※ 참고) 이번 글은 약간의 선형대수학 지식을 요합니다.
이전 글에서 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식은 $y = e^{rt}$ 라고 하면
이차방정식 형태로 나오는 특성방정식을 푸는 문제로 바뀌고,
서로 다른 두 실근, 중근, 켤레복소수근이 나올 수 있으므로
세 경우에 대한 풀이를 알아보면 된다고 했었다.
그리고 그 중 서로 다른 두 실근인 경우의 풀이법에 대해 다루었었다.
하지만 이전 글에서 얻은 일반 해(라고 추측한)의 형태 $y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ 가
진짜 일반 해인지 아닌지 증명하지는 않았다.
일반 해라고 부르려면, $y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ 형태의 해가 가능한 모든 해를 포함해야만 한다.
알고 보았더니 $e^{rt}$ 의 꼴 말고 다른 형태의 해가 존재할 수도 있으니 섣불리 넘어가서는 안될 문제이다.
(결론적으로 일반 해가 맞긴 하다.)
이번 글에서 주로 보일 내용은 다음과 같다.
방정식을 만족하는 서로 다른 두 가지 해 $y_1$, $y_2$ 를 찾으면 (추가 조건이 있지만 후술 예정)
이계 선형 미분방정식 $y'' + p(t)y' + q(t)y = 0$ 의 일반 해는
$$ y = c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t) $$ 이다.
결론만 놓고 보면 이전 글에서 서로 다른 해 $e^{r_1t}$, $e^{r_2t}$ 를 찾았고 이들을 선형 결합 하였으므로
$y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ 는 일반해가 맞다.
이제 왜 이런 결론이 나오는지 살펴보자.
우선 표현을 편리하게 하기 위해 다음과 같은 기호를 도입한다.
$$ L[\phi] = \phi'' + p(t)\phi' + q(t)\phi $$
$L[]$ 는 어떤 함수 $\phi(t)$ 를 인자로 받아 위와 같은 형태로 선형결합 해주는 함수의 함수라고 생각하면 된다.
$p(t)$, $q(t)$ 가 문제마다 다른데 대체 무슨 $p(t)$ 와 $q(t)$ 를 고르라는거냐?! 라고 생각할 수도 있다.
하지만 하나의 미분방정식을 푸는 도중에는 $p(t)$, $q(t)$ 가 주어져 고정된 상태이고
다른 $p$ 나 $q$ 가 등장할 일 없으니 그냥 현재 보는 문제에 대한 $p$, $q$ 만 생각하면 된다.
아무튼 $L[\phi]$ 를 도입하면 $\phi'' + p\phi' + q\phi$ 를 길게 적을 필요 없이 $L[\phi]$ 만 적으면 되므로 편리하다.
그리고 $L[\phi](t)$ 는 점 $ t $ 에서의 값을 의미한다.
다음의 정리는 증명이 어려우므로 여기선 맞다고 하고 그냥 넘어가자.
■(이계 선형 미분방정식의) 해의 존재성과 유일성 정리
다음과 같은 초기값을 갖는 미분방정식
$$ y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t), \quad y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = y'_0 $$
은 $p$, $q$, $g$ 가 $t_0$ 를 포함하는 구간 $I$ 에서 연속이면
구간 $I$ 에서 정의되는 해 $y = \phi(t)$ 가 존재하고, 이 해는 유일하다.
이 정리는 일계 선형 미분방정식에서의 해의 존재성과 유일성 정리랑 매우 유사함을 알 수 있다.
다음 예제는 정리를 이해하는데 도움이 된다.
다음 미분방정식의 해를 구하라.
$$ y'' + p(t)y' + q(t)y = 0, \quad y(t_0) = 0, \quad y'(t_0) = 0 $$
$p$, $q$, $g$ 는 $t_0$ 이 포함되는 어떤 구간 $I$ 에서 연속이다.
아니, $p(t)$, $q(t)$ 가 특정되지도 않았는데 해를 어떻게 구하라는거야?! 라고 생각이 들 것이다.
