오일러 공식과 이를 유도하는 두 가지 방법

$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$

 

오일러 공식(Euler's Formula)은 워낙 유명해서 한 번 쯤은 다들 들어봤을 것이다.

이 글에서 오일러 공식을 유도하는 두 가지 방법에 대해 설명할 것이다.

이 글을 모두 이해하려면 대학 미적분학이랑 미분 방정식을 공부해야 하지만

첫 번째 방법인 테일러 전개를 이용한 방법은 테일러 급수에 대해 대강 설명하고 시작했기 때문에

그냥 보아도 이해 될 것으로 기대한다.

 

 

 

 

 

1. 테일러 전개를 이용한 방법

 

테일러 전개는 쉽게 얘기 하면,

특정한 조건을 만족하는 함수 $f(x)$ 는 다음과 같이 다항식의 무한 합으로 표현될 수 있는데

$$ f(x) = \sum_{x = 0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$

이를 $x = a$ 중심의 테일러 전개라고 부른다.

식 표현이 복잡해 보이지만 대충 얘기하면, 중심이 $x = 0$ 일 때 기준 다음과 같은 꼴로 전개될 수 있다는 것이다.

$$ f(x) = A + Bx + Cx^2 + Dx^3 + ... $$

$f(x) = e^x$ 는 위에서 말한 그 특정한 조건을 잘 만족하는 함수이고

$x = 0$ 중심의 테일러 전개가 다음과 같음이 알려져 있다.

$$ \begin{align} e^x &= \sum_{x = 0}^{\infty} \dfrac{1}{n!}x^n \\ &=1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} + ... \end{align}$$

마찬가지로 $\sin{x}, \; \cos{x}$ 도 테일러 전개가 가능한 함수이고 같은 중심일 때 다음과 같음이 알려져 있다.

$$ \textcolor{skyblue}{\sin{x} = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ...} $$

$$ \textcolor{orange}{\cos{x} = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ...} $$

 

 

 

$e^x$ 와 $\sin{x}, \; \cos{x}$ 의 테일러 전개가 어떻게든 엮을 수 있을 것 처럼 생겼다.

일단 다음과 같이 $\sin{x}$ 와 $\cos{x}$ 를 더해보면 $e^x$ 와 유사한 꼴을 얻을 수 있을 것 같다.

(사실 무한 급수를 재배열 해서 더하는 행위를 하려면, 두 급수가 절대수렴하는지 살펴봐야 한다.

$\sin{x}$ 와 $\cos{x}$ 는 비 판정법을 이용하면 절대 수렴하는 급수임을 쉽게 알 수 있다.)

$$ \textcolor{skyblue}{\sin{x}} + \textcolor{orange}{\cos{x}} \textcolor{yellowgreen}{=} \textcolor{orange}{1} \textcolor{skyblue}{+ x} \textcolor{orange}{- \dfrac{x^2}{2!}}  \textcolor{skyblue}{- \dfrac{x^3}{3!}} \textcolor{orange}{+ \dfrac{x^4}{4!}} \textcolor{skyblue}{+ \dfrac{x^5}{5!}} - ... $$

$e^x$ 와 대충은 비슷하지만 부호들이 약간씩 다른 것이 보인다.

 

하지만 여기서 $e^x$ 에 $x$ 대신 $ix$ 를 대입하는 아이디어를 이용하면 부호를 조작할 수 있을 것 같다.

(여기서 $i$ 는 허수 $i = \sqrt{-1}$ 이다.)

$e^{ix}$ 는 다음과 같다.

$$ e^{ix} = 1 + ix - \dfrac{x^2}{2!} - i\dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + i\dfrac{x^5}{5!} - ... $$

위에서 보인 $\sin{x} + \cos{x}$ 의 테일러 전개랑 부호는 같아졌다.

하지만 짝수 항마다 $i$ 가 계수로 붙어 있는 차이가 있음을 확인할 수 있는데, 짝수 항에 해당하는 값들이 뭔지 살펴보면

$\sin{x} + \cos{x}$ 전개에서 하늘색에 해당하는 $\sin{x}$ 에 $i$ 만 곱한 것임을 알 수 있다.

