2. 적분인자를 이용한 선형미분방정식 해법

가장 먼저 상미분방정식 (미분과 연관된 함수가 일변수함수) 에 대해 다룬다.

다음과 같은 미분방정식이 상미분방정식이다.

$$ \dfrac{dy}{dt} = f(t, y) $$

여기서 $f(t, y)$ 는 독립변수 $t$ 와 $t$ 에 대한 종속변수 $y$ 에 관한 이변수함수로써 그 형태가 정해진것이 없다.

그리고 임의의 형태의 $f$ 가 주어졌을 때 항상 해를 이끌어내는 일반적인(General)한 방법은 아직 알려진게 없다.

하지만 $f$ 가 특수한 조건을 만족하는 경우에 대해서는 일반적인 해법이 존재하는 경우가 있다.

이번 글에서는 $f$ 의 변수 $y$ 가 선형적일 때 미분방정식을 푸는 법을 알아볼 것이다.  

 

미분방정식의 분류가 기억이 안난다면 이 글을 읽어보고 오면 된다.

---

 

 

다음과 같은 형태를 만족하는 미분방정식은 1계 선형 상미분방정식(1st order linear ODE)이다.

$$ \dfrac{dy}{dt} + p(t)y = g(t) \tag{식 1}$$

왜 $g(t)$ 만 등호 오른쪽으로 넘겨서 표현했는지 의문이 들 수도 있는데,

이렇게 정리해 두는게 이후에 나올 개념 설명하는데 편리하기 때문에 $g(t)$ 항과 나머지를 분리했다.

참고로 이후에 나올 내용으로, $ g(t) = 0 $ 이면 이 미분방정식은 동차(Homogeneous)라고 한다.

 

위의 미분방정식을 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$$ P(t)\dfrac{dy}{dt} + Q(t)y = G(t) \tag{식 2}$$

물론 $P(t) \neq 0$ 이라면 양변에 $P(t)$ 로 나누어서 $(\text{식} 1)$ 으로 변형할 수 있다.

$(\text{식} 2)$ 은 때때로 양변을 $t$ 에 대해 적분하여 해를 바로 구할 수 있다.

다음 예제를 보자.

 

 

예제1

다음 미분방정식의 해를 구하시오.

$$(4 + t^2)\dfrac{dy}{dt} + 2ty = 4t$$

 

좌변을 보고 $(4 + t^2)y$ 를 $t$ 에 대해 미분한것임을 눈치채자.

연쇄법칙에 의해 다음이 성립한다.

$$\dfrac{d}{dt} \left[ (4 + t^2)y \right] = (4 + t^2)\dfrac{dy}{dt} + 2ty$$

 

따라서 식은 다음과 같다.

$$ \dfrac{d}{dt} \left[ (4 + t^2)y \right] = 4t$$

미적분학의 기본정리에 의해 양변을 $t$ 에 대해 적분하면 다음과 같다.

$$ (4 + t^2)y = 2t^2 + C, \quad \text{C is a constant} $$

 

$(4 + t^2) \neq 0$ 이므로 양변에 이것으로 나누어주어 다음 결과를 얻는다.

$$ y = \dfrac{2t^2}{4 + t^2} + \dfrac{C}{4 + t^2} $$

 

 

 

---

 

 

 

위의 예제에서는 양변을 $t$ 에 대해 적분하여 바로 해를 구할 수 있었다.

대부분의 선형미분방정식은 위의 예제처럼 바로 적분이 가능하지는 않다.

 

하지만 라이프니츠는 선형미분방정식의 양변에 어떠한 식 $\mu (t)$ 를 곱하면

위의 예제처럼 양변을 적분하여 바로 해를 구할 수 있다는 것을 알아냈다.

이 때의 $\mu (t)$ 를 적분인자(integrating factor) 라고 부른다.

이제 문제는 적분인자를 어떻게 구하냐는 것이다.

결론부터 말하자면 미분방정식 $y' + p(t)y = g(t)$ 의 적분인자는 $\mu(t) = e^{\int p(t) \; dt}$ 이다.

우선 가장 일반적인 선형미분방정식으로 돌아오자.

$$ \dfrac{dy}{dt} + p(t)y = g(t) $$

양변에 미지의 적분인자 $\mu (t)$ 를 곱하면 다음과 같다.

$$ \textcolor{orange}{ \bigg[ } \mu(t)\dfrac{dy}{dt} + \textcolor{skyblue}{\mu(t)p(t)}y \textcolor{orange}{ \bigg] } = \mu(t)g(t) \tag{식 3}$$

이 때, 이 식의 좌변이 $\mu(t) y$ 를 미분한 결과라고 가정하자.

