양함수 형태로 주어진 점화식 수열 문제 푸는 방법

미분적분학에서 수열/급수 단원에서 다루는 문제 중

다음과 같은 유형이 있다.

 

다음 수열이 수렴하는지 판단하고, 수렴한다면 그 값을 구하라.
$$ a_{n+1} = \dfrac{1}{3-a_n}, \quad a_1 = 2 $$

 

점화식이 양함수 꼴로 주어져 있는 수열이다.

양함수란, 독립변수 $x_1, x_2, ... , x_n $ 에 대해 종속변수 $y$ 가

$y = f(x_1, x_2, x_3, ... , x_n) $ 꼴로 주어졌을 때 $f$ 는 양함수라고 얘기한다.

위 수열은 $a_{n+1} = y$ 라고 두고 $a_n = x$ 라고 하면 $y = f(x)$ 꼴이므로 양함수 꼴인 수열이다.

 

아무튼 이러한 유형의 문제 풀이는 정해져있다.
단조수열정리 (Monotone Sequence Theorem) 을 이용하는 것인데,

단조수열 정리는 유계인 단조수열은 수렴한다는 내용이다. (이 정리의 증명은 여기서는 하지 않는다.)

여기서 유계라는 말은, 수열의 항 $a_n$ 이 어떠한 값을 넘지 않고 일정한 범위 내에서만 존재한다는 것이고

단조수열은 증가수열, 감소수열을 합쳐서 증가 또는 감소하는 수열을 단조수열이라 부른다.

 

즉, 다음과 같은 과정을 진행해야 한다.

1. 유계인지 판단.

2. 증가/감소하는지 판단.

3. 수렴값을 $ L $ 로 두고 구하기

 

과정 2는 $a_2, a_3, a_4, ... $ 를 구해보면 대충 알 수 있지만, 유계인지는 쉽게 판단하기 힘들다.

하지만 증가/감소, 유계인지 여부를 한 번에 확인할 수 있는 좋은 방법이 있다.

위에서 점화식이 양함수 꼴로 주어져 있다고 했었다.

그 함수를 $ y = f(x) $ 라 하고 $ y = x $ 와 함께 좌표평면에 그린 후

$a_1 = 2$ 를 첫 $x$ 값으로 두고 어디로 향해가는지 살펴보면 된다.

 

위 그림을 보면, $a_2$ 를 구하기 위해 $a_1 = 2$ 에서 $y = \dfrac{1}{3-x}$ 에 만나는 점까지 직선을 올리고

그에 해당하는 $y$ 값을 살펴보기 위해 $90^\circ$ 꺾어 왼쪽으로 이었다.

$a_2 = 1$ 임을 알 수 있었는데, $a_3$ 을 구하기 위해서는 위 그림과 같이

이 $a_2$ 값을 $x$ 축으로 다시 내려서 같은 일을 반복해야 한다.

 

불필요한 과정을 생략해서 그림을 그려보자면 아래 그림과 같이

$y = x$ 에서 반사시켜서 계속 선을 그어주면 된다.

 

그림에서 알 수 있듯이, $x = f(x)$ 의 교점을 향해 수렴해 간다.

즉, 이 수열은 $a_1 = 2$ 에서 시작해 점점 감소하며 $ 0 < a_n \le 2 $ 구간에 속하게 됨을 예상할 수 있다.

만약 이 그림만 그려놓고 감소하면서 유계인 수열이라고 결론을 내버리면 $0$ 점짜리 풀이가 된다.

증명한 것이 아니기 때문이다.

이 그림을 그리는 것은 수열의 경향성을 판단하는데 도움을 받는 것에 그쳐야 한다.

 

 

 

이제 위에서 예상한 결과를 증명해보자.

다음 명제를 증명하면 된다.

모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $a_{n+1} < a_n$ 이고 $0 < a_n \le 2$ 이다.

귀납법으로 증명한다.

 

$a_1 = 2, \; a_2 = 1$ 이므로 $a_2 < a_1$ 을 만족하고, $0 < a_1 \le 2$ 도 만족한다.

