에 대한 기본 지식이 있어야 이해할 수 있습니다.
지금까지는 동차인 선형 미분방정식에 대해서만 다루었다.
동차(Homogeneous)란 어떤 $n$ 계 선형 미분방정식이 다음과 같이 표현될 때,
$$ L[y] = \textcolor{skyblue}{g(t)} $$
에서 $g(t) = 0$ 인 경우이다.
예를 들면, 다음은 비동차 미분방정식이고
$$ \sin{t}y'' - y' = \textcolor{skyblue}{-t^3} $$
다음은 동차이다.
$$ \sin{t}y'' - y' = \textcolor{skyblue}{0} $$
다음의 경우엔 미분방정식이 선형이 아니므로 동차 비동차를 따지지 않는다.
$$ \sqrt{y''} - yy'' = -t $$
동차인 선형 미분방정식을 먼저 다뤘던 이유는,
비동차의 경우엔 미분방정식의 $g(t)$ 항을 없애서 동차 미분방정식으로 만든 후
동차 선형 미분방정식의 일반 해(General solution)을 구하면
비동차 선형 미분방정식은 그 해에 특정 해를 더해서 구할 수 있기 때문이다.
비동차 선형 미분방정식의 해법
다음과 같은 $n$ 계 비동차 선형 미분방정식을 고려하자.
$$ \textcolor{orange}{L[y]} = y^{(n)} + p_1(t)y^{(n-1)} + p_2(t)y^{(n-2)} + \cdots + p_n(t)y = \textcolor{skyblue}{g(t)} $$
이 미분방정식 $\textcolor{orange}{L[y]} = \textcolor{skyblue}{g(t)}$ 를 만족하는 특정 해가 $Y(t)$ 이면,
일반 해는 $\textcolor{orange}{L[y]} = \textcolor{skyblue}{0}$ 의 일반 해 $y = \phi(t)$ (이를 Complementary solution이라 부른다.)
에 $Y(t)$ (Particular solution 이라 부른다) 를 더한 것이다.
다른 말로 $L[y] = 0$ 를 만족하는 $n$ 개의 독립인 해 $y_1, y_2, ... y_n$ 에 대해
$L[y] = g(t)$ 의 일반 해는 다음과 같다는 것이다.
$$ \textcolor{royalblue}{ y } = \phi(t) + Y(t) = \textcolor{royalblue}{ c_1y_1(t) + c_2y_2(t) + \cdots + c_n y_n(t) + Y(t) } $$
특정 해라는 것이 무엇인지 아직 감이 안올 것인데, 특별한 것은 아니고 정리에 나온 표현 그대로
$L[y] = g(t)$ 를 만족하는 아무런 해를 지칭한다. 예를들어 다음과 같은 비동차 미분방정식
$$ y' = \cos{t} $$
의 특정 해는 $y = \sin{t}$ 이다.
이 정리의 증명은 간단하다.
증명을 위해 다음의 중간 정리를 이용할 것이다.
중간 정리
$n$ 계 비동차 선형 미분방정식
$$ L[y] = g(t) $$ 를 만족하는 두 해를 $Y_1, \; Y_2$ 라고 하면,
$Y_1 - Y_2$ 는 이 미분방정식에 대응하는 동차 방정식 $L[y] = 0$ 의 해이다.
즉, $L[y] = 0$ 의 fundamental set of solution인 $y_1, y_2, ... y_n$ 에 대해
$ Y_1 - Y_2 = c_1y_1 + c_2y_2 + \cdots + c_n y_n $ 을 만족하는 어떤 상수
$c_1, c_2, ... , c_n$ 이 존재한다.
$Y_1$, $Y_2$ 를 비동차 미분방정식 $L[y] = \textcolor{red}{g(t)}$ 의 해라고 하자.
그러면 $L[Y_1] = g(t)$ 이고 $L[Y_2] = g(t)$ 이므로 $L[Y_1] - L[Y_2] = 0$ 이다.
한편, $L[\cdot]$ 는 선형 함수이므로 $L[Y_1 \pm Y_2] = L[Y_1] \pm L[Y_2]$ 가 성립한다.