하지만 초기 조건을 보면, $y(t_0) = 0$ 이므로 $y = 0$ 이면 어떨까 생각 해볼 수 있다.
그리고 $y = 0$ 이면 $y = y' = y'' = 0$ 이므로 미분방정식을 잘 만족한다.
즉 $y = 0$ 은 주어진 미분방정식의 해인데, 존재성과 유일성 정리에 의하면 이 방정식은 오직 하나의 해를 갖는다.
따라서 $y = 0$ 이 유일한 해이다.
또 소개할 정리로 중첩의 원리가 있다. (맞는 번역인지는 모르겠지만 영어로는 Principle of Superposition 이다.)
■ 해 중첩의 원리
$y_1$ 과 $y_2$ 가 다음 미분방정식의 서로 다른 두 해라고 가정 하자.
$$ L[y] = y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 $$
그러면 $y_1$ 과 $y_2$ 의 선형결합인 $c_1y_1 + c_2y_2$ 역시 해가 된다.
증명은 어렵지 않게 할 수 있다.
$L$ 의 정의에 의해 다음이 성립한다.
$$ L[c_1 y_1 + c_2 y_2] = [c_1y_1 + c_2y_2]'' + p[c_1y_1 + c_2y_2]' + q[c_1y_1 + c_2y_2] $$
이를 전개하여 $c_1$, $c_2$ 에 대해 묶으면 다음과 같고
$$ c_1 \textcolor{skyblue}{[y''_1 + py'_1 + qy_1]} + c_2 \textcolor{orange}{[y''_2 + py'_2 + qy_2]} $$
다시 $L$ 의 정의를 이용하면 하늘색은 $\textcolor{skyblue}{L[y_1]}$ 이고 주황색은 $\textcolor{orange}{L[y_2]}$ 이므로 다음과 같이 정리된다.
$$c_1L[y_1] + c_2L[y_2]$$
한편 $y_1$ 과 $y_2$ 가 해라고 하였으므로 $L[y_1] = L[y_2] = 0$ 이다.
따라서 $L[c_1 y_1 + c_2 y_2] = 0$ 이고 $c_1 y_1 + c_2 y_2$ 는 해이다.
참고로 선형 결합 하였다고 했으므로 $c_1$, $c_2$ 는 임의의 상수로 설정해도 상관 없다.
$c_1 = 0$ 또는 $c_2 = 0$ 인 경우도 포함하므로
$0y_1 + cy_2 = cy_2$ 혹은 $cy_1 + 0y_2 = cy_1$ 처럼 어떤 해를 하나 찾았을 때
단순히 그 해를 상수배 한 것도 해가 됨을 알 수 있다.
이 정리를 통해 알 수 있는 것은,
서로 다른 두 해만 찾는다면 이들의 선형 결합으로 무수히 많은 해를 얻을 수 있다는 것이다.
그런데 여전히 이 둘로 만든 해집합이 전체 해집합과 일치하는지는 모르는 일이다.
알고 봤더니 3가지의 해가 필요했을 수도 있을 지도 모르는 일인 것이다.
예를 들자면, 어떤 이계 선형 미분방정식의 해를 찾아보았는데 $y = t^2$, $y = \sin{t}$ 였다고 하자.
그래서 이들을 선형 결합하여 $y = At^2 + B\sin{t}$ 를 일반해라고 생각했지만,
사실 $y = 3t^2 + \sin{t} - 5e^{t^3}$ 역시 대입해 보았더니 해가 맞았음이 밝혀진다면
이 해는 $y = At^2 + B\sin{t}$ 의 상수 $A$, $B$ 에 값을 대입하여 얻을 수 있는 해가 아니므로 일반해가 아니게 된다.
즉, 중첩의 원리만으로는 오직 두 가지 해만 찾아도 일반해를 만드는데 충분하다는 것을 보장하지 못한다.