이젠, $ n = k, \; k \in \mathbb{N} $ 일 때 성립한다고 가정하자.

즉 $a_{k+1} < a_k$ 이고 $0 < a_k \le 2$ 이다.

$a_{k+1} < a_k$ 이므로 $-a_{k+1} > -a_k \textcolor{red}{\Rightarrow} 3 - a_{k+1} > 3 - a_k \textcolor{red}{\Rightarrow} \dfrac{1}{3-a_{k+1}} < \dfrac{1}{3-a_k}$ 이다.

그런데 $a_{k+1} = \dfrac{1}{3-a_k}$ 이므로 위 부등식은 $a_{k+2} < a_{k+1}$ 과 같다.

또, $0 < a_k \le 2$ 라고 하였으므로 $-2 \le -a_k < 0 \textcolor{red}{\Rightarrow} 1 \le 3-a_k < 3 \textcolor{red}{\Rightarrow} \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{3 - a_k} \le 1 $

즉 $ a_{k+1} $ 역시 $0 < a_{k+1} \le 2$ 의 범위에 들어있다는 결론이 나온다.

 

$n = 1$ 일 때 성립하고 $n = k$ 일 때 성립한다고 가정했을 때 $n = k+1$ 일때도 성립함을 증명하였으므로

수학적 귀납법에 의해 모든 $n$ 에 대해 위 명제는 참이다. 

 

 

이로써 수열은 감소하고 유계임을 보였고, 단조수열정리에 의해 수렴함이 증명 되었다.

이제 수렴 값을 $L$ 이라고 두고 그 값을 구해보자.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = L$ 이므로 

점화식의 양변에 무한 극한을 취해주면 다음 식을 얻는다.

$$ L = \dfrac{1}{3-L} $$

정리하여 해를 구해보면 $L = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ 를 얻는다.

그런데, 감소수열이고 $a_1 = 2$ 이므로 $L < 2$ 여야 한다.

따라서 수렴값은 $L = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$ 이다.

 

 

 

 

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이번엔 다른 문제를 풀어보자.

다음과 같은 문제를 고등학교 수학에서 본 적 있을 것이다.

다음 값을 구하시오.
$$ \dfrac{3}{3 + \dfrac{3}{3 + \dfrac{3}{3 + \cdots}}} $$

흔히 알려진 풀이로

문제에서 값을 구하라고 하였으므로 당연히 수렴하니까 문제를 낸 것이라고 주장하며

$\dfrac{3}{3 + \cdots} = x$ 로 치환하여 $x = \dfrac{3}{3+x}$ 를 풀어냈을 것이다.

하지만 치환은 수렴한다는 것이 증명이 되었을 때 할 수 있는 것이고,

수렴성을 보이지 않고 위와 같이 푼다면 서술형에서는 $0$ 점을 받아야 할 풀이가 된다.

 

이 값이 수렴하는지 알아보기 위해 수열을 생각하자.

위 수를 표현하는 계산을 $n$ 번 반복한 수를 잡고

이를 $a_{n}$ 이라고 하면, $a_{n+1} = \dfrac{3}{3+a_n}$ 의 관계가 성립한다.

참고로 무한번 반복한 것이 아닌 $n$ 번 반복한 값을 $a_n$ 이라 한 것이므로

$a_n$ 은 하나의 고정된 값이다. 그래서 위에서 말한 $x$ 치환이랑 같은 것은 아니다.

 

이번엔 이 수열이 어디에서 유계인지 알아보기 위해

$y = x$ 와 $y = \dfrac{3}{3+x}$ 그래프를 그려보자.

 

 

우선 $a_n$ 은 양수이다.

왜냐하면 주어진 수가 양수인 $3$ 들의 합과 몫으로 이루어졌기 때문이다.

$a_n = x$ 라고 놓고 그린 함수 $y = \dfrac{3}{3+x}$ 가 $x > 0$ 인 범위에서 항상 $1$ 보다 작거나 같으므로

$0 < a_n \le 1$ 이 될 것으로 예상할 수 있다.

 

이번엔 수열이 어떻게 진행되는지 살펴보기 위해 $a_1 = \dfrac{1}{2}$ 로 두고 선을 그어보자.

