9. 이계 미분방정식 개요 (Introduction to Second-Order Differential Equation)

 

 

이제 이계 미분방정식으로 계(Order)를 올려볼 것이다.

만약 일계 미분방정식에 대해 잘 모른다면 먼저 공부하고 와야 한다.

이 블로그 미분방정식 카테고리의 첫 글부터 보고 오자. 링크

 

 

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이계 미분방정식 (Second-Order Differential Equation) 은 다음의 꼴을 갖는 미분방정식을 얘기한다.

$$ \dfrac{d^2 y}{dt^2} = f\left( t, y, \dfrac{dy}{dt} \right) $$

여기서 $f$ 는 임의의 함수이고, 이 함수의 독립변수는 $t$ 이다.

당연하게도 $t$ 말고 $x$ 를 써도 상관없고 $y$ 대신 $x$ 를 써도 상관없다. 변수는 잡기 나름이다.

 

 

그리고 $f$ 가 다음의 꼴을 갖는다면 이계 선형 미분방정식은 선형(Linear)이라고 한다.

$$ f(t, y, y') = g(t) - p(t)y' - q(t)y $$

$p(t)y'$ 와 $q(t)y$ 앞에 마이너스가 붙은건 그냥 이항했을 때 편한 꼴을 만들기 위함이고 플러스가 붙어도 상관없다.

단지 $f$ 가 선형결합의 꼴을 하고 있으면 충분하다. 선형이 아니면 비선형(Nonlinear) 미분방정식이다.

 

 

아무튼 이계 선형 미분방정식은 이항하여 standard form 으로 만들면 다음과 같은 형태를 갖는다.

$$ y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t) \tag{1}$$

때로는 아래와 같이 $y''$ 계수로 $1$ 이 아닌 어떤 함수 $P(t)$ 가 존재할 수도 있다.

$$ P(t)y'' + Q(t)y' + R(t)y = G(t) $$

하지만 걱정할 필요 없이 $P(t) = 0$ 인 경우, $P(t) \neq 0$ 인 경우로 경우를 나눈 후,

후자의 경우엔 양변을 $P(t)$ 로 나눠버리면 식$(\text{1})$랑 같다.

전자의 경우엔 1계 선형 미분방정식이 되어버리므로 적분인자법으로 풀면 된다.

 

 

초기값 문제의 경우에는 1계 미분방정식에서 조건이 $y(t_0) = y_0$ 하나만 있던것에 반해

2계 미분방정식에서는 $y(t_0) = y_0, \; y'(t_0) = y'_0$ 두 개를 갖는다.

$y_0, \; y'_0$ 은 각각 $t_0$ 일 때의 $y, \; y'$ 의 값에 해당한다.

($y'_0$ 에 < ' >가 붙어있다고 상수$y_0$를 미분했다는 소리가 아니다.)

이계 도함수가 방정식에 존재하므로, 식을 풀려면 두 번의 적분이 필요하고

따라서 초기값이 두 개 필요하다고 생각하면 왜 초기값이 두 개가 주어져야 하는지 대강 납득이 된다.

 

 

선형 미분방정식 $y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t)$ 에서

$g(t) = 0$ 인 경우 동차(Homogeneous) 라고 하고 $g(t) \neq 0$ 인 경우 비동차(Nonhomogeneous) 라고 한다.

(참고로 Homogeneous 라는 말은 <동일한 종(宗)의> 라는 뜻이고 과학에서 여기저기 서로 다른 뜻으로 쓰인다.

예를들어 공학에서 유체의 구성 입자들이 균질하게 분포하는 경우 Homogeneous 라고 하기도 한다.

미분방정식에서도 위의 homogeneous 말고 다른 정의를 갖는 homogeneous가 존재하므로 혼동하지 않게 주의해야 한다.)

Homogeneous인 미분방정식이 Nonhomogeneous인 경우보다 풀이가 훨씬 쉽다.

그리고 Nonhomogeneous인 미분방정식의 $g(t)$ 항을 없애서 Homogeneous로 만들어 해를 구하면

$g(t)$ 를 도로 돌려놓은 경우의 해도 구할 수 있음이 알려져있다.

따라서 Homogeneous인 경우를 푸는 것이 중요하다.