이 논의를 더 진행하기 전에 우선 찾아놓은 두 가지 해 $y_1$, $y_2$ 로 중첩해 만든 해 $y = c_1y_1 + c_2y_2$ 에서
두 개의 초기값 $y(t_0) = y_0, \; y'(t_0) = y'_0$ 에 대해 $c_1$ 과 $c_2$ 가 유일하게 정해질 수 있는지에 대해 먼저 살펴보자.
$y = c_1y_1 + c_2y_2$ 가 초기값을 만족한다면 다음이 만족한다는 얘기이다.
$$ \begin{align} c_1y_1(t_0) + c_2y_2(t_0) = y_0 \\ c_1y'_1(t_0) + c_2y'_2(t_0) = y'_0 \end{align} $$
이를 행렬로 표현하면 다음과 같다. (행렬에 대해 잘 모른다면 연립방정식의 행렬 표현, 행렬식에 대해 찾아보고 오자)
$$ \textcolor{skyblue}{ \begin{bmatrix} y_1(t_0) & y_2(t_0) \\ y'_1(t_0) & y'_2(t_0) \end{bmatrix} } \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \textcolor{orange}{ \begin{bmatrix} y_0 \\ y'_0 \end{bmatrix} } $$
여기서 하늘색과 주황색의 행렬은 값이 고정되어 있고 $c_1$, $c_2$ 만 미지수인 상태이다.
$c_1$, $c_2$ 가 값이 하나로 정해지려면 하늘색의 행렬의 행렬식(Determinant)의 값이 $0$ 이 아니어야 한다.
왜냐하면 Cramer's Rule 에 따르면 $c_1$ 과 $c_2$ 는 각각 다음과 같이 표현되어야 하는데
$$ c_1 = \dfrac{\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{y_0} & y_2(t_0) \\ \textcolor{orange}{y'_0} & y'_2(t_0) \end{vmatrix}}{ \textcolor{skyblue}{ \begin{vmatrix} y_1(t_0) & y_2(t_0) \\ y'_1(t_0) & y'_2(t_0) \end{vmatrix} } }, \quad c_2 = \dfrac{\begin{vmatrix} y_1(t_0) & \textcolor{orange}{y_0} \\ y'_1(t_0) & \textcolor{orange}{y'_0} \end{vmatrix}}{\textcolor{skyblue}{ \begin{vmatrix} y_1(t_0) & y_2(t_0) \\ y'_1(t_0) & y'_2(t_0) \end{vmatrix} } } $$
분모의 행렬식 값이 $0$ 이라면 정의가 되지 않기 때문이다.
반면 행렬식 값이 $0$ 이 아니라면, $c_1$, $c_2$ 값은 각각 하나로 정확히 정해진다.
방금 보인 것은 2계 선형 미분방정식은 2개의 서로 다른 해를 가져도 아무 문제가 없다는 것이다.
왜냐하면 서로 다른(독립인 해라는 개념인데 이 글에서는 다루지 않는다) 2개의 해로 식을 세웠더니,
$c_1$, $c_2$ 가 유일하게 정해지고 아무 문제가 생기지 않기 때문이다.
아까는 해의 존재성과 유일성 정리에 의해 해가 단 하나 존재한다고 해놓고
여기서는 두 개의 해를 가져도 문제가 없다니 모순이 아닌가 생각할 수도 있는데,
해의 존재성과 유일성에서 말하는 해는 두 개의 초기값 $y(t_0) = y_0, \; y'(t_0) = y'_0$ 이 존재할 때 얘기고
여기서의 해는 초기값이 특정되지 않은 일반적인 경우의 해를 얘기한다.
그렇다면 2개 보다 많은 서로 다른 해가 존재한다고 가정하면 어떤 문제가 생기는지 살펴보자.
예를 들어 3개의 서로 다른 해 $y_1$, $y_2$, $y_3$ 이 존재한다고 하면,
중첩의 원리에 의해 $y = c_1y_1 + c_2y_2 + c_3y_3$ 역시 해이다.
