하루에 시계의 시침과 분침은 몇 번 만날까?

 

이번 글은 수학적인 계산보다는 직관으로 푸는 방법에 대해 설명한다.

 

바로 본론으로 들어가면

시침의 각속도가 $0$ 이여서 멈춰있다면, 하루에 분침이 $24$ 바퀴 도므로

둘은 하루에 $24$번 만나게 된다.

 

반대로 시침이 분침만큼 빠르다면 둘은 만난상태로 계속 돌게되므로

시침과 분침이 서로 스쳐서 지나가는 경우는 하루에 $0$ 번이 된다.

 

실제의 시침은 이 두 가지 경우의 속도들의 사이에 있다.

첫 번째 경우보다 빠르고 두 번째 경우보다 느리다.

즉, 두 바늘은 하루에 $0$ 번 보다 많고 $24$ 번 보다 적게 만난다는 뜻이다.

이렇게 답이 $24$ 번이 아님을 직관적으로 알 수 있다.

 

왜냐하면 실제 시계의 시침은 하루에 두 바퀴 도는데,

시침의 속도가 $0$ 이였을 때와는 달리 느리게라도 도는 속도가 생기면

분침이 따라잡아야하는 각도가 더 늘어나기 때문에

하루에 만나게 되는 횟수가 $24$ 번보다 적어지기 때문이다.

그리고 그 분침이 따라잡아야 하는 각도 '스택'이 점점 쌓이다가

시침이 한 바퀴 도는 순간 만나는 횟수가 $-1$ 로 차감이 된다고 생각하면 된다.

 

따라서 실제 정답은 $24$ 번에서 시침이 하루에 도는 바퀴수인 $2$ 번를 뺀

하루에 $22$ 번 만난다.

 

 

 

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비슷한 방법으로 하루에 시침과 초침이 만나는 횟수를 구해보자.

 

시침은 하루에 $2$ 번 돌고

분침은 하루에 $24$ 번 돌고

초침은 하루에 $24 \times 60 = \textcolor{orange}{1440}$ 번 돈다.

 

따라서 시침과 초침은 하루에 $1440 - 2 = \textcolor{red}{1438}$ 번 만나고

분침과 초침은 하루에 $1440 - 24 = \textcolor{red}{1416}$ 번 만난다.