[미분방정식] 차수 축소법 (Method of Reduction of Order)

2계 선형 미분방정식

$$ y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 $$

의 첫 번째 해 $y_1$ 가 무엇인지 알고 있다고 하자. 그러면 어떤 방법을 통해

$$ y_1\textcolor{skyblue}{k'} + (2y_1 + py_1)\textcolor{skyblue}{k} = 0 $$

꼴의 1계 선형 미분방정식을 푸는 문제로 난이도를 낮출 수 있다.

그리고 이 1계 선형 미분방정식을 풀어내면 미지의 해였던 $y_2$ 를 구할 수 있게된다.

이 방법을 차수 축소법(Method of Reduction of Order)이라 부른다.

여기서 $k$ 는 $t$ 에 관한 함수인데, 이게 무엇인지는 이제 설명할 것이다.

 

(참고 : 1계 선형 미분방정식 푸는 방법)

 

 

 

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다음과 같은 일반적인 형태의 2계 선형 미분방정식을 고려하자.

$$ y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 $$

그리고 어떤 방법으로든 첫 번째 해 $y_1$ 를 구했다고 가정한다.

두 번째 해는 어떤 함수 $v(t)$ 에 대해 $y_2 = v(t)y_1$ 라고 할 것이다.

뜬금 없는 아이디어지만 왜 그렇게 추측해볼 수 있는지는 다음과 같이 생각할 수 있다.

 

중첩의 원리에 의해 $y_1$ 가 해이면, 어떤 상수 $C$ 에 대해 $Cy_1$ 역시 해가 된다는 아이디어를 확장해보자.

$C$ 대신 좀 일반적으로 함수 $v(t)$ 를 곱한 $v(t)y_1$ 역시 해가 될 것 같은데?

 

 

이제 $y_2 = vy_1$ 가 해라고 했으므로 $L[y_2] = y''_2 + py'_2 + qy_2 = 0$ 을 만족해야 한다.

$y_2$ 를 한 번, 두 번 미분해보자.

$$ \begin{cases} \textcolor{skyblue}{y'_2} = v'y_1 + vy'_1 \\ \textcolor{skyblue}{y''_2} = v''y_1 + 2v'y'_1 + vy''_1 \end{cases} $$

이 식들을 $L[y] = 0$ 에 대입하면 다음과 같이 정리된다.

$$ y_1v'' + (2y'_1 + py_1)v' + \textcolor{orange}{(y''_1 + py'_1 + qy_1)}v = 0 $$

그런데 오렌지 색의 식을 보자.

$y_1$ 이 해라고 하였으므로 $L[y_1] = 0$ 을 만족하는데, 오렌지 색의 식이 $L[y_1]$ 임을 알 수 있다.

따라서 $v$ 항은 사라지고 아래와 같이 남는다.

$$ y_1v'' + (2y'_1 + py_1)v' = 0 $$

 

$v'$ 를 $\textcolor{skyblue}{k}$ 라고 하면

이 식은 이제 다음과 같이 $k$ 에 대한 1계 선형 미분방정식이 되어 버린다.

 

$$ y_1\textcolor{skyblue}{k'} + (2y_1 + py_1)\textcolor{skyblue}{k} = 0 $$

적분인자법으로 $\textcolor{skyblue}{k}$ 를 구하고 이를 적분하여 $v$ 를 구할 수 있고,

$y_2 = v(t)y_1$ 이므로 두 번째 해 $y_2$ 를 구할 수 있다.

 

 

일반적인 선형 2계 선형 미분방정식에서 전개한 방법이므로

당연하게도 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식에도 적용할 수 있다.

Characteristic equation이 서로 다른 두 실근을 갖든, 중근을 갖든, 켤레복소수 근을 갖든 상관없이 말이다.

 

 

 

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예제1

$$ y'' - 3y' - 4y = 0 $$
위의 미분방정식은 직접 대입을 통해 $y_1 = e^{-t}$ 를 해로 가짐을 알 수 있다.
이와 독립인 두 번째 해 $y_2$ 를 Characteristic equation을 이용하지 않고 구해보자.

$y_2 = v(t)y_1 = ve^{-t}$ 라고 하자.

그러면 $L[y_2] = y''_2 - 3y'_2 - 4y_2 = 0$ 을 만족해야 한다.

$$ \begin{cases} y_2 = (v)e^{-t} \\ y'_2 = (v' - v)e^{-t} \\ y''_2 = (v'' - 2v' + v)e^{-t} \end{cases} $$

이므로 이를 $L[y] = 0$ 에 대입하여 정리하면 다음과 같다.

$$ (v'' - 5v')e^{-t} = 0 $$

$e^{-t}>0$ 이므로 양변을 이 것으로 나누어 줘도 된다.

$$ v'' - 5v' = 0 $$

 

$k = v'$ 라고 하면 $k' - 5k = 0$ 의 1계 선형 미분방정식으로 변한다.

이 것을 푸는 정석 방법은 적분인자법이지만, 너무 간단한 식이기에 해가 $k = e^{5t}$ 라는 것이 보인다.

따라서 $\displaystyle v = \int k \; dt = c_1e^{5t} + c_2$ 이고 $\textcolor{orange}{y_2} = v(t)y_1 = \textcolor{orange}{c_1e^{4t} + c_2e^{-t}}$ 이다.

 

여기서 $c_2e^{-t}$ 항은 기존의 $y_1$ 과 종속이므로 무시해버릴 수 있다.

따라서 $y_2 = e^{4t}$ 이다.

 

 

이 미분방정식을 정석적인 방법으로 풀어보자.

(그렇다고 Reduction of order 방법이 편법이라는 말은 아니다.)

Characteristic equation은 $r^2 - 3r - 4$ 이므로 $r_1 = -1, \; r_2 = 4$ 라서

$y_1 = e^{-t}, \; y_2 = e^{4t}$ 임을 알 수 있다.

그리고 이는 위에서 구한 $y_2$ 결과와 일치한다.