[미분방정식] Wronskian 과 해들의 독립 여부에 대한 정리와 증명

정리

$n$ 계 선형 미분방정식
$$ L[y] = y^{(n)} + a_{1}(t)y^{(n-1)} + a_{2}(t)y^{(n-2)} + ... + a_{n}(t)y = 0 $$
에 대해 $L[y] = 0$ 을 만족하는 $n$ 개의 해 $y_1, \; y_2, \; y_3, ... , \; y_n$ 이 종속인 조건은

$a_1(t), a_2(t), ... , a_n(t)$ 가 모두 연속인 어떤 구간 $I$ 에 속하는 $t_0$ 에서의 Wronskian
$ W[y_1, y_2, y_3, ... , y_n](t_0) = 0$ 인 조건과 필요충분조건이다.

 

중요한 것은

이 정리는 $y_1, y_2, ... , y_n$ 이 선형 미분방정식의 해일 때만 이 정리가 참이라는 것이다.

선형 미분방정식의 해가 아니라 아무렇게나 잡은 함수들로 Wronskian을 만들면

위 정리에서 필요충분조건은 사라지고 $y_1, y_2, ... , y_n$ 이 종속이면 $W = 0$ 이다 한 방향만 참으로 남는다.

 

증명을 시작하기 전에 함수들이 독립이라는 것이 무엇인지부터 정의하자.

함수의 독립

함수 $f_1, f_2, f_3, ... , f_n$ 는
다음을 만족하는 모두 $0$ 이지는 않은 상수 $c_1, c_2, ... , c_n$ 이 존재할 때 종속이라고 정의한다.
$$ c_1f_1 + c_2f_2 + c_3f_3 + ... + c_nf_n = 0$$ 종속이 아닌 경우는 독립이라고 정의한다.

 

함수의 종속이 어떤 의미를 갖는지 알아보기 위해 $n = 2$ 인 경우를 살펴보자.

함수 $f$ 와 $g$ 가 종속이라는 말은, $[c_1, c_2] \neq [0, 0]$ 인 $c_1, c_2$ 에 대해

$$ c_1f + c_2g = 0 $$ 이 성립한다는 것이다. (여기서 $[ a, b ]$ 는 그냥 두 변수를 묶어 표현한 것이다.)

$c_1 \neq 0, \; c_2 \neq 0$ 이므로 양변을 한쪽 변수로 나눠 정리하면 다음과 같다.

$$ f = \dfrac{c_2}{c_1} g = Cg $$

즉, 한 함수가 다른 함수의 $0$ 이 아닌 상수배로 표현이 가능하면 두 함수는 종속인 것이다.

(일반적으로는 한 함수가 다른 함수들의 선형결합으로 표현되면 종속이라고 한다.)

반면 독립인 경우엔 $f$ 가 $g$ 를 상수배 해서 얻을 수 없는 꼴을 가진다고 볼 수 있다.

(일반적으로는 함수들 중 임의의 하나의 함수가 다른 함수들의 선형결합으로 표현될 수 없으면 독립이라고 한다.)

 

예를 들어서 다음과 같은 세 함수를 고려하자.

$$ \begin{cases} y_1 = e^t \\ y_2 = -3e^t \\ y_3 = 5t_3 \end{cases} $$

$y_2 = -3y_1 + 0y_3$ 으로 $y_2$ 가 나머지 함수들의 선형결합으로 표현되므로

$y_1, y_2, y_3$ 은 종속이다.

 

이번엔 다음과 같은 두 함수를 고려하자.

$$ \begin{cases} y_1 = 3\sin{2t} \\ y_2 = t^2 \end{cases} $$

둘 중 한 함수가 다른 하나의 상수배로 표현이 되지 않음을 직관적으로 알 수 있다.

따라서 $y_1, y_2$ 는 독립이다.

 

 

 

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증명의 편의를 위해 $n = 2$ 인 경우로 증명할 것이다.

일반적인 경우는 아래의 증명의 논리를 그대로 적용하여 확장할 수 있다.

다음을 보이자.

정리

어떤 이계 선형 미분방정식
$$ L[y] = y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 $$
에 대해 $L[y] = 0$ 의 두 해 $y_1, y_2$ 가 종속인 조건은

$p(t), q(t)$ 가 연속인 구간 $I$ 에 속하는 $t_0$ 에서의 Wronskian
$W[y_1, y_2](t_0) = 0$ 인 것과 필요충분조건이다.

 

증명

 

1) $y_1, y_2$ 가 종속이면 $W[y_1, y_2](t_0) = 0$ 임을 증명

 

$y_1, y_2$ 가 종속이므로 $y_1 = Cy_2$ 를 만족하는 어떤 상수 $C$ 가 존재한다.

한편, $W[y_1, y_2] = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix} = y_1y'_2 - y_2y'_1 = Cy_2y'_2 - Cy_2y'_2 = 0$ 이므로

어떤 $t$ 를 대입해도 $W = 0$ 가 성립하고 따라서 $W[y_1, y_2](t_0) = 0$ 이다. 

 

 

 

 

2) $ W[y_1, y_2](t_0) = 0 $ 이면 $y_1, y_2$ 가 종속이다.

