공데셍

$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$ 오일러 공식(Euler's Formula)은 워낙 유명해서 한 번 쯤은 다들 들어봤을 것이다. 이 글에서 오일러 공식을 유도하는 두 가지 방법에 대해 설명할 것이다. 이 글을 모두 이해하려면 대학 미적분학이랑 미분 방정식을 공부해야 하지만 첫 번째 방법인 테일러 전개를 이용한 방법은 테일러 급수에 대해 대강 설명하고 시작했기 때문에 그냥 보아도 이해 될 것으로 기대한다. 1. 테일러 전개를 이용한 방법 테일러 전개는 쉽게 얘기 하면, 특정한 조건을 만족하는 함수 $f(x)$ 는 다음과 같이 다항식의 무한 합으로 표현될 수 있는데 $$ f(x) = \sum_{x = 0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$ 이를 $x = a$ ..

정리 $n$ 계 선형 미분방정식 $$ L[y] = y^{(n)} + a_{1}(t)y^{(n-1)} + a_{2}(t)y^{(n-2)} + ... + a_{n}(t)y = 0 $$ 에 대해 $L[y] = 0$ 을 만족하는 $n$ 개의 해 $y_1, \; y_2, \; y_3, ... , \; y_n$ 이 종속인 조건은 $a_1(t), a_2(t), ... , a_n(t)$ 가 모두 연속인 어떤 구간 $I$ 에 속하는 $t_0$ 에서의 Wronskian $ W[y_1, y_2, y_3, ... , y_n](t_0) = 0$ 인 조건과 필요충분조건이다. 중요한 것은 이 정리는 $y_1, y_2, ... , y_n$ 이 선형 미분방정식의 해일 때만 이 정리가 참이라는 것이다. 선형 미분방정식의 해가 아니라 아..

미분적분학에서 수열/급수 단원에서 다루는 문제 중 다음과 같은 유형이 있다. 다음 수열이 수렴하는지 판단하고, 수렴한다면 그 값을 구하라. $$ a_{n+1} = \dfrac{1}{3-a_n}, \quad a_1 = 2 $$ 점화식이 양함수 꼴로 주어져 있는 수열이다. 양함수란, 독립변수 $x_1, x_2, ... , x_n $ 에 대해 종속변수 $y$ 가 $y = f(x_1, x_2, x_3, ... , x_n) $ 꼴로 주어졌을 때 $f$ 는 양함수라고 얘기한다. 위 수열은 $a_{n+1} = y$ 라고 두고 $a_n = x$ 라고 하면 $y = f(x)$ 꼴이므로 양함수 꼴인 수열이다. 아무튼 이러한 유형의 문제 풀이는 정해져있다. 단조수열정리 (Monotone Sequence Theorem) 을 ..

평균값 정리 $f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고, $(a, b)$ 에서 미분가능하면 $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ 을 만족하는 $c \in (a, b)$ 가 존재한다. ■ 혹자는 $f$ 가 $x = a, b$ 인 점에서 미분가능하다는 조건이 없기 때문에 그렇다고 얘기하지만 이는 틀린 설명이다. 양 끝점에서 미분 가능하다고 해도 결과는 달라지지 않는다. ■ 결론부터 말하자면, 평균값 정리는 롤의 정리에서 유도되고 롤의 정리의 증명에 극값 정리가 이용되는데, 극값정리와 $f(a) = f(b)$ 라는 이 두 조건이 $c$ 가 $a$ 또는 $b$ 에 존재하는것을 막는다. 평균값 정리의 증명을 우선 살펴보자. 증명 $(a, f(a)), (b, f(b))$ 두 점을 지나는 ..

1202년 레오나르도 피보나치가 토끼의 번식을 언급하며 이 수열을 연구했다고 한다. 토끼의 번식에 다음과 같은 규칙이 있다고 하자. 처음에 토끼 한 쌍이 있는데 한 쌍의 토끼는 매달 한 쌍의 토끼를 낳는다고 하자. 단, 갓 태어난 토끼는 그 달에는 번식을 못하고 한 달이 지나야 번식을 할 수 있다. 이 규칙에 따르면 다음 그림처럼 번식하게 된다. 이제 최초 토끼 쌍이 출현한 이래로 $n$ 개월 후의 토끼는 총 몇 쌍인지 구하고자 한다. $n$ 개월 지났을 때 총 토끼 쌍을 $f_{n}$ 이라 하자. 현재의 토끼는 이번 달 새로 태어난 토끼 + 지난달까지 존재하던 토끼이다. 즉 $n$ 월일 때 새로 태어난 토끼쌍의 수를 $N_{n}$ 이라 하고 $n$ 월일 때 성숙이 완료되어 있는 토끼쌍의 수를 $M_{n..

$\lim\limits_{x \to 0} \sin{\dfrac{1}{x}}$ 은 그림과 같이 진동하므로 발산한다는 것을 추측할 수 있다. 하지만 어디까지나 추측일 뿐 이러한 진동하는 함수들이 왜 발산하는지에 대해서 엄밀하게 증명할 필요가 있다. 참고로 전공교재인 스튜어트 미분적분학에도 $\lim\limits_{x \to 0} \sin{\dfrac{1}{x}}$ 가 진동하므로 발산한다 정도로만 서술되어있고 엄밀하게 증명되어있지는 않았다. 그래서 이렇게 증명을 작성하게 되었다. 증명 수렴한다고 가정한 후 모순점을 보이는 귀류법을 통해 증명할 것이다. 극한이 다음과 같이 값 $L$ 에 수렴한다고 가정해보자. $$ \lim_{x \to 0} \sin{\dfrac{1}{x}} = L $$ 한편 $-1 \le \s..