위에서 보인 방법과 같은 방법으로 초기값 $y(t_0) = y_0, \; y'(t_0) = y'_0$ 을 대입하여 연립방정식을 세우자.
$$ \begin{align} c_1y_1(t_0) + c_2y_2(t_0) + c_3y_3(t_0) &= y_0 \\ c_1y'_1(t_0) + c_2y'_2(t_0) + c_3y'_3(t_0) &= y'_0 \end{align} $$
이를 행렬로 표현하면 다음과 같다.
$$ \underset{ \textcolor{red}{A} }{ \begin{bmatrix} y_1(t_0) & y_2(t_0) & y_3(t_0) \\ y'_1(t_0) & y'_2(t_0) & y'_3(t_0) \end{bmatrix} } \underset{\textcolor{red}{x}}{ \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} } = \underset{\textcolor{red}{ b }}{ \begin{bmatrix} y_0 \\ y'_0 \end{bmatrix} } $$
$x$ 가 유일한 해를 가지려면 $\text{rank} (A) = \text{rank} (A|b) = x $ 의 원소의 갯수 여야 하는데,
$\text{rank} A$ 의 최댓값이 $2$ 이고 $x$ 의 원소의 갯수는 $3$ 이므로 이 식은 유일한 해를 가지지 않는다.
쉽게 얘기하면, 미지수는 3개인데 방정식은 2개라서 해가 하나로 존재하지 않는다는 것이다.
하지만 해의 존재성과 유일성 정리에 의하면 해는 오직 하나만 존재해야하므로 이는 모순이다.
따라서 2계 선형 미분방정식은 3개 이상의 서로 다른(독립인) 해를 갖지 않는다.
아무튼 위에서 하늘색으로 표현한 행렬식은 앞으로도 종종 나오므로 Wronskian 이라고 불러 정의할 것이다.
$y_1$, $y_2$ 에 대한 Wronskian은 기호로 $W[y_1, y_2]$ 라고 적고 다음과 같이 정의된다.
$$ W[y_1, y_2] = \det \begin{bmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix} $$
$W[y_1, y_2](t_0)$ 은 $t_0$ 에서의 Wronskian 값을 나타낸다.
이제 중첩의 원리와 방금 언급한 $c_1$, $c_2$ 가 하나의 값으로 각각 정해질 수 있는지의 논의를 합치면
다음과 같은 정리를 세울 수 있다.
중간 정리
$y_1$, $y_2$ 가 $L[y] = y'' + p(t)y' + q(t)y = 0$ 의 해라고 하자.
그러면 $t_0$ 에서의 Wronskian 값이 $W[y_1, y_2](t_0) \neq 0 $ 인 경우에, 그리고 $W[y_1, y_2](t_0) \neq 0$ 일 때만
초기값 $y(t_0) = y_0, \; y'(t_0) = y'_0$ 이 할당되었을 때
다음의 식이 해가 되게 하는 $c_1$, $c_2$ 를 항상 정할 수 있다.
$$ y = c_1y_1(t) + c_2y_2(t) $$
중간 정리라는게 이 정리의 이름이 아니고 그냥 원하는 결론을 얻기 전에 임시로 세운 정리라는 뜻이다.
그리고 A 인 경우에, 그리고 A 일 때만 이라는 표현이 사용되었는데, 대체 무슨 차이인가 싶을 것이다.
이는 (A 인 경우에 B 이다) + (A 일 때만 B 이다) 두 가지가 합쳐진 것으로
(A 인 경우에 B 이다)는 $A \longrightarrow B$ 로 표현되며 B 집합이 A 집합을 포함하는 경우이다.
반면 (A 일 때만 B 이다)는 $A \longleftarrow B$ 로써 A 집합이 B 집합을 포함하는 경우이다.
두 번째 경우가 조금 어렵게 느껴지는데, 벤 다이어그램을 그려 생각해보면 이해가 될 것이다.
쉽게 말해서 필요충분조건이라는 말이고 $W \neq 0$ 인 경우가 후술된 상황과 완전히 일치하는 경우라는 말이다.
처음에 언급한 해의 존재성과 유일성 정리와 위의 <중간 정리>를 합치면
두 해 $y_1$, $y_2$ 의 선형 결합 $y = c_1y_1 + c_2y_2$ 가 일반 해가 됨을 알 수 있다.
