PDE - Solving heat equation using combination of variables method

Heat equation 의 풀이법 중 하나인 Combination of variables method를 소개한다.

Heat equation 은 다음의 꼴을 갖는 편미분방정식이다.

Heat equation

3차원 공간에서 특정 시간 $t$ 와 특정 위치에서의 온도를 나타내는 함수 $u(x, y, z, t)$ 에 대해
$$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \nabla^2 u$$

 

종종 문제를 간단히 하기 위해 $y$ 와 $z$ 에 대한 열전달이 없다고 가정하고

오직 한 방향 $x$ 에 대해 이 방정식을 다음과 같이 기술한다.

$$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$

 

이런 꼴의 편미분방정식은 아래에서 소개할 combination of variables method 를 사용하면

이계 선형 상미분방정식으로 변형시킬 수 있고, 이계 선형 상미분방정식은 손쉽게 풀어낼 수 있는 꼴이므로 유용하다.

 

 

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보기 편하게 하기 위해 다시 한 번 식을 가져온다.

$$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$

$x, t$ 에 대한 이변수 함수인 $u(x, t)$ 를 어떤 $\eta$ 라는 변수를 상정하여

$u(x, t) = f(\eta)$ 처럼 일변수 함수로 표현하자.

뜬금없어 보이고 이게 가능한 건가 싶지만, 이건 항상 가능한 일이다.

 

예를 들어 $u(x,t) = x^2y^4$ 라 하자.

물론 $\eta = xy^2$ 라고 하면 $u(x,t) = f(\eta) = \eta^2$ 이렇게도 가능하겠지만

그냥 우변 전체($x^2y^4$) 를 $\eta$ 라고 해버려도 $u(x,t) = f(\eta) = \eta$ 이런 식으로 가능하기 때문이다.

다시 말해, $u(x,t) = \textcolor{skyblue}{\text{아무 식}}$ 이라도 그냥 $\textcolor{skyblue}{\text{아무식}} = \eta$ 라고 해버리면 $f(\eta) = \eta$ 가 되니

어떤 꼴로 묶이던 간에 변수를 항상 묶을 수 있다는 말이다.

 

 

아무튼 $u$ 를 전미분해보자.

$u(x,t)$ 처럼 이변수 함수의 입장에서 보면 다음과 같이 전개된다.

$$ \textcolor{skyblue}{du} = \textcolor{limegreen}{\dfrac{\partial u}{\partial x}} dx + \textcolor{limegreen}{\dfrac{\partial u}{\partial t}} dt \tag{1} $$

한편, $u = f(\eta)$ 로 일변수 함수의 입장에서 본다면 전미분은 다음과 같다.

$$\begin{align} \textcolor{skyblue}{du} &= \dfrac{df}{d\eta}d\eta \\ &= f'(\eta) \textcolor{orange}{d\eta} \end{align} \tag{2}$$

그런데 $\eta$ 가 $x, t$ 라는 변수로 묶였으니 $\eta$ 는 이들에 대한 이변수 함수이다.

따라서 $\eta$ 의 전미분 $\textcolor{orange}{d\eta}$ 는 다음과 같다.

$$ \textcolor{orange}{d\eta} = \dfrac{\partial \eta}{\partial x} dx + \dfrac{\partial \eta}{\partial t} dt \tag{3} $$

이것을 식 $(2)$ 에 대입하여 $dx$ 와 $dt$ 에 대해 정리하면 다음과 같다.
$$ \textcolor{skyblue}{du} = \textcolor{limegreen}{f'(\eta) \dfrac{\partial \eta}{\partial x}} dx + \textcolor{limegreen}{f'(\eta) \dfrac{\partial \eta}{\partial t}} dt $$

$(1)$ 번 식의 $dx$ 앞에 곱해진 식, $dt$ 앞에 곱해진 식을 비교해보면 다음 결론을 얻는다.

$$ \begin{cases} \textcolor{magenta}{\dfrac{\partial u}{\partial x}} = f'(\eta) \dfrac{\partial \eta}{\partial x} \\ \\ \dfrac{\partial u}{\partial t} = f'(\eta) \dfrac{\partial \eta}{\partial t} \end{cases} $$

 

 

$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} $ 의 좌변을 표현하는 식은 방금 $\dfrac{\partial u}{\partial t} = f'(\eta) \dfrac{\partial \eta}{\partial t}$ 로 구했다.

이제 우변을 표현하는 식을 구할 것이다. 그러기 위해 이번엔 $\textcolor{magenta}{\dfrac{\partial u}{\partial x}}$ 의 전미분을 구해보자.

