$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \sin{\dfrac{1}{x}}$ 가 발산하는 것의 증명

 

$y = \sin{\dfrac{1}{x}}$ 의 그래프이다. $0$ 으로 다가갈수록 진폭이 좁아지며 무한히 진동하는 모습이다.

$\lim\limits_{x \to 0} \sin{\dfrac{1}{x}}$ 은 그림과 같이 진동하므로 발산한다는 것을 추측할 수 있다.

하지만 어디까지나 추측일 뿐 이러한 진동하는 함수들이 왜 발산하는지에 대해서 엄밀하게 증명할 필요가 있다.

 

참고로 전공교재인 스튜어트 미분적분학에도 $\lim\limits_{x \to 0} \sin{\dfrac{1}{x}}$ 가 진동하므로 발산한다 정도로만 서술되어있고

엄밀하게 증명되어있지는 않았다. 그래서 이렇게 증명을 작성하게 되었다.

 

 

 

 

 

증명

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수렴한다고 가정한 후 모순점을 보이는 귀류법을 통해 증명할 것이다.

극한이 다음과 같이 값 $L$ 에 수렴한다고 가정해보자.

$$ \lim_{x \to 0} \sin{\dfrac{1}{x}} = L  $$

 

한편 $-1 \le \sin{\dfrac{1}{x}} \le 1$ 이므로 $|L| \le 1$ 이다.

이제 $|L| = 1$ 인 경우와 $|L| < 1$ 인 경우를 나눠서 생각해보자.

 

$|L| = 1$ 인 경우

극한의 정의에 의해 그 어떤 $\epsilon > 0$ 에 대해서도
$0 < |x| < \delta$ 인 범위에서 항상 $\left| \sin{\dfrac{1}{x}} - 1 \right| < \epsilon$ 을 만족하게 하는 $\delta >0$ 가 존재해야 한다.

 

하지만 $\sin$ 안의 변수가 $\dfrac{1}{x} = n\pi, \; (n \in \mathbb{N})$ 이면,

즉, $x = \dfrac{1}{n \pi}$ 이면 $\sin{\dfrac{1}{x}} = 0$ 을 만족하고

아무리 $\delta$를 작게 하여도 $0 < |x| < \delta$ 의 범위 안에 $x = \dfrac{1}{n\pi} \Longrightarrow \sin{\dfrac{1}{x}} = 0$ 을 만족하게 하는 $n$들이 존재한다.

 

따라서 $\epsilon = \dfrac{1}{2}$ (1보다 작은 어떤 양수여도 상관없다.) 라고 하면 

$0 < |x| < \delta$ 인 범위에서 항상 $\left| \sin{\dfrac{1}{x}} - 1 \right| < \epsilon$ 을 만족하게 하는 $\delta >0$ 가 존재하지 않게 된다.

 

$|L| < 1$ 인 경우

극한의 정의에 의해 그 어떤 $\epsilon > 0$ 에 대해서도
$0 < |x| < \delta$ 인 범위에서 항상 $\left| \sin{\dfrac{1}{x}} - L \right| < \epsilon$ 을 만족하게 하는 $\delta >0$ 가 존재해야 한다.

 

한편 $\dfrac{1}{x} = 2n\pi + \dfrac{\pi}{2}, \; (n \in \mathbb{N}) $ 이면

즉 $x = \dfrac{2}{(4n+1)\pi}$ 이면 $\sin{\dfrac{1}{x}} = 1$ 을 만족한다.

역시 마찬가지로 아무리 작은 $\delta > 0$ 일지라도

$0 < |x| < \delta$ 일 때 $x = \dfrac{2}{(4n + 1)\pi} \Longrightarrow \sin{\dfrac{1}{x}} = 1$ 이게 하는 $n$들이 존재한다.

 

따라서 $L + \epsilon < 1$ 이게끔 하는 $\epsilon$ 에 대해서는 (오차범위 내에서 최대로 값을 올려도 1이 안되게 하는 오차 $\epsilon$ 을 설정하면)

$0 < |x| < \delta$ 인 범위에서 항상 $\left| \sin{\dfrac{1}{x}} - L \right| < \epsilon$ 을 만족하게 하는 $\delta >0$ 가 존재하지 않게 된다.

 

 

따라서 $|L| = 1$ 인 경우, $|L| < 1$ 인 경우를 종합하면 극한은 수렴하지 않는다는 결론을 내릴 수 있다.