평균값 정리에서 $c \in (a, b)$ 로 열린구간에 속하게 되는 이유

평균값 정리

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고, $(a, b)$ 에서 미분가능하면

$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ 을 만족하는 $c \in (a, b)$ 가 존재한다.

 

■ 혹자는 $f$ 가 $x = a, b$ 인 점에서 미분가능하다는 조건이 없기 때문에 그렇다고 얘기하지만

이는 틀린 설명이다. 양 끝점에서 미분 가능하다고 해도 결과는 달라지지 않는다.

 

■ 결론부터 말하자면, 평균값 정리는 롤의 정리에서 유도되고

롤의 정리의 증명에 극값 정리가 이용되는데, 극값정리와 $f(a) = f(b)$ 라는 이 두 조건이

$c$ 가 $a$ 또는 $b$ 에 존재하는것을 막는다.

 

 

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평균값 정리의 증명을 우선 살펴보자.

 

증명

$(a, f(a)), (b, f(b))$ 두 점을 지나는 직선함수를 $g(x)$ 라 하자.

그러면 $g(x)$ 는 다음과 같다.

$$ g(x) = f(a) + \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a) $$

원래 곡선인 $f(x)$ 에서 $g(x)$ 를 뺀 함수를 $h(x)$ 라고 정의하면

$h(a) = 0, $ $h(b) = 0$ 을 만족한다.

 

또한 조건에 의해 $f(x)$ 는 $(a, b)$ 에서 미분가능하고 $g(x)$도 일차함수로 실수전체에서 미분가능하므로

$h(x)$ 는 $(a, b)$ 에서 미분가능하고 $[a, b]$ 에서 연속이다. 

 

따라서 롤의 정리에 의해 다음을 만족하는 $c \in (a, b)$ 가 존재한다.

$$ h'(c) =  f'(c) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$$

이 식이 평균값 정리에서 보이고자 했던 식이므로 증명이 완료된다.

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보다시피 롤의 정리가 이용이 된 것을 알 수 있다.

그럼 이제 롤의 정리와 증명을 살펴보자.

 

 

 

롤의 정리

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능하며 $f(a) = f(b)$ 이면
$f'(c) = 0$ 을 만족하는 $c \in (a, b)$ 가 존재한다.

그리고 롤의 정리의 증명에서 찾고자 한 이유가 밝혀진다.

 

증명

 

세 가지 경우가 있다.

$1)$ $f(x) = k, (k \in \mathbb{R})$

$f'(x) = 0$ 이므로 $c$ 는 $(a, b)$ 의 아무 점을 택해도 성립한다.

 

$2)$ $f(c) > f(a)$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a, b)$ 에 존재.

조건에 의해 $f$ 는 $[a, b]$ 에서 연속이므로 극값정리에 의해 $f$ 는 $[a, b]$ 에서

최댓값과 최솟값을 가져야한다.

한편 $f(a) = f(b)$ 이고 $f(x)$ 는 상수함수가 아니므로

$a, b$ 가 모두 최대 또는 최소가 되게하는 점이 될 수 없다.

따라서 $a$ 와 $b$ 사이에 $f$ 가 최대 또는 최솟값이 되게 하는 점이 적어도 하나가 존재한다는 것이다.

($a$ 또는 $b$ 에서 최솟값이였다면 구간의 내부엔 최댓값이 존재,

$a$ 또는 $b$ 에서 최댓값이였다면 이는 모순이므로 따지지 않음,

구간의 내부에 최댓값, 최솟값을 모두 갖는 경우를 포함하는 말이다.)

최댓값 또는 최솟값은 극대 또는 극소에 속하므로 페르마 정리에 의하면

이 점에서의 미분계수는 $0$ 이다.

 

$3)$ $f(c) < f(a)$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a, b)$ 에 존재.

이는 $2$ 번과 유사하게 증명된다.

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요약하자면 평균값 정리 속에 롤의 정리가 이용되고,

롤의 정리를 유도하는 과정에서 $f$ 가 상수함수가 아닌 경우 $a$ 또는 $b$ 가 아닌 점에서

적어도 하나의 극값을 가지게 된다는것이 평균값 정리에서 $c$ 가 $a, b$ 를 제외한 열린구간에 존재한다는 이유이다.

 

이는 $a$ 또는 $b$ 에서 미분가능성이랑 관련이 없으므로

이들 점에서 미분가능하게 만들더라도 똑같은 결론을 얻는다.

하지만 수학에서 정리는 같은 결론을 얻는다면 가장 최소한의 조건을 적기 때문에

열린구간에서 미분가능하다를 택한것일 뿐이다.

당연한 말이지만 롤의정리에서도 같은 이유로 열린구간속에 $c$ 가 존재한다.