 

$x, t$ 에 대한 함수의 입장에서 전미분을 하면 다음과 같다. (왜 $x, t$ 에 대한 함수인지는 밑에서 설명한다.)

$$ \begin{align} d \left( \textcolor{magenta}{\dfrac{\partial u}{\partial x}} \right) &= \dfrac{\partial \left( \textcolor{magenta}{\frac{\partial u}{\partial x}} \right)}{\partial x} dx + \dfrac{\partial \left( \textcolor{magenta}{\frac{\partial u}{\partial x}} \right)}{\partial t} dt \\ &= \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} dx + \dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} dt \end{align} \tag{4}$$

한편 $\textcolor{magenta}{\dfrac{\partial u}{\partial x}} = f'(\eta) \dfrac{\partial \eta}{\partial x}$ 는 $x, t, \eta$ 에 대한 함수이다.

왜냐하면 $f'(\eta)$ 가 $\eta$ 에 대한 함수이고, $\dfrac{\partial \eta}{\partial x}$ 가 $x, t$ 에 대한 함수 $\eta$ 의 미분이기 때문에

$\dfrac{\partial \eta}{\partial x}$ 역시 $x, t$ 에 대한 함수이고 이들을 곱하면 $x, t, \eta$ 에 대한 함수가 되기 때문이다.

즉 $\textcolor{magenta}{\dfrac{\partial \eta}{\partial x}} = f'(\eta) \dfrac{\partial \eta}{\partial x} = \textcolor{magenta}{\psi(x, t, \eta)}$ 로 표현할 수 있다.

 

$x, t, \eta$ 에 대한 함수의 입장에서 전미분을 하면 다음과 같다.

$$ d \left( \textcolor{magenta}{\dfrac{\partial u}{\partial x}} \right) = \dfrac{\partial \psi}{\partial x} dx + \dfrac{\partial \psi}{\partial t} dt + \dfrac{\partial \psi}{\partial \eta} \textcolor{orange}{d\eta}$$

식 $(3)$ 의 $\textcolor{orange}{d\eta}$ 를 대입하고 정리하면 다음과 같다.

$$ d \left( \textcolor{magenta}{\dfrac{\partial u}{\partial x}} \right) = \left[ \dfrac{\partial \psi}{\partial x} + \dfrac{\partial \psi}{\partial \eta} \dfrac{\partial \eta}{\partial x} \right] dx + \left[ \dfrac{\partial \psi}{\partial t} + \dfrac{\partial \psi}{\partial \eta} \dfrac{\partial \eta}{\partial t} \right] dt \tag{5}$$

식 $(4), \; (5)$ 의 $dx$ 앞에 곱해진 식을 비교하면 다음의 결론을 얻을 수 있다.

$$ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \dfrac{\partial \psi}{\partial x} + \dfrac{\partial \psi}{\partial \eta} \dfrac{\partial \eta}{\partial x} $$

(참고로 일변수 미분과는 달리 편미분에서는 $\dfrac{\partial \psi}{\bcancel{\partial \eta}} \dfrac{\bcancel{\partial \eta}}{\partial x} = \dfrac{\partial \psi}{\partial x} $ 로 약분시키 듯 계산할 수 없다.

다변수 함수에서의 연쇄법칙은 일변수 함수에서의 연쇄법칙이랑 양상이 달라서 그렇다.)

이로써 $\dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 의 우변을 표현하는 식도 구했다.

 

 

 

 

지금까지 한 것을 정리해보자. $\dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 를 풀기 위해 $x, t$ 를 묶는 $\eta$ 라는 변수를 도입했고

좌변은 $f'(\eta)\dfrac{\partial \eta}{\partial t}$,  우변은 $\textcolor{magenta}{\psi(x, t, \eta)} = f'(\eta)\dfrac{\partial \eta}{\partial x}$ 인 $\psi$ 에 대해 $\dfrac{\partial \psi}{\partial x} + \dfrac{\partial \psi}{\partial \eta} \dfrac{\partial \eta}{\partial x}$ 임을 구했다.

 

 

이제는 좀 뜬금 없지만 $\eta = \dfrac{x}{\sqrt{4t}}$ 라고 정하자.

$\eta = \dfrac{x}{\sqrt{9999999t}}$ 라고 해도 상관은 없지만 위처럼 해야 깔끔하게 정리된다.