(이 글에서 해 중첩의 원리 참조)
따라서 $L[Y_1] - L[Y_2] = L[Y_1 - Y_2] = 0$ 이다.
즉 $Y_1 - Y_2$ 는 이 미분방정식의 동차 버전인 $L[y] = \textcolor{red}{0}$ 의 특정 해라는 말이다.
한편, 일반 해는 미분방정식을 만족하는 가능한 모든 해를 포함하기 때문에 특정 해는 일반 해에 포함된다.
$n$ 계 선형 미분방정식의 fundamental set of solution이 $y_1, y_2, ... y_n$ 이라면
일반 해는 $c_1y_1 + c_2y_2 + \cdots + c_ny_n$ 였음을 기억하자.
$Y_1 - Y_2$ 가 특정 해이므로 이 것이 일반 해에 속하려면
다음을 만족하는 $c_1, c_2, ... , c_n$ 이 존재해야 한다는 말이다.
$$ Y_1 - Y_2 = c_1y_1 + c_2y_2 + \cdots + c_ny_n $$
자 이제 $L[y] = g(t)$ 의 일반 해를 $y = \phi(t)$ 라고 하자.
그리고 중간 정리의 $Y_1$ 를 $\phi(t)$ 라고 하고 $Y_2 = Y(t)$ 라고 하여 정리를 적용하면 다음과 같다.
$$ \begin{align} \textcolor{skyblue}{\phi(t)} &= \textcolor{yellowgreen}{c_1y_1 + c_2y_2 + \cdots c_n y_n} &+& \textcolor{orange}{Y(t)} \\ \textcolor{skyblue}{\text{비동차 일반해}} &= \textcolor{yellowgreen}{\text{동차 일반 해}} &+& \textcolor{orange}{\text{비동차 특정 해}} \end{align}$$
이로써 일반적인 선형 미분방정식 $L[y] = g(t)$ 의 일반해를 구하는 절차가 정립되었다.
1. 동차에 해당하는 $L[y] = 0$ 의 일반 해를 구한다. (다른 말로 Complementary solution 을 구한다라고 한다.)
2. $L[y] = g(t)$ 의 특정 해를 구한다. (Particular solution 을 구한다.)
3. 둘을 더한다.
1번의 경우엔 지난 글들에서 다루었다. (1편 부터 순서대로 3편까지 참고)
이제 2번에 해당하는 비동차 미분방정식의 특정 해는 어떻게 구하는지 알아보면 된다.
가장 쉽게는 추측과 대입이라는 꽤나 무식한 방법을 이용하는 것이다.
유식해 보이는 표현으로는 계수 비교법(Method of Undetermined Coefficient)이라고 부른다.
$g(t)$ 항이 어떤 식이냐에 따라서 $Y(t)$ 꼴을 알맞게 예측한 후 대입하여
계수를 비교한 후 $Y(t)$ 를 완성하는 방식이다.
$g(t)$ 항이 가장 간단한 경우 부터 시작한다.
다음은 $g(t)$ 에 따라 설정해야 하는 $Y(t)$ 의 꼴들이다. $A, B$ 는 임의의 상수이다.
참고로 이 방법은 계수가 상수인 선형 미분방정식일 때만 해당된다.
$$ \textcolor{skyblue}{g(t)} = \begin{cases} e^{at} \\ \sin{at} \; \text{또는} \; \cos{at} \\ e^{at}\sin{bt} \; \text{또는} \; e^{at}\cos{bt} \end{cases} \; \text{이면} \; \textcolor{orange}{Y(t)} = \begin{cases} Ae^{at} \\ A\sin{at} + B\cos{at} \\ Ae^{at}\sin{bt} + Be^{at}\cos{bt} \end{cases} $$
예제1
다음 미분방정식의 특정 해(particular solution)를 구하라.
$$ y'' - 3y' - 4y = 3e^{2t} $$
식을 잘 관찰해보면
우리가 구해야 하는 특정 해 $Y$ 는
$Y$, $Y'$, $Y''$ 를 더하거나 빼서 $e^{2t}$ 꼴이 나와야 함을 알 수 있다.