우선 임의의 해 $y = \phi(t)$ 가 존재한다고 하자.
그리고 Wronskian 이 $0$ 이 안되게 하는 $t_0$ 을 택하여
이 때의 $\phi(t_0)$, $\phi'(t_0)$ 값을 각각 $y_0$, $y'_0$ 라고 하자.
한편 이 미분방정식을 만족하는 독립인 해 $y_1(t)$, $y_2(t)$ 를 발견했다고 치자.
이 때 $y_1$, $y_2$ 는 $t_0$ 에서 Wronskian 값이 $0$ 이 아니라고 가정한다.
그럼 위에서 언급한 중간 정리에 의해 다음이 해가 되게 하는 $c_1$, $c_2$ 를 유일하게 선택할 수 있다.
$$ y = c_1 y_1 + c_2 y_2 $$
그런데 해의 존재성과 유일성 정리에 의해 해는 오직 하나만 존재한다.
따라서 $y = c_1y_1 + c_2y_2$ 와 $y = \phi(t)$ 는 같아야만 한다.
처음에 $y = \phi(t)$ 를 미분방정식을 만족하는 임의의 해라고 설정하였다.
따라서 $$ y = c_1 y_1 + c_2 y_2 $$ 는 모든 해를 포함하게 되고 일반 해가 된다.
이번엔 $W[y_1, y_2](t_0) \neq 0$ 이게 하는 $t_0$ 이 어디에도 존재하지 않는다고 가정해보자.
(모든 점에서 $W = 0$ 이라는 말이다.)
그러면 중간 정리에 의해 다음 연립방정식을 만족하는 $c_1$, $c_2$ 를 유일하게 정할 수 없다.
$$ \begin{align} c_1y_1(t_0) + c_2y_2(t_0) = y_0 \\ c_1y'_1(t_0) + c_2y'_2(t_0) = y'_0 \end{align} $$
즉, $y = c_1y_1 + c_2y_2$ 로 표현된 $y$ 는
미분방정식 $y'' + p(t)y' + q(t)y = 0, \quad y(t_0) = y_0, \; y'(t_0) = y'_0$ 를 만족하는 해가 아니다.
한편 해의 존재성과 유일성 정리에 의해 해는 존재한다.
이를 $\phi(t)$ 라고 하자. 그리고 $\phi$ 는 초기값 $\phi(t_0) = y_0 \; \phi'(t_0) = y'_0$ 을 만족한다.
그리고 위에서 $y = c_1y_1 + c_2y_2$ 는 해의 형태가 될 수 없다고 하였으므로
$y = \phi(t)$ 는 $y = c_1y_1 + c_2y_2$ 에 속하는 해가 아니다.
이 내용을 요약하면 다음의 정리를 얻는다.
최종 정리
$y_1$ 과 $y_2$ 를 다음 선형 미분방정식의 해라고 하자.
$$ L[y] = y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 $$
그러면 임의의 상수 $c_1$, $c_2$ 에 대해 다음 식으로 표현되는 해 집합
$$ y = c_1y_1(t) + c_2y_2(t) $$
은 $W[y_1, y_2] \neq 0$ 이게 하는 점 $t_0$ 이 존재할때만 일반해가 되고,
일반해라면 $W[y_1, y_2] \neq$ 이게 하는 $t_0$ 이 존재한다. (필요충분조건)
참고로 일반 해가 다음과 같다고 할 때
$$ y = c_1y_1 + c_2y_2 + \cdots + c_n y_n$$
$y_1, y_2, y_3, ... y_n$ 을 Fundamental Set of Solution 이라고 부른다.
이제 이전 글에서 다뤘던 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식
$$ ay'' + by' + cy = 0 $$
의 특성방정식이 서로 다른 두 실근 $r_1$, $r_2$ 를 가질 때,
일반 해가 $y = c_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t}$ 임을 보일 수 있다.
