계수가 상수인 2계 선형 미분방정식
$$ ay'' + by' + cy = 0 $$
의 Characteristic equation $ar^2 + br + c = 0$ 이
서로 다른 두 실근을 가질 때는 이 글에서 다루었고
한 쌍의 켤레복소수 근을 가질 때는 이 글에서 다루었다.
마지막으로 중근을 가지는 경우에 대해서 이번 글에서 다룰 것이다.
Characteristic equation이 $ar^2 + br + c = 0$ 로 표현된다고 할 때
이 이차방정식이 중근을 가진다면 근의 공식에 의해 근은 $r = \dfrac{-b}{2a}$ 이다.
즉 다음과 같은 하나의 해를 찾을 수 있다.
$$ y_1 = e^{rt} = e^{-\frac{b}{2a}t} $$
그런데 중근이라서 두 번째 해도 똑같은 함수로 $y_2$ 를 잡으면 문제가 생긴다.
왜냐하면 $y_1 = y_2$ 이므로 $y_1, \; y_2$ 는 종속이게 되기 때문이다.
(두 함수가 종속이려면 $y_1 = c y_2$ 를 만족하는 $0$ 이 아닌 상수 $C$ 가 존재하면 된다.)
2계 선형 미분방정식이므로 2개의 독립인 해가 일반 해의 기저를 만드는데,
찾은 두 해가 종속이라면 이들을 선형결합하여 일반해를 만들 수 없다.
우리는 일반 해를 만드는 기저 해를 찾는 것이 목적이므로 $y_1$ 와 독립인 다른 해를 찾아야 한다.
또 다른 해를 찾는 방법 중 하나로 18세기에 d'Alembert 가 고안한 방법이 있다.
이 글에서 중첩의 원칙(Principle of Superposition)에 의해 $y_1$ 가 선형 미분방정식 $L[y] = 0$ 의 해였다면
이를 상수배한 함수인 $y = Cy_1$ 역시 해가 된다고 했었었다.
이와 비슷하게
상수배는 아니고 어떤 함수 $v(t)$ 배한 함수 역시 이 미분방정식의 해가 되지 않을까?
라는 아이디어에서 출발한다.
다음 예제를 보자.
예제1
다음 미분방정식의 해를 구하라.
$$ y'' + 4y' + 4y = 0 $$
Characteristic equation 이 $r^2 + 4r + 4 = (r+2)^2$ 이므로 $r = -2$ 의 중근을 갖는다.
따라서 첫 번째 해로 $\textcolor{skyblue}{ y_1 = e^{-2t} }$ 라고 설정하고
여기에 어떤 함수 $v(t)$ 를 곱한 $\textcolor{skyblue}{y_2} = v(t)y_1 = \textcolor{skyblue}{ v(t)e^{-2t} }$ 역시 주어진 미분방정식의 해가 된다고 가정하자.
그러면 $y_2, \; y'_2, \; y''_2$ 를 대입하여 $L[y_2] = y''_2 + 4y'_2 + 4y_2 = 0$ 을 만족해야 한다.
$$ \begin{cases} y'_2 = v'(t)e^{-2t} - 2v(t) e^{-2t} \\ y''_2 = v''(t)e^{-2t} - 4v'(t)e^{-2t} + 4v(t)e^{-2t} \end{cases} $$
이므로 이들을 $L[y] = 0$ 에 대입하여 $e^{-2t}$ 로 묶어보면 다음과 같이 나온다.
$$ v''(t)e^{-2t} = 0 $$
$e^{-2t} > 0$ 이므로 $v''(t) = 0$ 이라는 결론을 얻는다.
즉, $v'(t) = c_1$ 이고 $v(t) = c_1t + c_2$ 이므로 $y_2 = c_1te^{-2t} + c_2e^{-2t}$ 이다.
여기서 $c_2e^{-2t}$ 는 앞서 구했던 첫 번째 해랑 같은 꼴(종속) 이므로 무시하자.
그러면 $y_2 = c_1te^{-2t}$ 가 되는데, 상수항을 없애면 $y_2 = te^{-2t}$ 이다.
그리고 이렇게 구한 $y_2$ 를 $L[y] = 0$ 에 대입해보면 여전히 해가 맞다는 것을 확인할 수 있다.
마지막으로 이것이 $y_1$ 과 독립인지만 확인해보기 위해 Wronskian을 구해보자. (이 글의 정리 이용함)
$$ W[y_1, y_2] = \begin{vmatrix} e^{-2t} & te^{-2t} \\ -2e^{-2t} & e^{-2t} -2te^{-2t} \end{vmatrix} = e^{-4t} \neq 0 $$
이므로 심지어 $y_2$ 는 $y_1$ 과 독립이기도 하다.