미분한것과 자기 자신을 더해서 새로운 항이 생기지 않고 $e^{2t}$ 꼴 유지되어야 하니
$Y(t)$ 역시 $e^{2t}$ 꼴이어야 하지 않을까 추측해볼 수 있다.
$Y(t) = Ae^{2t}$ 라고 하고 시작하자.
$$ \begin{cases} Y(t) = Ae^{2t} \\ Y'(t) = 2Ae^{2t} \\ Y''(t) = 4Ae^{2t} \end{cases} $$
이고 이 것을 미분방정식에 대입해보면
$$\begin{align} Y'' - 3Y' - 4Y &= (4A - 6A - 4A)e^{2t} \\ &=-6Ae^{2t} \\ &= 3e^{2t} \end{align}$$
이므로 $A = -\dfrac{1}{2}$ 이다.
따라서 특정 해는 $Y(t) = -\dfrac{1}{2}e^{2t}$ 이다.
예제2
다음 미분방정식의 특정 해를 구하라.
$$ y'' - 3y' - 4y = 2\sin{t} $$
주의
$g(t) = 2\sin{t}$ 라서 $Y(t)$ 도 그냥 $A\sin{t}$ 겠지 하고 풀면 안된다.
미분해도 꼴이 계속 똑같은 $e^{at}$ 와 달리 $\sin{at}$ 는 미분하면서 $\cos{at}$ 꼴 역시 생길 수 있기 때문에
대부분의 경우에 $A$ 값을 정할 수 없도록 식이 전개된다. (직접 해보면 안다.)
$Y(t) = A\sin{t} + B\cos{t}$ 라고 하자. 그러면
$$ \begin{cases} Y'(t) = -B\sin{t} + A\cos{t} \\ Y''(t) = -A\sin{t} - B\cos{t} \end{cases} $$
이고 이를 미분방정식에 대입하면 다음과 같다.
$$ \begin{align} Y'' - 3Y' - 4Y &= (-A + 3B - 4A)\sin{t} + (-B -3A - 4B)\cos{t} \\ &= 2\sin{t} \end{align} $$
계수 비교를 통해 $A = -\dfrac{5}{17}$, $B = \dfrac{3}{17}$ 을 얻는다.
따라서 특정 해는 $Y(t) = -\dfrac{5}{17}\sin{t} + \dfrac{3}{17}\cos{t}$ 이다.
예제3
다음 미분방정식의 특정 해를 구하라
$$ y'' - 3y' - 4y = -8e^{t}\cos(2t) $$
$\textcolor{orange}{Y(t)} = A\textcolor{skyblue}{e^{t}\sin(2t)} + B\textcolor{skyblue}{e^{t}\cos(2t)}$ 라고 하자.
$$ \begin{align} \textcolor{orange}{Y'(t)} &= Ae^{t}\sin(2t) +2Ae^{t}\cos(2t) + Be^{t}\cos(2t) - 2Be^{t}\sin(2t) \\ &= (A - 2B)\textcolor{skyblue}{e^{t}\sin(2t)} + (2A + B)\textcolor{skyblue}{e^{t}\cos(2t)} \\ \\ \textcolor{orange}{Y''(t)} &= (A-2B)e^{t}\sin(2t) + (2A-4B)e^{t}\cos(2t) + (2A + B)e^{t}\cos(2t) + (-4A - 2B)e^{t}\sin(2t) \\ &= (-3A - 4B)\textcolor{skyblue}{e^{t}\sin(2t)} + (4A - 3B) \textcolor{skyblue}{e^{t}\cos(2t)} \end{align} $$
이고 이 것을 $L[y]$ 에 대입해야 하는데 식이 꽤 복잡하다.
