1. 미분방정식의 분류

미분방정식은 여러 종류가 있다. 이들을 분류하는 법을 살펴보자.

 

1. 상미분/편미분

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가장 크게는 미분방정식에 연루된 함수가 일변수인지 다변수인지로 분류한다.

 

일변수함수인 경우에는 상미분방정식 (Ordinary Differential Equation, ODE)라고 부르고

다변수함수인 경우에는 편미분방정식 (Partial Differential Equation, PDE)라고 부른다.

 

예를들어 다음은 상미분방정식이고

$$ 3\dfrac{dx(t)}{dt} - x^{2}(t) = 5 $$ $$ \sqrt{y} \dfrac{dy}{dt} = 1 $$

다음은 편미분방정식이다.

$$ 2 \dfrac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} = \dfrac{\partial u(x, t)}{\partial t} $$

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2. 계(Order)

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미분방정식의 계(Order of Differential Equation)란 미분방정식 내에서 가장 고계인 도함수의 계(Order)이다.

예를들어 다음은 2계 미분방정식이고

$$y'' - 3y' + 8y = 0$$

다음은 3계 미분방정식이다.

$$3t \cdot x'''(t) = 9$$

 

좀 더 일반적으로 얘기하면 방정식

$$F \bigg( t, u(t), u'(t), u''(t), \cdots , u^{(n)}(t) \bigg) = 0$$

는 $u(t)$ 에 대한 $n$ 차 미분방정식이라고 얘기한다.

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3. 선형 / 비선형 (Linear / Nonlinear)

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또 하나의 중요한 분류로 선형인지 비선형인지 여부가 있다.

다음과 같은 상미분방정식

$$F \bigg( t, u(t), u'(t), u''(t), \cdots , u^{(n)}(t) \bigg) = 0$$

은 $F$ 가 선형결합함수라면 선형미분방정식이라고 한다. 

편미분방정식에도 같은 방법으로 정의한다.

 

여기서 선형결합은 선형대수학에서 말하는 선형결합과 의미가 같다.

따라서 가장 일반적인 선형미분방정식은 다음과 같은 꼴을 가진다고 할 수 있다.

$$ a_n(t) y^{(n)}(t) + a_{n-1}(t) y^{(n-1)} + \cdots + a_0 y = g(t) $$

 

예를 들자면 다음의 미분방정식들은 모두 선형이다.

$$ t^{\sqrt{2}}y'' - y = \tan(t) $$ $$ 2y' + 5ty - e^{3t} = 0 $$ $$ \sin(2t)y''' = \ln(t) $$

 

다음의 미분방정식들은 선형이 아니다.

$$yy'' = 1$$ $$ \sqrt{y'} + 3y = 0 $$ $$ \log_2(y'') + \sin(y') = 5t $$

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4. 연립 / 비연립 미분방정식

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또 다른 분류로 미분방정식에 연루되어있는 미지 함수의 갯수가 있다.

만약 찾고자 하는 함수(해)가 오직 하나라면 방정식이 하나만 있어도 충분하다.

하지만 찾고자 하는 함수가 두 개 이상이면 방정식이 여러개 있어야 하고 이들을 연립해야한다.

따라서 연립미분방정식인지 아닌지로 분류할 수 있다.

 

예를 들어 다음은 연립미분방정식이다.

$$ \begin{align} &\dfrac{dx}{dt} = 2x - 3xy \\ &\dfrac{dy}{dt} = -y + xy \end{align} $$

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