F = ma 가 왜, 어떻게 미분방정식일까?

이 글을 이해하려면 일반물리학의 고전역학 파트와 미분방정식에 대한 지식이 필요합니다.

다음 글들을 보고 오면 도움이 됩니다.
이계 선형 미분방정식1편
이계 선형 미분방정식2편
이계 선형 미분방정식3편
비동차 선형 미분방정식 해법

 

 

 

 

미분방정식은 미분이 포함된 방정식을 얘기한다.

$F=ma$ 에서 $a={\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}$ 이므로 미분이 포함되어있고 따라서 미분방정식이다.

어찌보면 너무나 당연한 소리다.

구체적으로 어떻게 미분방정식인지 먼저 중력을 예를 들어 설명해보겠다.

 

 

 

 

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중력

 

 

중력가속도는 약 $9.81m/s^2$ 로 지구 어디든 일정하다고 간주된다.

(실제로는 지역별로 고도별로 약간의 차이가 존재한다.)

또한 이 값은 시간에 따라 변하지도 않는다고 간주된다.

이 값(중력가속도)를 $g$ 라고 이름 붙이자.

 

뉴턴의 제2 법칙에 의해 중력이 작용하는 물체는

그 물체의 질량이 $m$ 이라고 할 때 다음 식이 성립한다.

$$F=ma$$

근데 아까 중력이 작용하는 물체에 중력이 만드는 가속도는 $g$ 라고 했었다.

그리고 중력가속도는 항상 지표면을 향하는 방향인데

통상적으로 지표면에서 멀어지는 방향을 양의 방향이라고 잡으니 중력가속도를 $-g$ 라고 할 수 있다.

따라서 $$F=ma=-mg$$ 이고 이를 정리하면

$$a=-g$$ 가 된다.

 

이게 바로 미분 방정식이다.

왜냐면 앞서 말했듯이 $a=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ 이고 $g$ 는 $t$ 에 대해 상수이므로

$${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}=-g$$

이니까 말이다.

 

미분방정식을 공부했다면 이 식을 보자마자 계수가 상수인 비동차 이계선형미분방정식이란 것을 알 수 있다.

그리고 비동차 선형 미분방정식의 일반해(General solution)는 

Complenentary solution 과 Particular solution 의 합으로 구할 수 있음을 떠올리자. (이 글 참조)

 

 

 

우선 Complementary solution을 찾자.

Complementary solution을 찾는 것은 다음의 미분방정식의 일반해를 찾는 것과 같다.

$${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}=0$$

이 선형 미분방정식의 Characteristic equation은 $r^2=0$ 이므로 $r=0$ 의 중근을 갖는 경우이다.

따라서 일반해는 다음과 같다.

$$x=\varphi (t)=A{e}^{0t}+Bt{e}^{0t}=A+Bt$$

 

이제 Particular solution 을 찾자.

우변이 $0$ 차 다항식이므로 (상수도 다항식이다) Particular solution을 $t^s$ 와 $0$ 차 다항식의 곱으로 설정할 수 있다.

$$X(t)=t^s\times C$$

이 때 $s=0$ 이거나 $s=1$ 인 경우 직접 대입해보면 미분방정식을 만족하는 $C$ 값을 정할 수 없다는 것을 알 수 있다.

하지만 $s=2$ 일 때 $X=C{t}^2$ 이므로 $X^{\prime }=2Ct$, $X^{″}=2C$ 이고

즉 $X^{″}=2C=-g$ 이므로 $C=-\frac{g}{2}$ 임을 얻을 수 있다.

따라서 Particular solution은 다음과 같다.

$$X(t)=-{\displaystyle \frac{g}{2}}{t}^2$$

 

이렇게 얻은 complementary solution과 particular solution을 더해주어

미분방정식 $a=-g$ 의 general solution을 다음과 같이 얻을 수 있다.

$$x(t)=A+Bt-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$$

초기값으로 초기 변위 $x(0)=x_0$ 와 초기 속도 $v(0)=x^{\prime }(0)=v_0$ 이 주어져있다고 하자.

그리고 이 초기값들을 대입하면 상수 $A=x_0$ 이고 $B=v_0$ 임을 얻어낼 수 있다.

따라서 다음과 같다.

$$x(t)-x_0=v_{0}t-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$$

 

이 것이 일반물리학의 제일 앞 장에서 설명하는 중력이 작용하는 물체의 운동방정식이다.

 

 

 

 

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지금까지 뉴턴의 제2법칙을 중력에 적용하여 해를 구하는 법에 대해 알아보았다.

당연하게도 중력이 아닌 다른 힘으로도 $F=ma$ 가 구체적으로 어떻게 미분방정식인지 보일 수 있다.

이번엔 용수철에 연결된 물체에 작용하는 힘에 대해서 풀어보자.

 

 

 

 

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용수철 힘

 

용수철에 연결된 물체에 작용하는 힘은 $F=-kx$ 임을 일반물리학에서 배웠을 것이다.

(말로 풀어 해석하자면, 용수철에 연결된 물체는 잡아당겨진 길이에 비례하고

당겨진 방향의 반대를 향하는 힘을 받는다는 의미다.)

뉴턴의 제2법칙을 적용하면 다음과 같다.

$$F=ma=-kx$$

이 때 $a=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ 이고 이를 대입하여 식을 정리하면 다음과 같다.

$${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}+{\displaystyle \frac{k}{m}}x=0$$

 

이 것은 계수가 상수인 동차 이계 선형 미분방정식이다.

Characteristic equation 은 $r^2+{\displaystyle \frac{k}{m}}=0$ 이므로 $r=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}i$ 의 켤레복소수근을 갖는다.

따라서 이 미분방정식의 General solution 은 다음과 같다.

$$x(t)=A\cos \left(\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}t\right)+B\sin \left(\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}t\right)$$

 

보통 초기 조건을 용수철을 최대로 당긴 상태로 상정하므로 진폭 $x_{max}$ 에 대해

$x(0)=x_{\text{max}}$, $v(0)=x^{\prime }(0)=0$ 이라고 할 수 있다.

이를 대입해보면 $A=x_{\text{max}}$, $B=0$ 을 얻을 수 있고 최종적으로 미분방정식의 해는 다음과 같다.

$$x(t)=x_{\text{max}}\cos \left(\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}t\right)$$

 

이 해가 용수철힘이 작용하는 물체의 운동방정식인 것이다.

시간 $t$ 가 변함에 따라 물체의 위치가 $\cos$ 그래프를 따라가니

용수철에 매달린 물체가 왜 진동하는지 수학적으로 보였다고 할 수 있다.

 

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