미분방정식 들어가기 앞서

참고한 책은 다음과 같다.

Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 11th edition

 

 

미분방정식(Differential Equation)은 미분을 포함하고 있는 방정식을 일컫는다.

만약 미적분을 공부하고 온 사람들 중에 미분방정식을 모르는 사람들은 이렇게 생각할지도 모른다.

"미적분 공부할 때 나온게 죄다 미분인데 미분방정식이랑 미적분에서 다룬 내용이 뭐가 다르지?"

하지만 미적분학(Calculus)은 단순히 미분과 적분의 개념을 정의하고 그와 관련된 정리들을 유도하는

기초적인 부분에 초점이 맞춰져 있고 미분방정식은 방정식 내부에 어떤 함수의 미분형태를 포함하고 있을 때

그 방정식을 만족하는 원래 함수를 찾아내는것에 초점이 맞춰져 있다.

그리고 이 분야로도 많은 분량이 나올정도로 복잡하고 다양하다. 

 

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예를들면 다음과 같은 방정식이 주어져 있다고 하자.

$$ y' = 3y $$

이 방정식을 만족하는 함수 $y=f(x)$는 무엇일까?

우선 $y$를 미분하였더니 자기자신의 상수배가 나온것을 관찰하여 $y = e^x$ 꼴이 아닌가 유추해볼 수 있다.

그리고 계수를 맞춰주기 위해서는 $x$ 대신 $3x$ 가 들어가면 된다는것을 알 수 있다.

따라서 $y = f(x) = e^{3x}$ 이다.

 

하지만 이게 끝이 아니다.

여기에 임의의 상수를 곱해도 방정식을 만족한다는것을 알 수 있다.

왜냐하면 위에서 구한 $y$ 에 $0$이 아닌 상수 $c$ 를 곱하면 $y = ce^{3x}$ 이고

이를 미분한것은 $y' = 3ce^{3x}$ 라서 방정식의 양변에 c를 약분시킬 수 있기 때문이다.

게다가 $c = 0$ 이라고 해도 방정식은 $ 0 = 0 $ 으로 성립한다.

 

따라서 미분방정식 $ y' = 3y $ 를 만족하는 함수는

$y = f(x) = ce^{3x}, c \in \mathbb{R}$ 이다.

 

이 형태의 함수 말고 다른 형태의 함수중에 이 미분방정식을 만족하는 경우가 있을 수도 있는것 아닌가 생각이 들 수도 있다. 차차 설명할 내용이지만 이런 형태 이외의 다른 형태의 해답이 없다는것이 증명이 되어있다.

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이제 조금 미적분학에서 다루던 내용과는 다른 분야라는 것이 감이 왔을 것이다.

위에서 다룬 미분방정식은 일계선형미분방정식 (First-order linear differential equation) 으로

가장 간단한 풀이를 갖는 편에 속한다.

앞으로 올릴 글에서 더욱 복잡한 형태의 미분방정식과 그 해를 찾는 법에 대해 소개할 것이다.

이후 글들은 대학에서 배우는 미적분학을 모두 공부했다는 가정하에 서술이 이루어진다.