p - $\infty$ Norm 이 $\underset{j}{\max}|x_j|$ 인 이유

크기가 $n$ 인 벡터 $\vec{x}$ 에 대해 p-$\infty$ Norm 의 정의는 다음과 같다.

$$ \lVert \vec{x} \rVert_\infty = \lim_{p \to \infty} \left( |x_1|^p + |x_2|^p + |x_3|^p + \cdots + |x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}} $$

그리고 많은 전공서에서 위 식이 다음과 같은 식과 같다는 것을 증명 없이 기재해 놓았다.

$$ \lVert \vec{x} \rVert_\infty = \underset{j}{\max}|x_j| $$

 

 

 

이 것의 증명에는 압축 정리(Squeeze theorem)의 아이디어가 이용된다.

우선 다음이 성립함을 관찰하자.

$$ \begin{align} \lVert \vec{x} \rVert_\infty \textcolor{red}{=} &\lim_{p \to \infty} \left( |x_1|^p + |x_2|^p + |x_3|^p + \cdots + |x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}} \\ \textcolor{red}{=} &\lim_{p \to  \infty} \left( \sum_{i = 0}^{n} |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} \textcolor{blue}{\le} \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{i=0}^{n} \underset{j}\max|x_j|^p \right)^{\frac{1}{p}} \\ \textcolor{red}{=} &\lim_{p \to \infty} n^{\frac{1}{p}} \underset{j}{\max}|x_j| \\ \textcolor{red}{=} &\underset{j}{\max}|x_j|  \end{align} $$

이는 당연하다. 크기가 $n$ 인 벡터가 있을 때 이 벡터의 원소들의 합 보다

벡터의 원소들 중 최댓값을 갖는 원소를 n개 더한 것이 더 크기 때문이다.

(정확히는 각 원소들에 $p$ 승을 하여 합한 후 $p$ 제곱근을 씌우는 것이지만, 절댓값이 씌어진 이상

이러한 행위가 대소관계에 변화를 주지는 않는다.)

쉽게 비유하자면, 손흥민이 포함 된 동네 아마추어 축구 팀보다

손흥민으로만 이루어진 11명의 축구팀이 더 센 것과 같은 이치라고 생각하면 된다.

 

아무튼 따라서 p-$\infty$ Norm 의 상계(Upper bound)는 다음과 같다.

$$ \lVert \vec{x} \rVert_\infty \le \underset{j}{\max}|x_j| \tag{1}$$

 

이번엔 하계(Lower bound)를 살펴보자.

어떤 벡터의 원소들의 크기의 합은 그 원소들 중 가장 크기가 큰 원소 하나 보다 크거나 같다.

역시 비유하자면, 손흥민이 포함된 11명의 축구팀의 전력은 당연하게도 손흥민 1명보다 강한 것으로 설명 된다.

따라서 다음의 식이 성립한다. $$ \lVert \vec{x} \rVert_\infty \textcolor{red}{=} \lim_{p \to  \infty} \left( \sum_{i = 0}^{n} |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} \textcolor{blue}{\ge} \lim_{p \to \infty} (\underset{j}{\max}|x_j|^p)^\frac{1}{p} \textcolor{red}{=} \underset{j}{\max}|x_j| $$

 

따라서 p-$\infty$ Norm 의 하계(Lower bound)는 다음과 같다.

$$ \underset{j}{\max}|x_j| \le \lVert \vec{x} \rVert_\infty \tag{2}$$

 

식 $\text{(1)}, \; \text{(2)}$ 를 통해 다음의 결론을 얻고 증명이 완성된다.

$$ \lVert \vec{x} \rVert_\infty = \underset{j}{\max}|x_j| $$