삼각 행렬의 eigen value가 대각 성분임을 직관적으로 쉽게(?) 이해하는 법

다음 식을 만족하는 벡터 $\vec{x}$ 를 eigen vector, $\lambda$ 를 eigen value 라고 정의한다.

$$ \textbf{A}\vec{x} = \lambda\vec{x} $$

이를 말로 풀어서 쓰면, 선형변환 $\textbf{A}$ 으로 벡터 $\vec{x}$ 를 변환시켜도 벡터가 회전되지 않고

같은 방향 또는 반대의 방향으로 늘어나거나 줄어들기만 하는 특수한 벡터가 있는데,

이렇게 방향이 유지되는 벡터가 eigen vector 이고 늘어나는 정도가 eigen value가 된다.

 

Eigen vector, eigen value를 구하기 위해 우선 식을 변형 하자.

$\lambda \vec{x} = \lambda \textbf{I} \vec{x}$ 이므로 이렇게 바꾸고 정리하면 다음과 같다.

$$ \left( \textbf{A} - \lambda \textbf{I} \right)\vec{x} = \vec{0} $$

이 때 $\vec{x} = \vec{0}$ 이라면 항상 성립하는 식이 되겠지만,

우리는 영벡터가 아닌 임의의 벡터에 대해 선형 변환시켰을 때 방향이 유지되는 벡터를 찾는게 목적이므로,

$\vec{x} = \vec{0}$ 인 경우는 배제하고 다른 길을 찾아보아야 한다.

 

선형대수학 앞 부분을 공부해보았다면 $\textbf{A}\vec{x} = \vec{0}$ 처럼 우변이 영벡터인

Homogeneous equation의 경우에는 다음과 같이 두 경우가 존재한다는 것을 보았을 것이다.

1. $\textbf{A}$ 가 Nonsingular(역행렬을 가지는 행렬)이면 $\vec{x} = \vec{0}$ 인 유일한 해를 갖는다.

2. $\textbf{A}$ 가 Singular(역행렬을 갖지 않는 행렬)이면 해 $\vec{x}$ 는 무한히 존재하거나 전혀 존재하지 않는다.

해가 존재하는 경우 중 그 해가 $\vec{0}$ 이 아니길 원하므로 2번의 선택지 중 해가 무한히 존재하는 경우밖에 없다.

 

이 논리를 적용해보자.

우리는 $\left( \textbf{A} - \lambda \textbf{I} \right)\vec{x} = \vec{0}$ 식을 보고 있으므로 $\textbf{A} - \lambda \textbf{I}$ 행렬이 Singular가 되길 바란다.

즉 $\det(\textbf{A} - \lambda \textbf{I}) = \vec{0}$ 를 만족하는 경우를 찾아야 한다.

 

 

 

 

 

이제 다음과 같은 상삼각행렬을 보자.

$$ \textbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} $$

삼각행렬은 모든 대각성분이 $0$ 이 아니므로 Nonsingular이다.

이 때 $\textbf{A} - \lambda \textbf{I}$ 는 다음과 같은데

$$ \textbf{A} - \lambda \textbf{I} = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 3 & -4 \\ 0 & -2 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 5 - \lambda \end{bmatrix} $$

여기서 대각성분이 하나라도 $0$ 이 된다면 $\det(\textbf{A} - \lambda \textbf{I}) = 0$ 가 되므로 이 행렬은 Singular가 된다.

따라서 이 경우엔 $\lambda = 1, \; -2, \; 5$ 세 경우에 대각성분중 하나가 $0$ 이 되게 되므로

행렬은 Singular가 되고 따라서 $\det(\textbf{A} - \lambda \textbf{I}) = 0$ 이 된다.

즉 삼각행렬의 대각성분이랑 eigen value가 일치한다는 얘기이다.

 

 

누군가에겐 이 방식의 이해가 더 복잡하다고 느낄 수 있지만

삼각행렬의 대각성분이 eigen value인 이유를 다른 각도로 이해할 수 있다는 점에서

나름의 가치가 있다고 생각한다.