따라서 $y_2 = te^{-2t}$ 는 일반 해의 기저를 만드는 두 번째 해이다.
그러므로 일반 해는 다음과 같다.
$$ y = c_1e^{-2t} + c_2te^{-2t} $$
위의 예제로부터 다음 사실을 유추해볼 수 있다.
계수가 상수인 2계 선형 미분방정식에서 Characteristic equation 이 중근을 가지면
다음과 같은 꼴의 두 기저 해를 가진다.
$$ \begin{cases} y_1 = e^{rt} \\ y_2 = te^{rt} \end{cases} $$
그리고 이는 사실인데, 일반적인 상황에서 위의 추측이 사실임을 다음과 같이 쉽게 보일 수 있다.
Characteristic equation을 $ar^2 + br + c = 0$ 으로 두면, 중근은 $r = -\dfrac{b}{2a}$ 이므로
첫 번째 해는 $\textcolor{skyblue}{ y_1 = e^{-\frac{b}{2a}t} }$ 이고
두 번째 해로 $y_2 = v(t)y_1$ 라고 가정하면 $\textcolor{skyblue}{ y_2 = v(t)e^{-\frac{b}{2a}t} }$ 이다.
$y'_2, \; y''_2$ 를 계산해서 $L[y] = ay'' + by' + cy = 0$ 에 대입해 정리해보면
$v''(t) = 0$ 라는 결론을 똑같이 얻을 수 있다.
따라서 $v(t) = c_1 + c_2t$ 이고 이후는 위의 예제처럼 진행하면 된다.
식 전개가 중요한 것은 아니므로 생략한다.
참고로 이렇게 두 번째 해를 구하는 아이디어는
Characteristic equation이 중근을 가지지 않더라도 사용 가능한 방법이다.
가령 Characteristic equation이 $r^2 - 3r - 4$ 라면 $r_1 = -1, \; r_2 = 4$ 이다.
그런데 $r_2$ 를 모른다고 가정한 후 $y_1 = e^{-t}$ 일 때 $y_2 = v(t)e^{-t}$ 라고 하고 $L[y] = 0$ 에 대입하면
$v(t) = c_1e^{5t} + c_2$ 꼴이 나와서 $y_2 = c_1e^{4t} + c_2e^{-t}$ 를 얻을 수 있다. (계산은 생략)
그런데 $c_2e^{-t}$ 는 $y_1$ 와 종속이므로 생략가능하고 따라서 $y_2 = e^{4t}$ 라고 할 수 있다.
이는 위에서 구한 Characteristic equation의 두 번째 해 $r_2 = 4$ 랑 일치하는 결과임을 확인하자.
심지어 이 방법은 계수가 상수인 선형 미분방정식에 한정해서만 쓸 수 있는 아이디어가 아니다.
일반적인 선형 미분방정식 $y'' + p(t)y' + q(t) = 0$ 에서도 적용가능하다.
이 방법은 Method of Reduction of Order라고 부르는데, 이 글에서 따로 다루고 자세한 건 넘어갈 것이다.
다음 예제로 이번 글에서 발견한 것을 활용해보자.
예제2
다음 초기값을 갖는 미분방정식의 해를 구하라.
$$ y'' - y + \dfrac{y}{4} = 0, \quad y(0) = 2, \; y'(0) = \dfrac{1}{3} $$
Characteristic equation은 다음과 같다.
$$ r^2 - r + \dfrac{1}{4} = 0 $$
이는 $r = \dfrac{1}{2}$ 의 중근을 가지고 위에서 발견한 방법을 이용하면 두 해 $y_1, y_2$ 는 다음과 같다.
$$ \begin{cases} y_1 = e^{\frac{t}{2}} \\ y_2 = te^{\frac{t}{2}} \end{cases} $$
따라서 일반 해는 다음과 같다.
$$ y = c_1e^{\frac{t}{2}} + c_2te^{\frac{t}{2}} $$
초기값을 대입하면 $c_1 = 2$ 이고 $c_2 = -\dfrac{2}{3}$ 를 계산해낼 수 있다.
따라서 해는 다음과 같다.
$$ y = 2e^{\frac{t}{2}} - \dfrac{2}{3}e^{\frac{t}{2}} $$
계수가 상수인 이계 선형 미분방정식 1편, 일반해의 정리편, 2편, 3편(현재 글)을 요약하면 다음과 같다.
■ 2계 선형 미분방정식은 2개의 독립인 해를 갖고, 이 두 해의 선형결합은 일반 해가 된다.
■ 찾은 두 해가 독립인지 아닌지 판단하려면 Wronskian 값이 $0$ 인지 아닌지 살펴보면 된다. ($W \neq 0$ 이면 독립)
■ 2계 선형 미분방정식의 모든 계수가 상수면 $y = e^{rt}$ 꼴의 해를 갖고
Characteristic equation 이 어떤 근을 갖는지에 따라 일반해는 다음과 같이 다르게 표현된다.