우선 $y = e^{r_1t}$, $y = e^{r_2t}$ 는 $r_1$, $r_2$ 가 특성방정식의 근이므로
분명히 주어진 미분방정식의 서로 다른 두 해이다.
한편 이들의 Wronskian을 구해보면 다음과 같다.
$$ W = \begin{vmatrix} e^{r_1t} & e^{r_2t} \\ r_1e^{r_1t} & r_2e^{r_2t} \end{vmatrix} = (r_2 - r_1)e^{(r_1 + r_2)t} $$
$e^{(r_1 + r_2)t} > 0$ 이고 $r_1 \neq r_2$ 이므로 우변은 모든 $t$ 에 대해 절대 $0$ 이 될 수 없다.
따라서 $y = c_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t}$ 는 일반해이다.
마지막으로 정리 하나를 소개하고 마무리 한다.
아벨의 정리 (Abel's Theorem)
$y_1$, $y_2$ 가 다음 미분방정식의 해라고 하자.
$$ L[y] = y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 $$
이 때 $p$, $q$ 는 열린 구간 $I$ 에서 연속이다.
그러면 Wronskian $W[y_1, y_2](t)$ 는 다음과 같이 주어진다.
$$ W[y_1, y_2] = Ce^{-\int p(t) dt} $$
이 때 $C$ 는 $t$ 에는 의존하지 않는 상수이며 $y_1$, $y_2$ 값에 의해서만 결정된다.
추가로 $W[y_1, y_2]$ 는 구간 $I$ 에서 항상 $0$ 이거나 $0$ 이 아니다.
이 정리의 멋진 점은, fundamental set of solution을 찾지 못했어도
미분방정식에 주어진 계수 $p(t)$ 만으로 Wronskian 을 대략 계산해낼 수 있다는 것이다.
이 정리의 증명은 다음과 같다.
$y_1$ 과 $y_2$ 가 해라고 했으므로 미분방정식에 대입하면 각각 다음과 같다.
$$ \begin{align} y''_1 + p(t)y'_1 + q(t)y_1 = 0 \\ y''_2 + p(t)y'_2 + q(t)y_2 = 0 \end{align} $$
첫 번째 식에 $-y_2$ 를 양변에 곱하고, 두 번째 식에 $y_1$ 을 곱한 후 두 식을 더하면 다음과 같이 정리된다.
$$ \textcolor{skyblue}{(y_1y''_2 - y''_1y_2)} + p(t)\textcolor{orange}{(y_1y'_2 - y'_1y_2)} = 0 $$
$\textcolor{orange}{W(t)} = W[y_1, y_2](t) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix} = \textcolor{orange}{y_1y'_2 - y'_1y_2}$ 라고 정의하면
$\textcolor{skyblue}{W'(t)} = y'_1y'_2 + y_1y''_2 - (y''_1y_2 + y'_1y'_2) = \textcolor{skyblue}{y_1y''_2 - y''_1y_2}$ 이므로 위 식은 다음과 같다.
$$ \textcolor{skyblue}{W'} + p(t)\textcolor{orange}{W} = 0 $$
이는 $W$ 에 대한 1계 선형 미분방정식이므로 적분 인자법으로 풀 수 있다.
즉 어떤 적분 인자 $\mu(t)$ 가 존재하여 미분방정식은 $[W\mu(t)]' = 0$ 을 만족한다.
$[W\mu(t)]' = 0 \textcolor{red}{\Longrightarrow} W\mu(t) = C \textcolor{red}{\Longrightarrow} W = C\dfrac{1}{\mu(t)}$ 이고
$ \displaystyle \mu(t) = e^{\int p(t) dt} $ 이므로 $W = Ce^{-\int p(t)dt}$ 이다.
한편 $e$ 에 대한 지수함수는 절대 $0$ 이 아니므로 $C = 0$ 일 때만 $W = 0$ 이다.
즉 $W = 0$ 인지 여부는 오직 상수 $C$ 에 의해서만 결정되며,
같은 구간 내에서는 $t$ 에 상관없이 모두 $0$ 이거나 $0$ 이 아니게 된다.
이로써 증명이 완성된다.