이 경우 계산을 좀 쉽게 해주는 팁이 있는데, $e^{t}$ 는 공통적으로 들어 있으므로 다음과 같이
$$ \begin{cases} S = e^{t}\sin(2t) \\ C = e^{t}\cos(2t) \end{cases} $$
$S, C$ 로 치환한 후 다음과 같이 세로로 $\textcolor{orange}{Y'', \; -3Y', \; -4Y}$ 를 두고 계산하는 것이다.
$$ \begin{align} \textcolor{orange}{Y''} &=& (-3A - 4B) S& &+ (4A - 3B)&C \\ \textcolor{orange}{-3Y'} &=&(-3A + 6B)S& &+ (-6A - 3B)&C \\ \textcolor{orange}{-4Y} &=& (-4A) S& &+ (-4B)&C \\ \hline \\ \textcolor{orange}{Y'' - 3Y' - 4Y} &=& (-10A + 2B)S& &+ (-2A-10B)&C \\ &=& 0S& &- 8&C \end{align} $$
계산을 통해 $A = \dfrac{2}{13}$, $B = \dfrac{10}{13}$ 을 얻는다.
따라서 특정 해는 $Y(t) = \dfrac{2}{13}e^{t}\sin(2t) + \dfrac{10}{13}e^{t}\cos(2t)$ 이다.
$g(t)$ 가 하나의 항일 수도 있지만, 두 개 이상의 항의 합일 수도 있다.
$g(t) = \sin{2t} + e^{3t}$ 같은 경우가 그 예이다.
$g(t) = g_1(t) + g_2(t)$ 인 경우엔
$L[y] = g_1(t)$ 의 해 $Y_1(t)$ 와 $L[y] = g_2(t)$ 의 해 $Y_2(t)$ 의 합인
$ Y(t) = Y_1(t) + Y_2(t) $ 가 $L[y] = g(t)$ 의 해임이 알려져 있다.
증명은 어렵지 않다.
$L[Y_1] = g_1, \; L[Y_2] = g_2$ 이므로
$L[Y_1] + L[Y_2] = g_1 + g_2 = g$ 이다.
한편 $L$ 은 선형 결합 함수이므로
$L[Y_1] + L[Y_2] = L[Y_1 + Y_2]$ 가 성립한다.
따라서 $L[Y_1 + Y_2] = g$ 이고 이는 $Y_1 + Y_2$ 가 $L[y] = g$ 의 해라는 의미로 증명이 완료된다.
예제4
다음 미분방정식의 특정 해를 구하라
$$ y'' - 3y' - 4y = 3e^{2t} + 2\sin{t} - 8e^{t}\cos(2t) $$
$g(t)$ 가 다음과 같은 세 항으로 이루어져 있다.
$$ \begin{cases} 3e^{2t} \\ 2\sin{t} \\ -8e^{t}\cos(2t) \end{cases} $$
예제1, 2, 3에서 위의 각 항을 $g(t)$ 로 갖는 경우의 특정 해를 구했었다.
따라서 그 특정해들을 다 더하면 주어진 미분방정식의 특정해를 구할 수 있다.
따라서 특정해 $Y(t)$ 는 다음과 같다.
$$ Y(t) = \left[ -\dfrac{1}{2}e^{2t} \right] + \left[- \dfrac{5}{17}\sin{t} + \dfrac{3}{17}\cos{t} \right] + \left[ \dfrac{2}{13}e^{t}\sin(2t) + \dfrac{10}{13}e^{t}\cos(2t) \right] $$
지금까지 $g(t)$ 의 일부 경우에 따른 특정 해 $Y$ 를 어떻게 설정해야 하는지 알아보았다.
하지만 방법이 잘 안통하는 경우가 종종 존재한다.
예를들어 $y'' - 3y' - 4y = 2e^{-t}$ 인 경우인데,
여기서 $g(t) = e^{-t}$ 꼴인데, 이 꼴의 함수는 $L[y] = y'' - 3y' - 4y = 0$ 의 일반 해인
$y = c_1e^{-t} + c_2e^{4t}$ 에 속하기 때문에 무시되기 때문이다.
이 경우엔 $e^{-t}$ 에 $t$ 를 한 번 곱해주면 된다.
만약 이래도 해가 안구해진다면 $t$ 를 한 번 더 곱해주면 된다.