 

가지고 있는 조건은, $I$ 에 속하는 어떤 점 $t_0$에 대해 $W[y1, y2](t_0) = 0$ 라는 것 뿐이고 
($y_1(t_0), \; y_2(t_0), \; y'_1(t_0), \; y'_2(t_0)$ 값이 각각 뭔지는 모른다.)

보여야할 조건은 $c_1y_1 + c_2y_2 = 0$ 을 만족하는 상수 쌍 $[c_1, c_2]$ 를 하나라도 제시할 수 있는지 여부이다.

 

뜬금없지만 다음과 같은 방정식을 고려하자.

변수 $c_1, c_2$ 에 대한 연립 방정식이고 $y_1, y_2, y'_1, y'_2$ 는 $t_0$ 가 대입되었기 때문에 어떤 상수임을 유념하자.

$$ \begin{cases} c_1y_1(t_0) + c_2y_2(t_0) = 0 \quad \cdots \quad \textcolor{blueviolet}{(1)} \\ c_1y'_1(t_0) + c_2y'_2(t_0) = 0 \quad \cdots \quad \textcolor{blueviolet}{(2)} \end{cases} $$

행렬로 표현하면 다음과 같다.

$$ \underset{ \textcolor{red}{\textbf{A}} }{ \begin{bmatrix} y_1(t_0) & y_2(t_0) \\ y'_1(t_0) & y'_2(t_0) \end{bmatrix} } \underset{\textcolor{red}{\vec{x}}}{ \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} } = \underset{ \textcolor{red}{\vec{0}} }{ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} }$$

간단히 $\textbf{A}\vec{x} = \vec{0}$ 으로 표현할 수 있는데,

일단 이 식이 homogeneous 인 연립방정식이므로 자명해 $\vec{x} = \vec{0}$ 을 갖는다.

한편 $\textcolor{skyblue}{\det{\textbf{A}}} = W[y_1, y_2](t_0) = \textcolor{skyblue}{0}$ 이므로 $\vec{x}$ 의 해는 $\vec{0}$ 으로 유일하지 않고 $\vec{x} \neq \vec{0}$ 인 수많은 해를 추가로 가진다.

 

 

수많은 해 중 $\vec{0}$ 이 아닌 하나 $\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}$ 를 선택하여 다음과 같이 함수 $f(t)$ 를 정의해 보자.

$$ f(\textcolor{orange}{t}) = c_1y_1(\textcolor{orange}{t}) + c_2y_2(\textcolor{orange}{t}) $$

$y_1, y_2$ 가 $L[y] = 0$ 의 해라고 하였으므로,

중첩의 원칙에 의해 이들의 선형결합인 $y=f(t)$ 도 $L[y] = 0$ 의 해이다.

그러면 위의 식 $\textcolor{blueviolet}{(1)}$ 과 식 $\textcolor{blueviolet}{(2)}$ 는 각각 $f(t_0) = 0, \; f'(t_0) = 0$ 인 것과 같다.

즉 이를 합치면, $y = f(t)$ 는 초기값이 주어진 문제 $L[y] = 0, \quad y(t_0) = 0, y'(t_0) = 0$ 의 해라고 할 수 있다.

 

$L[y] = y'' + p(t)y' + q(t)y = 0, \quad y(t_0) = 0, y'(t_0) = 0$ 를 만족하는 한 해로 $y = 0$ 을 선택할 수 있다.

왜냐하면 $y = y' = y'' = 0$ 이기 때문에 초기 조건도 만족하고 $L[y] = 0$ 도 만족하기 때문이다.

그런데 해의 존재성과 유일성 정리에 의해 해는 유일해야만 하고 $y = 0$ 가 이 초기값 문제의 유일한 해가 된다.

즉 $f(t) = c_1y_1(t) + c_2y_2(t) = 0$ 이다.

 

 

 

정리 해보자면 $W[y_1, y_2](t_0) = 0$ 이라는 조건만 가지고

$c_1y_1 + c_2y_2 = 0$ 을 만족하는 모두 $0$ 이지는 않은 $c_1, c_2$ 를 하나라도 제시할 수 있으면 되는 것인데,

뜬금 없이 식 $\textcolor{blueviolet}{(1)}$ 과 식 $\textcolor{blueviolet}{(2)}$ 같은 연립 방정식을 세웠더니

$W[y_1, y_2](t_0) = 0$ 을 이용하여 $\vec{0}$ 이 아닌 $[c_1, c_2]$ 가 존재함을 알 수 있었고

이러한 $c_1, c_2$ 를 이용해 만든 $f(t) = c_1y_1(t) + c_2y_2(t)$ 가 무조건 $0$ 가 됨을 알 수 있으니

$c_1y_1(t) + c_2y_2(t) = 0$ 을 만족하는 $c_1, c_2$ 가 존재함(= 함수가 종속)을 제시한 꼴이다.

따라서 증명이 완성된다.

 

 

 

참고로 $W = 0$ 의 여집합이 $W \neq 0$ 이고

함수의 종속의 여집합이 함수의 독립이므로

$W \neq 0 $ 인 것이 함수(단, Linear ODE의 해여야 함)가 독립인 것과 필요충분조건이라는 말도 된다. 

 

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