1. 서로 다른 두 실근 $r_1, \; r_2$ 을 가질 때 :
$$ y = c_1 \textcolor{orange}{ e^{r_1t} } + c_2 \textcolor{orange}{ e^{r_2t} } $$
2. 한 쌍의 켤레 복소수 근 $\lambda \pm i\mu$ 를 가질 때 :
$$ y = c_1 \textcolor{orange}{ e^{\lambda t}\cos(\mu t) } + c_2\textcolor{orange}{ e^{\lambda t}\sin(\mu t) } $$
3. 중근 $r$ 을 가질 때 :
$$ y = c_1\textcolor{orange}{e^{rt}} + c_2 \textcolor{orange}{te^{rt}} $$
연습문제1
다음의 미분방정식을 보자.
$$ y'' + 2ay' + a^2y = 0 $$
이 것의 characteristic equation은 중근 $r = -a$ 를 갖는다는 것을 쉽게 알 수 있다.
따라서 첫 번째 해로 $y = e^{-at}$ 로 정할 수 있다.
a. 이 미분방정식을 만족하는 임의의 독립인 두 해 $y_1, y_2$ 에 대해 다음이 성립함을 보여라.
$$ W[y_1, y_2] = Ce^{-2at} $$
b. $ y_1 = e^{-at} $ 라고 할 때 (a) 의 결과를 이용해 $y_2 = te^{-at}$ 임을 보여라.
a.
아벨의 정리(Abel's Theorem)을 이용하면 두 해 $y_1, y_2 $가 무엇인지 모르더라도
$y'$ 의 계수만 알면 $W[y_1, y_2]$ 의 형태를 계산해낼 수 있다. (이 글 참조)
$p(t) = 2a$ 이므로 Wronskian은 아벨의 정리에 의해 다음과 같다.
$$ W[y_1, y_2] = Ce^{-\int 2a dt} = Ce^{-2at} $$
b.
$y_1 = e^{-at}$ 인 상황에서 $W[y_1, y_2] = Ce^{-2at}$ 를 만족하게 하는 $y_2$ 가 무엇인지 찾는 문제이다.
$y_2 = f(t)$ 라고 두고 Wronskian을 계산해보자.
$$ \begin{align} \textcolor{royalblue}{ W[y_1, y_2] } &= \begin{vmatrix} e^{-at} & f(t) \\ -ae^{-at} & f'(t) \end{vmatrix} \\ &= f'(t)e^{-at} + af(t)e^{-at} \\ &= \textcolor{royalblue}{ Ce^{-2at} } \end{align} $$
$ f'(t)e^{-at} + af(t)e^{-at} = Ce^{-2at} $ 이므로 양변을 $e^{-at}$ 로 나누면 다음과 같다.
$$ f' + af = Ce^{-at} $$
잘 보면 이게 $f$ 에 대한 1계 선형 미분방정식임을 알 수 있다.
1계 선형 미분방정식은 적분인자법으로 풀 수 있고, 적분인자는 $\textcolor{skyblue}{\mu(t)} = e^{\int a dt} = \textcolor{skyblue}{e^{at}}$ 이므로
$f' + af = Ce^{-at}$ 의 양변에 $\textcolor{skyblue}{\mu}$ 를 곱한 식은 다음과 일치하는 식이다.
$$ \begin{align} &\dfrac{d}{dt}[\textcolor{skyblue}{\mu} f] = C\textcolor{skyblue}{ \mu }e^{-at} \\ \Longrightarrow &\dfrac{d}{dt} [\textcolor{skyblue}{e^{at}} f] = C \end{align} $$
이제 양변을 $t$ 에 대해 적분하면 $e^{at}f = Ct + K$ 이고
이 것의 양변을 $e^{-at}$ 로 나누어주면 다음과 같이 $f$ 를 얻을 수 있다.
$$ y_2 = f(t) = Cte^{-at} + Ke^{-at} $$
$Ke^{-at}$ 항은 $y_1$ 과 종속이므로 무시해도 되고
기저가 되는 $y_2$ 를 찾고 있으므로 $Cte^{-at}$ 항의 상수 $C$ 역시 생략해도 된다.
따라서 $y_2 = te^{-at}$ 이다.
이 문제는 Characteristic equation이 중근을 가질 때 다른 해를 찾는 또 다른 방법이다.
그리고 계수가 상수가 아닌 일반적인 꼴 $y'' + p(t)y' + q(t)y = 0$ 일 때도 여전히
아벨의 정리를 이용해 두 번째 해를 구해낼 수 있다.