$\text{curl}$ 이 회전을 나타내는 연산자인 이유

$\text{curl }\textbf{F}(x,y,z)$ 는 점 $(x,y,z)$ 의 주변 벡터들이 회전하는 정도를 의미한다고 알려져 있다.

그리고 식으로는 다음과 같이 정의되어있는데

$$ \text{curl } \textbf{F} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \left( \dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z} \right) \textbf{i} + \left( \dfrac{\partial P}{\partial z} - \dfrac{\partial R}{\partial x} \right) \textbf{j} + \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \textbf{k} $$

왜 이런 복잡한 식이 회전을 나타내는지 이번 글에서 설명하고자 한다.

 

 

문제를 쉽게 하기 위해서 3차원이 아닌

2차원 평면 위에 놓인 $\textbf{F}(x,y,z) = <P(x, y), Q(x, y), 0>$ 의 $\text{curl}$ 을 생각하자.

$\text{curl}$ 의 정의에 이 $\textbf{F}$ 를 대입하면 다음과 같다.

$$ \text{curl }\textbf{F} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P(x,y) & Q(x,y) & 0 \end{vmatrix} = \textcolor{red}{ \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \textbf{k} }$$

일단은 $z$ 축 방향의 단위벡터인 $\textbf{k}$ 를 무시하고

앞에 곱해져있는 $ \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} $ 가 왜 회전정도를 나타내는지 알아볼 것이다.

참고로 이 글에서 소개하는 유도방법은 증명이 아니다.

왜 회전을 나타내는가에 대한 모델링을 이용한 설명이라고 생각하면 된다.

 

 

 

 

 

회전을 측정하기 위해 다음과 같은 생각을 해보자.

 

0. 평면상의 회전은 반시계방향, 시계방향 두 방향이 존재하는데,

이를 구분하기 위해 반시계 방향을 양수, 시계방향을 음수라고 약속하자.

 

1. 2차원 평면상에서 일어나는 일이므로, 회전을 $x$ 성분, $y$ 성분의 두 성분만 생각하면 된다.

 

2. 살펴보고자 하는 점을 둘러싼 아주 작은 미소 사각형 영역을 고려한다.

 

3. 사각형의 한 변에서의 벡터들이 회전하는 방향이랑 얼마나 연관되어있는지 계산한다.

이 때 계산의 단순화를 위해 사각형 상하좌우의 변에 벡터가 하나씩 존재한다고 가정하자.

그리고 각 변의 회전하는 방향을 반시계 방향으로 정한다음

각 변에서 벡터의 변의 방향에 해당하는 성분의 크기를 내적을 통해 구하고 변의 길이를 곱해주어

그 변의 회전방향으로 벡터가 얼마나 작용하고 있는지를 나타내준다.

 

4. 네 변에 대해 이를 계산한 후 합하여 이 값으로 회전정도를 정의한다.

 

5. 마지막으로 임의로 사각형 영역을 설정했었으므로 사각형 영역의 넓이를 다시 나누어주면

단위 넓이 당 회전 정도를 표현하는 식이 될 것이다.

 

 

 

 

위 그림을 살펴보자.

붉은 점으로 표시된 $\text{curl}$ 을 알아보고자 하는 위치인 $(x,  y)$ 가 있고

이를 밑변의 길이가 $2 \Delta x$, 높이가 $2\Delta y$ 인 직사각형이 둘러싸고 있다.

회전 방향은 직사각형의 각 변에 표시된 대로 반시계방향을 기준으로 잡고 있으며

네 변에는 붉은 화살표로 표현된 벡터가 하나씩 대응되어 있다.

 

위에서 회전의 정도를 계산하려면

한 변에서 그 변의 방향에 해당하는 벡터의 성분을 변의 길이랑 곱해주고

이를 네 변에 대해 수행해서 다 더해주면 된다고 했었다.

 

우선 상단에 있는 변에 대해 계산해보자.

벡터장이 $\textbf{F}(x,y) = <P(x,y), Q(x,y)>$ 로 주어져있다고 하자.