아무튼 이 $\eta$ 정의를 이용하면 다음을 얻을 수 있다.

$$ \begin{cases} \dfrac{\partial \eta}{\partial x} = \dfrac{1}{\sqrt{4t}} \\ \textcolor{skyblue}{\dfrac{\partial \eta}{\partial t}} = \dfrac{-x}{\sqrt{4t}^2} \cdot \dfrac{4}{2\sqrt{4t}} = -\dfrac{1}{2t} \cdot \dfrac{x}{\sqrt{4t}} = \textcolor{skyblue}{-\dfrac{\eta}{2t}} \end{cases} $$

그런데 아까 $\psi$ 가 $x, t, \eta$ 에 관한 식인 이유가 $f'(\eta)$ 가 $\eta$ 에 관한 식이고, $\dfrac{\partial \eta}{\partial x}$ 가 $x, t$ 에 관한 식이여서라고 했는데, $\eta$ 를 위처럼 정의했더니 $\dfrac{\partial \eta}{\partial x} = \dfrac{1}{\sqrt{4t}}$ 로써 $x$ 에 대한 연관성이 사라져 버렸다.

 

따라서 $\dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 의 우변을 표현하는 식은 다음과 같이 정리되고

$$ \begin{align} \cancel{\dfrac{\partial \psi}{\partial x}} + \dfrac{\partial \psi}{\partial \eta} \dfrac{\partial \eta}{\partial x} &= \dfrac{\partial \psi}{\partial \eta} \dfrac{\partial \eta}{\partial x} \\ &= \dfrac{\partial}{\partial \eta} \left[ \textcolor{magenta}{f'(\eta)\dfrac{\partial \eta}{\partial x}} \right] \dfrac{\partial \eta}{\partial x} = f''(\eta)\left( \dfrac{\partial \eta}{\partial x} \right)^2 \\ &= f''(\eta) \dfrac{1}{4t} \end{align} $$

좌변을 표현하는 식은 다음과 같이 표현 된다.

$$ f'(\eta)\dfrac{\partial \eta}{\partial t} = \textcolor{skyblue}{-\dfrac{\eta}{2t}}f'(\eta)$$

 

따라서 다음과 같다.

$$-\dfrac{\eta}{2t}f'(\eta) = f''(\eta) \dfrac{1}{4t} \Longrightarrow \textcolor{red}{f''(\eta) + 2\eta f'(\eta) = 0}$$

이 것은 $\eta$ 에 관한 선형 이계 상미분방정식이다.

 

 

 

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복잡한 과정을 지나왔는데, 마지막으로 요약하자면 다음의 편미분방정식

$$\dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

은 $x, t$ 를 묶는 $\eta = \dfrac{x}{\sqrt{4y}}$ 라는 변수를 도입하여 $u(x, y) = f(\eta)$ 로 만들면

다음의 상미분방정식으로 변환이 된다는 것이다.

$$ \dfrac{d^2 f}{d \eta^2} + 2\eta \dfrac{df}{d\eta} = 0 $$

 

 

 

이제 이 상미분방정식을 풀 것이다.

$F(\eta) = f'(\eta)$ 라고 정의하면 다음과 같이 일계 선형 미분방정식이 된다.

$$ F' + 2\eta F = 0 \tag{6}$$

일계 선형 미분방정식은 적분인자법으로 풀 수 있다. 적분인자는 다음과 같으므로

$$ \mu(\eta) = e^{\int 2 \eta d\eta} = e^{\eta^2} $$

식 $(6)$ 은 다음과 같이 풀어낼 수 있다.

$$ \left[ F \mu(\eta) \right]' = 0 \textcolor{orange}{\Longrightarrow} \left[ F e^{\eta^2} \right]' = 0 $$

양변을 $\eta$ 에 대해 적분하고 적분인자를 양변에 나눠주면 다음과 같다.

$$ Fe^{\eta^2} = C_1 \textcolor{orange}{\Longrightarrow} F = C_1e^{-\eta^2}$$

$F = f'$ 이므로 이를 대입하고 양변을 또 적분해주면 해가 구해진다.

$$ f = C_1\int_{0}^{\eta} e^{-s^2} ds + C_2 $$

$\eta$ 에 대한 함수 그대로 문제에 적용하여 써먹을 수도 있지만,

$\eta = \frac{x}{\sqrt{4t}}$ 를 대입하여 마무리 지어줄 수도 있다.

$$f(\eta) = u(x, t) = C_1\int_{0}^{\frac{x}{\sqrt{4t}}} e^{-s^2} ds + C_2$$