$f(x+\textcolor{orange}{h})$ 의 테일러 전개가 $ f(x) + f'(x) \textcolor{orange}{h} + \frac{f''(x)}{2}\textcolor{orange}{h^2} + ... $ 인 이유

주로 수치해석 관련 전공서에서 다음과 같은 수식을 종종 볼 수 있다.

$$ f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \dfrac{f''(x)}{2}h^2 + \dfrac{f'''(x)}{6}h^3 + ... $$

(주로 $h>0$ 인 경우이다. $h<0$ 이면 $-h$ 로 대체하면 된다.)

 

끊임 없이 검증하고 이해하기를 좋아하는 사람이면 이 식을 보고 이상한 점을 느꼈을 지도 모른다.

왜냐하면 중심이 $0$ 이 아닌 값 $a$ 에서의 테일러 급수의 정의는 다음과 같은데

중심이 $a$ 인 테일러 전개의 정의

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + \dfrac{f'''(a)}{6}(x-a)^3 + ... $$

$x$ 대신에 $x+h$ 를 쓰고 $a$ 대신에 $x$ 를 쓰면 되겠지 싶겠지만 이러한 치환이 뭘 의미하는지 전혀 파악이 되지 않기 때문이다.

실제로 이건 결과적으로 같은 답이 나오게 되는 치환이지 내포하는 의미도 없으며 옳은 치환이 아니다.

여기서 옳다는 것의 기준은 저 식을 만들어낸 사람 입장에서 무엇을 의도하고 만든 식인가가 기준이다.

 

 

 

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■ 옳은 치환 과정

수치해석이 이용되는 컴퓨터에서는 무한 합을 표현할 수 없으므로 일반적으로는 n차 테일러 전개로 잘라서 표현한다.

그리고 n차 테일러 전개는 전개 중심에서 벗어난 값일 수록 오차가 커지게 되는데

수치해석에서 그런 값은 원하지 않으므로 $x-a$ 는 충분히 작은 값이라고 상정할 수 있다.

이를 $h$ 라고 두자. 그러면 $x = a+h$ 이고 다음과 같이 식을 새로 적을 수 있다.

$$ f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \dfrac{f''(a)}{2}h^2 + \dfrac{f'''(a)}{6}h^3 + ... $$

여기서 고정점인 중심 $a$ 대신에 언제든 다른 값을 대입할 여지를 주기 위해

$a$ 대신 다른 변수, 예를 들어 $\textcolor{skyblue}{z}$ 를 대입하면 다음과 같다.

$$ f(\textcolor{skyblue}{z} + h) = f(\textcolor{skyblue}{z}) + f'(\textcolor{skyblue}{z})h + \dfrac{f''(\textcolor{skyblue}{z})}{2}h^2 + \dfrac{f'''(\textcolor{skyblue}{z})}{6}h^3 + ... $$

앞서 존재하던 $x$ 와 구분하기 위해 $\textcolor{skyblue}{z}$ 라는 변수를 썼지만,

사실 그냥 속으로 다른 변수임을 인지하고 있다면 $\textcolor{orange}{x}$ 라고 써도 상관 없을 것이다.

따라서 다음과 같이 식이 완성된다. 

$$ f(x + h) = f(x) + f'(x)h + \dfrac{f''(x)}{2}h^2 + \dfrac{f'''(x)}{6}h^3 + ... $$

 

 

사실 위 식이 $x$ 에 대한 함수 $f(x+h)$ 의 테일러 전개인건 아니다.

테일러 전개 정의대로라면

$$ f(x+h) = f(-h) + f'(-h)(x+h) + \dfrac{f''(-h)}{2}(x+h)^2 + ... $$

이어야 할텐데 이 식은 위에서 유도한 식과 다르다.

정확히는 테일러 전개 과정을 거치는 그냥 어떤 식이라고 보는게 옳다.