10. 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식 (1편) (Second-Order Linear ODE with Constant Coefficient)

일반적인 이계 선형 미분방정식의 풀이에 대해 설명하기 앞서서

계수가 상수인 경우에는 어떻게 푸는지 보일 것이다. 여기선 Homogeneous인 경우를 다룬다.

계수가 상수인 이계 선형 미분방정식은 다음의 형태를 갖는다.

$$a{y}^{″}+b{y}^{\prime }+cy=0$$

 

 

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예제1

다음 미분방정식을 풀어라.
$$y^{″}-y=0$$ $$y(0)=2,y^{\prime }(0)=-1$$

 

 

식을 이항하여 $y^{″}=y$ 로 만들면 두 번 미분하여 자기 자신이 되는 $y$ 를 찾는 문제라고 생각할 수 있다.

두 번 미분했을 때 형태가 잘 유지되는 함수가 무엇이 있는지 떠올려 보자.

 

$y=\sin t$ 는 두 번 미분하면 $y^{″}=-\sin t$ 가 되므로 고려해봄직 하다. $\cos t$ 도 마찬가지이다.

하지만 주어진 미분방정식은 두 번 미분하여 자기자신이 되는 것이지

자기자신에 음수배가 되는 것이 아니므로 사인 코사인은 후보에서 탈락시키자.

하지만 $y=e^t$ 라면 두 번 미분해도 음수배가 되지 않는다.

이 뿐 아니라 $y=e^{-t}$ 인 경우에도 두 번 미분하면 마이너스가 두 번으로 상쇄되므로 해가 될 수 있다.

 

그런데 $e^t$ 나 $e^{-t}$ 에 상수 $c$ 를 곱해도 대입해보면 여전히 방정식을 만족함을 알 수 있다.

예를 들어 $y=5e^{-t}$ 인 경우 $y^{″}=5e^{-t}$ 이여서 이 둘은 같으므로 미분방정식의 해가 된다.

심지어 이들을 선형결합하여 만든 $y=-4e^t+3e^{-t}$ 역시 두 번 미분해보면 같은 식이 나온다.

일반화하면  $y=c_1{e}^t+c_2{e}^{-t}$ 는 $y^{″}=y$ 의 해가 된다고 볼 수 있을 것이다.

$y=e^t$ 나 $y=e^{-t}$ 말고 다른 해가 존재하는지는 아직은 모르지만, 적어도 조금은 일반스러워 보이는 해를 얻었다.

그리고 사실 이게 일반해가 맞다는 것을 나중에 보일 것이다.

 

이제 초기값 문제를 풀자.

$y=c_1{e}^t+c_2{e}^{-t}$ 였으므로 $y^{\prime }=c_1{e}^t-c_2{e}^{-t}$ 이다.

여기에 초기값들 $y(0)=2,$ $y^{\prime }(0)=-1$ 을 대입하면

$c_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $c_2={\displaystyle \frac{3}{2}}$ 를 얻을 수 있다.

따라서 초기값 문제의 해는 다음과 같다.

$$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^t+{\displaystyle \frac{3}{2}}{e}^{-t}$$

 

 

 

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위의 예제에서 추측할 수 있는 것은, 계수가 실수인 상수를 갖는 이계 선형 미분방정식

$$a{y}^{″}+b{y}^{\prime }+cy=0$$

은 $y=e^{rt}$ 꼴을 갖는 두가지 해의 선형결합으로 구성 할 수 있다는 것이다.

 

 

$y=e^{rt}$ 이면 $y^{\prime }=r{e}^{rt}$ 이고 $y^{″}=r^2{e}^{rt}$ 이므로 이들을 미분방정식에 대입하면 다음과 같다.

$$(a{r}^2+br+c)e^{rt}=0$$

$e^{rt}\ne 0$ 이므로 양변에 나눠주면, 다음 이차방정식을 푸는 문제로 변한다.

$$a{r}^2+br+c=0$$

이 식을 특성방정식(Characteristic Equation) 라고 부른다.

그리고 특성방정식은 이차방정식이므로 다음 세가지 경우로 나뉜다.

 

1. 두 개의 서로 다른 실근을 가짐

2. 하나의 중근을 가짐

3. 한 쌍의 켤레복소수 근을 가짐 (두 개의 허근)

 

 

 

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이번 글에서는 서로 다른 실근을 가지는 경우에 대해 설명한다.

특성 방정식이 서로 다른 두 개의 근을 갖는다는 말은

$r_1\ne r_2$ 인 $r_1$, $r_2$ 가 존재하여 다음과 같은 해를 갖는다는 말이다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& y=c_1{e}^{r_{1}t}+c_2{e}^{r_{2}t}\end{array}$$

 

$r_1,r_2$ 가 특성방정식의 근이라는 가정하에 위 식이 미분방정식의 해가 맞음을 증명하는 것은 어렵지 않다.

$$\{\begin{array}{lll}y& =c_1{e}^{r_{1}t}& +c_2{e}^{r_{2}t}\\ y^{\prime }& =c_1{r}_1{e}^{r_{1}t}& +c_2{r}_2{e}^{r_{2}t}\\ y^{″}& =c_1{r}_1^2{e}^{r_{1}t}& +c_2{r}_2^2{e}^{r_{2}t}\end{array}$$

이므로 이들을 $a{y}^{″}+b{y}^{\prime }+cy$ 에 대입하면 다음과 같이 정리된다.

$$a{y}^{″}+by+c=c_1[a{r}_1^2+b{r}_1+c]e^{r_{1}t}+c_2[a{r}_2^2+b{r}_2+c]e^{r_{2}t}$$

$r_1,r_2$ 가 특성방정식의 근이므로 $a{r}_1^2+b{r}_1+c=0$ 이고  $a{r}_2^2+b{r}_2+c=0$ 이다.

따라서 $a{y}^{″}+by+c=0$ 이고 방정식을 잘 만족함을 볼 수 있다.

 

 

 

초기값이 다음과 같이 일반적인 형태로 주어진 경우에도 문제가 없는지 살펴보자.

$$y(t_0)=y_0,y^{\prime }(t_0)=y_0^{\prime }$$

이 값들을 식 $\text{(2)}$ 에 대입하여 정리해보면 $c_1$ 와 $c_2$ 는 다음과 같이 구해진다.

$$\{\begin{array}{ll}{c}_1& ={\displaystyle \frac{y_0^{\prime }-y_0{r}_2}{r_1-r_2}}{e}^{-r_1{t}_0}\\ c_2& ={\displaystyle \frac{y_0{r}_1-y_0^{\prime }}{r_1-r_2}}{e}^{-r_2{t}_0}\end{array}$$

서로 다른 근이라고 하였으므로 $r_1\ne r_2$ 이므로 분모가 $0$ 이 되지 않는다.

따라서 두 근의 값에 상관없이 $c_1$ 과 $c_2$ 는 항상 잘 결정된다.

 

 

 

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예제2

다음 미분방정식의 일반 해(General Solution)을 구하라.
$$y^{″}+5y^{\prime }+6y=0$$

 

$y=e^{rt}$ 라고 가정하면 특성방정식은 다음과 같다.

$$r^2+5r+6=(r+2)(r+3)=0$$

두 근은 $-2,-3$ 이므로 일반해는 다음과 같다.

$$y=c_1{e}^{-2t}+c_2{e}^{-3t}$$

 

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다음 글에서는 Homogeneous 2nd Order Linear ODE 에 관련된 정리들에 대해 다룰 것이다.

그 이후 특성방정식이 허근을 갖는 경우, 중근을 갖는 경우에 대해 다룬다.