왜냐하면 우리는 양변을 $t$ 에 대해 적분하여 해를 구하고 싶기 때문이다.

 

한편 $\dfrac{d}{dt}[\mu(t)y] = \textcolor{orange}{ \bigg[ } \mu(t)\dfrac{dy}{dt} + \textcolor{skyblue}{\dfrac{d\mu(t)}{dt}}y \textcolor{orange}{ \bigg] } $ 이므로 $ \textcolor{skyblue}{\dfrac{d\mu(t)}{dt}} = \textcolor{skyblue}{\mu(t)p(t)}$ 가 성립 해야한다.

 

즉, 잠시 $\mu(t) > 0$ 이라고 가정하면 다음을 얻고

$$\dfrac{1}{\mu(t)} \dfrac{d\mu(t)}{dt} = p(t)$$

그리고 양변을 $t$ 에 대해 적분하면 

$$ \ln{|\mu(t)|} = \int p(t) \; dt + K $$

이 때 $K = 0$ 을 택하자. 그러면 $\mu(t)$ 는 다음과 같다.

$$ \mu(t) = e^{\int p(t) \; dt} $$

이렇게 구한 $\mu(t)$ 를 $y' + p(t)y = g(t)$ 의 양변에 곱해주어

$\mu(t) y' + p(t) \mu(t) y = \mu(t)g(t)$ 로 만들어주면 이 식은 $\dfrac{d}{dt} [\mu(t) y] = \mu(t)g(t)$ 랑 같다.

그리고 이 것은 미적분학의 기본정리에 의해 양변을 $t$ 에 대해 적분하여 간단하게 해를 구할 수 있는 꼴이다.

즉, 해가 존재하는 범위 내의 $t$ 값 중 임의의 $t = t_0$ 에 대해

$$ \mu(t) y = \int_{t_0}^{t} \mu(s) g(s) ds + C $$

이고 양변을 $\mu(t)$ 로 나누어주면 다음과 같이 일반 해를 구할 수 있다.

$$ y = \dfrac{1}{\mu(t)} \left[ \int_{t_0}^{t} \mu(s)g(s) ds + C \right] $$

(단 $\mu(t) = 0$ 이 아닌 구간을 택해야 한다.)

 

 

---

 

 

 

 

예제 2

다음 초기값을 갖는 미분방정식의 해를 구하시오

$$ \begin{align} ty' + 2y &= 4t^2 \\ y(1) &= 2 \end{align} $$

 

초기값이 $y(1) = 2$ 라고 주어져 있으므로 $t = 1$

즉 $t = 1$ 근처에 대해서 생각하면 충분하다.

 

$t > 0$ 라고 가정한 후 양변에 $t$ 로 나누어 변형해주면 다음을 얻는다.

$$ y' + \dfrac{2}{t}y = 4t \tag{식 4}$$

따라서 적분인자는 다음과 같다.

$$\mu(t) = e^{\int \frac{2}{t} \; dt} = e^{2\ln{|t|}} = t^2$$

$(\text{식} 4)$ 양변에 적분인자 $t^2$ 를 곱해주면

$$ t^2 y' + 2ty = 4t^3 $$

한편 좌변은 $\mu(t)y = [t^2y]'$ 이므로 양변을 $t$ 에 대해 적분해주면

$$ t^2 y = t^4 + C $$

$t > 0$ 이므로 양변을 $t^2$ 로 나누어 다음 결과를 얻는다.

$$ y = t^2 + \dfrac{C}{t^2} $$

$y(1) = 2$ 이므로 $t = 1$, $y = 2$ 를 대입하면 $C = 1$ 을 얻고

이 미분방정식의 해를 다음과 같이 얻는다.

$$ y = t^2 + \dfrac{1}{t^2}, \quad t>0 $$

 

 

위의 곡선들은 초기값이 다르게 주어졌을 때 해$(y)$ 의 그래프들을 한 곳에 모아 표현한 것이다. 위 예제의 해는 초록색 곡선인데 만약 초기값이 $y(1) = 1$ 이였다면 그림에서 붉은 색으로 표현한 곡선이 그 해가 된다.

---

때때로 문제를 푸는 과정에서 적분식이 초등함수로 표현이 안될 때가 있다.

이럴 때는 그냥 적분 상태로 두면 된다.

다음 초기값 문제가 그 예시이다.

$$ \begin{align} 2y' + ty &= 2 \\ y(0) &= 1 \end{align} $$

 

풀이는 생략한다. 해는 다음과 같다.

$$ y = e^{-\frac{t^2}{4}} \int_{0}^{t} e^{ \frac{s^2}{4} } \; ds + e^{-\frac{t^2}{4} }$$