 

$$ \begin{align}  \text{상단에 있는 변에서의 } \textbf{F} \text{ 의 회전 정도} = &\textbf{F}_{\text{상}} \cdot \textcolor{orange}{\text{변의 방향을 나타내는 단위벡터}} \times \textcolor{skyblue}{\text{변의 길이}} \\ = &<P(x, y+\Delta y), Q(x, y+\Delta y)> \cdot \textcolor{orange}{<-1, 0>} \times \textcolor{skyblue}{2\Delta x} \\ = &-P(x, y+\Delta y) \times (2\Delta x) \end{align} $$

이 식의 분모분자에 모두 $2\Delta y$ 를 곱해주면 다음과 같다.

$$ \dfrac{-P(x, y + \Delta y)}{2\Delta y} (2\Delta x)(2\Delta y) $$

 

같은 방법으로 아랫변에 대해 회전 정도를 계산해주면 다음을 얻을 수 있다.

$$ \dfrac{P(x, y - \Delta y)}{2 \Delta y} (2\Delta x)(2\Delta y) $$

 

이 둘을 더해주면 다음과 같다.

$$ -\dfrac{P(x, y + \Delta y) - P(x, y - \Delta y) }{2\Delta y} (2\Delta x)(2\Delta y) $$

 

우리는 넓은 영역에서의 회전이 아닌 특정 점에서의 회전을 계산하고자 한다.

따라서 $\Delta x, \Delta y \to 0$ 극한을 취해주면 편미분계수의 정의에 의해 다음과 같다.

$$ -\dfrac{\partial P}{\partial y}\; dxdy $$

 

역시 같은 방법으로 좌측, 우측에 있는 변에 대해 계산을 해주어 더한 후 극한을 취해주면 다음을 얻을 수 있다.

$$ \dfrac{\partial Q}{\partial x} \; dxdy $$

 

이제 이 둘을 더하면 상하좌우의 변에 대한 $\textbf{F}$ 의 회전정도를 계산하게 되는 것이다.

$$ \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \; dxdy $$

이 회전량은 넓이가 $dx dy$ 인 사각형 위에서 정의된 것이다.

이제 이 미소넓이를 나누어주어야 단위넓이당 회전량을 표현하게 된다.

따라서 회전 정도를 나타내는 식은 다음과 같다.

$$ \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \tag{result}$$

 

 

앞서 언급했듯 평면상의 회전은 반시계방향, 시계방향 두 종류가 있다고 했는데,

수학자, 물리학자들은 편의를 위해 반시계방향의 회전은 그 면을 뚫고 나오는 수직 방향의 벡터로 표현하고

시계방향의 회전은 그 면을 뚫고 들어가는 수직 방향의 벡터로 표현하기로 약속했다.

 

위에서 구한 결과는 $xy$ 평면에 대한 회전 정도였지 방향은 나타나있지 않았었다.

그런데, 계산과정에서 반시계방향을 회전 기준으로 잡겠다고 했으므로 방금 정의한 회전방향대로

식 $\text{(result)}$ 에 $xy$ 평면을 뚫고 나오는 방향의 단위벡터 $\textbf{k} = <0,0,1>$ 을 곱해주면

회전방향까지 표현한 식이 된다. 그리고 이는 처음에 붉은 색으로 표현했던 다음 식과 같다.

$$ \textcolor{red}{  \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \textbf{k} } $$

 

$xy$ 평면에서 말고 $yz$ 평면, $xz$ 평면에 대해서도 같은 방법으로 회전정도를 계산할 수 있고

계산해보면 각각 $ \left( \dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z} \right) \textbf{i}, \left( \dfrac{\partial P}{\partial z} - \dfrac{\partial R}{\partial x} \right) \textbf{j} $ 로 나옴을 알 수 있다.

 

이로써 $\text{curl}$ 이 왜 벡터장의 회전정도를 표현하는가에 대한 설명이 완료된다.