굉장히 노가다가 심해지지만 미분방정식은 원래 풀기 어렵기 때문에 어쩔 수 없다.
마지막으로 $\textcolor{skyblue}{g(t)}$ 가 다항식인 경우에 대해 알아보자.
2계 선형 미분방정식을 기준으로 다음과 같은 미분방정식
$$ L[y] = ay'' + by' + c = \textcolor{skyblue}{g(t)} $$
에서 $g(t)$ 가 다음과 같은 다항식을 갖는다고 하자.
$$ \textcolor{skyblue}{g(t)} = a_0t^n + a_1t^{n-1} + a_2t^{n-2} + \cdots + a_n $$
그러면 $Y(t)$ 는 다음과 같이 설정하면 된다.
$$ \textcolor{orange}{Y(t)} = t^\textcolor{red}{s}(A_0t^n + A_1t^{n-1} + \cdots + A_n) $$
$\textcolor{red}{s}$ 는 $0, 1, 2$ 중 작은 값부터 대입하여
답이 안구해지면 하나씩 올려서 최대 $2$ 까지 올리면 된다. (지금 다루는게 2계 미분방정식이라서 그렇다.)
바로 위에서 답이 안구해질 때 $t$ 를 곱한다는 그 내용이랑 같은 내용이다.
예를 들어 $L[y] = 2y'' + 8y' + 8y = \textcolor{skyblue}{t^3 - 2t -3} $ 이면
$ \textcolor{orange}{Y(t)} = t^\textcolor{red}{s}(At^3 + Bt^2 + Ct + D)$ 라고 하면 된다.
그리고 이 다항식에 $e^{at}$ 가 곱해져 붙거나 $e^{at}\sin(bt)$ 또는 $e^{at}\cos(bt)$ 가 붙었을 때는
다항식에 해당하는 $Y(t)$ 에 그냥 $e^{at}$ 나 $e^{at}\sin(bt)$ 또는 $e^{at}\cos(bt)$ 를 곱해주면 된다.
(다항식에 그냥 $\sin(bt)$ 만 곱해진 경우 말고 $e^{at}\sin(bt)$ 처럼 $e^{at}$ 가 세트로 붙어 있어야 가능하다.
헷갈리지 말고 잘 확인하자.)
예를들어 $L[y] = 2y'' + 8y' + 8y = \textcolor{skyblue}{(t^3 - 2t - 3)e^{-t}\cos(2t)}$ 라면
$ \textcolor{orange}{Y(t)} = t^\textcolor{red}{s}(At^3 + Bt^2 + Ct + D)e^{-t}\cos(2t)$ 라고 하면 된다.
다항식을 간단히 $P_n(t) = a_0t^n + a_1t^{n-1} + \cdots + a_n$ 이라고 하고 정리하면 다음과 같다.
$$ \textcolor{skyblue}{g(t)} = \begin{cases} P_n(t) \\ P_n(t) e^{at} \\ P_n(t) e^{at} \sin(bt) \\ P_n(t) e^{at} \cos(bt) \end{cases} \; \text{이면} \; \textcolor{orange}{Y(t)} = \begin{cases} t^\textcolor{red}{s}(A_0t^n + A_1t^{n-1} + \cdots + A_n) \\ t^\textcolor{red}{s}(A_0t^n + A_1t^{n-1} + \cdots + A_n) e^{at} \\ t^\textcolor{red}{s}(A_0t^n + A_1t^{n-1} + \cdots + A_n) e^{at} \sin(bt) \\ t^\textcolor{red}{s}(A_0t^n + A_1t^{n-1} + \cdots + A_n) e^{at} \cos(bt) \end{cases} $$
여기서 $\textcolor{red}{s}$ 는 $0, 1, 2$ 중 해가 구해지는 가장 작은 수이다.
(역시 2계 미분방정식에 대해 다루는 중이므로 최대 $2$ 인 것이다.)
이번 챕터는 이론 보다는 풀이법에 집중되어 있으므로
연습문제를 풀어가며 손에 익히자.
일반물리학을 약간 공부한적 있다면 다음 글을 보며 연습해보아도 좋다.