 

$a_n$ 의  값이 $n$ 이 홀수에서 짝수로 넘어갈 때 증가, 짝수에서 홀수로 넘어갈 때 감소함을 알 수 있고

사각형의 소용돌이 모습을 보이며 $y = x$ 와의 교점으로 수렴함을 예상할 수 있다.

 

즉, 이번에는 다음과 같은 명제를 증명하면 된다.

모든 자연수 $n$ 에 대해 $0 < a_n \le 1$ 이고
$n$ 이 홀수이면 $a_{n+1} > a_n$
$n$ 이 짝수이면 $a_{n+1} < a_n$

역시 귀납법으로 증명하는데, 홀수인 경우만 증명하고 짝수인 경우는 유사하므로 생략한다.

$n = 1$  일 때, $a_1 = \dfrac{1}{2}$ 라고 가정하였으므로 $0 < a_1 = \dfrac{1}{2} \le 1$ 을 만족한다.

$a_2 = \dfrac{3}{3 + \frac{1}{2}} = \dfrac{6}{7}$ 이므로 $a_2 > a_1$ 도 만족한다.

 

이번엔 홀수인 자연수 $k$에 대해 $n = k$ 일 때 명제가 참이라고 가정하자.

즉, $0 < a_k \le 1$ 이고 $a_{k+\textcolor{red}{2}} > a_{k}$ 이다.  ($k$ 의 다음 홀수는 $k+2$ 이므로)

$0 < a_k \le 1$ 이므로 $3 < 3 + a_k \le 4 \textcolor{red}{\Rightarrow} \dfrac{3}{4} \le \dfrac{3}{3 + a_k} < 1$ 이다.

즉 $a_{k+1}$ 역시 $0 < a_{k+1} \le 1$ 의 범위 안에 든다는 것이다.

또, $a_{k+2} > a_k$ 이므로 $3 + a_{k+2} > 3 + a_k \textcolor{red}{\Rightarrow} \dfrac{3}{3+a_{k+2}} < \dfrac{3}{3+a_k} \textcolor{red}{\Rightarrow} a_{k+3} < a_{k+1}$

$\textcolor{red}{\Rightarrow} \dfrac{3}{3 + a_{k+3}} > \dfrac{3}{3 + a_{k+1}} \textcolor{red}{\Rightarrow} a_{k+4} > a_{k+2} $

즉 $n = 1$ 일 때 명제가 참이고, $n = k$ 일 때 참이라고 가정했을 때 $n = k+2$ 일 때 역시 참임을 증명하였으므로

수학적 귀납법에 의해 $n$ 이 홀수일 때 위 명제는 참이다. 짝수인 경우는 유사하게 증명한다.

 

$n$ 이 홀수인 경우, 수열은 증가하며 유계이고

$n$ 이 짝수인 경우, 수열은 감소하며 유계이므로

단조수열정리에 의해 홀수일 때, 짝수일 때 각각 수렴한다.

 

수렴 값을 각각 $L, \; M$ 이라고 하자.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+2} = L \quad \text{(n is odd)}$ 이고

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+2} = M \quad \text{(n is even)}$ 이므로 

$L = \dfrac{3}{3 + L}$,  $ M = \dfrac{3}{3+M} $ 이다.

해를 구해보면 $L = M = -\dfrac{3 + \sqrt{21}}{2}$ 을 얻고,

홀수일 때, 짝수일 때 수렴값이 같으므로 주어진 수열은 $-\dfrac{3 + \sqrt{21}}{2}$ 로 수렴한다.

 

따라서 다음이 성립한다.
$$ \dfrac{3}{3 + \dfrac{3}{3 + \dfrac{3}{3 + \cdots}}} = -\dfrac{3 + \sqrt{21}}{2} $$

 

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참고로 $f(x)$ 가 증가함수인 경우에는 첫 번째 예제 처럼 홀수 짝수 나뉨없이 문제가 풀리고

감소함수인 경우에는 홀수, 짝수인 경우로 나뉘게 나타난다고 한다.