따라서 다음과 같이 정리된다.

$$e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}$$

 

여기에 $x = \pi$ 를 대입하면 우리가 익히 아는 식이 나온다.

$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$

 

이 식이 매우 신기한 이유는

서로 전혀 관계가 없다고 생각했던 자연로그 상수 $e$, 원주율 $\pi$, 자연수의 첫 번째 원소인 $1$, 허수 $i$ 가

사실은 위와 같은 관계를 형성하며 연관이 되어 있음이 밝혀졌기 때문이다.

 

참고로 $f(x) = e^{x}$ 는 $x$ 가 실수인 범위에서 정의된 실함수이기 때문에 복소수 $ix$ 를 대입하는 것은 말이 안된다.

하지만 수학자들은 $ix$ 가 대입이 된다고 가정하고 전개한 식

$e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}$ 를 통해서 복소수 범위의 지수함수를 정의하기로 했다.

 

 

 

 

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2. 미분방정식 $y'' + y = 0$ 을 이용한 방법

 

$y'' + y = 0$ 은 2계 선형 미분방정식이므로 두 개의 독립인 해 $y_1, \; y_2$ 를 가지고

이들의 선형결합인 $y = c_1y_1 + c_2y_2$ 가 일반 해를 이룬다.

여기서 일반 해(General Solution)란, $c_1, c_2$ 에 임의의 값을 대입하여 얻은 식이

미분방정식을 만족하게 하는 가능한 모든 해를 포함한다는 의미이다.

즉, $y'' + y = 0$ 을 만족하는 임의의 함수를 두 개 찾고 그 둘이 독립임을 확인하기만 하면

이 미분방정식의 모든 해가 포함되는 해집합을 만들 수 있는 것이다.

 

직관에 의해 $\sin{x}$ 와 $\cos{x}$ 가 미분방정식 $y'' + y = 0$ 을 만족함을 알 수 있다.

그리고 $W[\sin, \cos](x) = \begin{vmatrix} \sin{x} & \cos{x} \\ \cos{x} & -\sin{x} \end{vmatrix} = -\sin^2{x} - \cos^2{x} = -1 \neq 0$ 이므로

링크에서 설명하는 정리에 의해 $\sin{x}$ 와 $\cos{x}$ 는 실수 전체에서 독립이다.

따라서 $y = c_1\sin{x} + c_2\cos{x}$ 는 $y'' + y = 0$ 의 일반 해이다.

 

한편, $y = e^{ix}$ 역시 $y'' + y = 0$ 의 해가 됨을 직접 대입해보면 확인할 수 있다.

그런데 위에서 $c_1\sin{x} + c_2\cos{x}$ 가 일반 해라고 하였으므로

$e^{ix}$ 는 위 식의 $c_1, \; c_2$ 에 값을 대입하여 표현할 수 있는 식이어야 한다.

따라서 어떤 상수 $c_1, \; c_2$ 에 대해 다음과 같다.

$$ e^{ix} = c_1\sin{x} + c_2\cos{x} $$

 

이제 위 식을 만족하는 $c_1, \; c_2$ 가 무엇인지 찾아보자. 

$x = 0$ 을 대입해보면 $c_2 = 1$ 임을 알 수 있다.

그리고 $e^{ix} = c_1\sin{x} + c_2\cos{x}$ 의 양변을 미분해보면 다음과 같은데

$$ ie^{ix} = c_1\cos{x} - c_2\sin{x} $$

여기에 $x = 0$ 을 대입해보면 $c_1 = i$ 를 얻을 수 있다.

($\dfrac{d}{dx}e^{ix} = ie^{ix}$ 가 만족하는지도 사실 증명해야하는 것이다.

왜냐하면 실함수에서의 미분공식이 복소함수에서도 같은 형태로 적용되는지는 알 수 없기 때문이다.) 

 

따라서 $e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}$ 이다.