공데셍

앞서 잘 알려진 함수들에 대한 부정적분 공식을 살펴보았다. 하지만 대부분의 경우에는 역도함수가 무엇인지 찾기 쉽지 않다. 예를 들어 다음 식의 역도함수는 무엇인지 바로 떠오르지 않을 것이다. $$ \int 2x\sqrt{1 + x^2} dx $$ 하지만 $1 + x^2 = u$ 라고 치환하면 $2x dx = du$ 이므로 다음과 같다. $$ \int 2x\sqrt{1 + x^2} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{\frac{1}{2}} du = \dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C $$ 이제 $u = 1 + x^2$ 를 대입해주어 부정적분을 마무리할 수 있다. $$ \int 2x\sqrt{1 + x^2} dx = \dfrac{2}{3}(1 + x^2)^{\fra..

미적분학의 기본정리를 통해 적분이 미분의 역연산임을 알 수 있었다. 이제는 역도함수를 적분의 기호를 통해 표현할 수 있다. 앞으로는 $f$ 의 역도함수 $F$ 를 다음과 같은 기호로 표현하기로 한다. $$ \int f(\textcolor{red}{x}) d\textcolor{red}{x} = F(\textcolor{red}{x}) $$ 예를 들면 $\int x^2 dx = \dfrac{x^3}{3} + C$ 이다. 정적분의 결과는 값이였던것과 달리 부정적분의 결과는 함수임을 인지하자. (정확히는 Family of function 이다.) 다음은 잘 알려진 함수들에 대한 적분 테이블이다. $$ \begin{align} \int k dx = & \; kx + C \\ \int x^n dx = & \; \df..

지금까지 글에서 함수 아래에 놓인 넓이를 계산하기 위해 정적분을 이용했었다. 그리고 미분은 그래프의 기울기를 계산하기 위해 이용했었었다. 이번에 소개할 뉴턴과 라이프니츠가(따로) 발견한 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)는 전혀 관련이 없어보였던 미분과 적분은 서로 역연산 관계임을 알려주는 정리이다. 미적분학의 기본정리를 설명하기 위해 다음과 같이 정적분으로 정의된 함수 $g(x)$ 를 고려하자. $$ g(x) = \int_a^x f(t) \; dt $$ 여기서 $f$ 는 $[a,b]$ 에서 연속인 함수이고 $x \in [a,b]$ 이다. 그러면 아래 그림과 같이 $g(x)$ 는 $x$ 값에 따라 달라지는 $f$ 아래에 놓인 넓이를 나타내는 함수임을 알 수 있다..

이번에는 앞서 정의한 정적분의 여러가지 성질에 대해서 알아보자. 1. 적분 구간을 뒤집으면 반대부호가 된다. $$ \int_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{blue}{b}} f(x) dx = -\int_\textcolor{blue}{b}^\textcolor{red}{a} f(x) dx $$ 더보기 적분의 정의에서 구간의 크기가 $\dfrac{b-a}{n}$ 였던 것이 $\dfrac{a - b}{n} = -\dfrac{b-a}{n}$ 로 바뀌므로 간단히 증명된다. 2. 구간의 크기가 $0$ 이면 적분 값은 $0$ 이다. $$ \int_\textcolor{red}{a}^\textcolor{red}{a} f(x) dx = 0 $$ 더보기 적분의 정의에서 구간의 크기가 $\dfrac{..

이제 함수의 넓이를 구하는 문제로 가보자. 넓이(Area)의 가장 기본적인 정의는 가로(width) $\times$ 세로(height)이다. 삼각형의 경우 사각형의 절반의 넓이를 갖고, 다각형의 경우 여러 삼각형으로 나누어 계산한 후 합하여 넓이를 구할 수 있다. 하지만 다음과 같이 곡선이 포함된 닫힌 영역의 넓이는 바로 구할 수가 없다. 문제를 해결하기 위해 넓이를 대강 구하는 방법을 택해보자. 우선 다음과 같이 $f(x) = x^2$ 를 고려한다. $[0, 1]$ 의 구간을 4개로 쪼개어 다음과 같이 4개의 사각형의 넓이의 합은 곡선 아래의 넓이와 대강 비슷할 것이다. 각 사각형의 높이는 각 구간의 오른쪽 끝 점 $\textcolor{limegreen}{\dfrac{1}{4}, \; \dfrac{2}..

본 블로그의 미적분학 11번~16번 포스팅에 관한 연습문제이다. 11. 최댓값, 최솟값, 극값정리, 페르마 정리 12. 롤의 정리, 평균값 정리 13. 도함수 판정법 14. 점근선 15. 미분을 이용한 곡선 그리기 16. 역도함수 1. 다음 문장들이 참인지 거짓인지 판단하고 거짓이라면 거짓인 이유를 서술하시오. 1-1) If $f'(c) = 0$, then $f$ has a local maximum or minimum at $c$. 더보기 False. $f(x) = x^3$ 이면 $f'(0) = 0$ 이지만 $f$ 는 $0$ 에서 극대값도 극소값도 아니다. 왜냐하면 $0$ 을 기준 $x$ 값 좌우로 $f'(x) > 0$ 이므로 $f$ 는 $x=0$ 좌우에서 증가함수이고 따라서 국소적으로 최댓값 또는 최솟..

이번 글은 수학적인 계산보다는 직관으로 푸는 방법에 대해 설명한다. 바로 본론으로 들어가면 시침의 각속도가 $0$ 이여서 멈춰있다면, 하루에 분침이 $24$ 바퀴 도므로 둘은 하루에 $24$번 만나게 된다. 반대로 시침이 분침만큼 빠르다면 둘은 만난상태로 계속 돌게되므로 시침과 분침이 서로 스쳐서 지나가는 경우는 하루에 $0$ 번이 된다. 실제의 시침은 이 두 가지 경우의 속도들의 사이에 있다. 첫 번째 경우보다 빠르고 두 번째 경우보다 느리다. 즉, 두 바늘은 하루에 $0$ 번 보다 많고 $24$ 번 보다 적게 만난다는 뜻이다. 이렇게 답이 $24$ 번이 아님을 직관적으로 알 수 있다. 왜냐하면 실제 시계의 시침은 하루에 두 바퀴 도는데, 시침의 속도가 $0$ 이였을 때와는 달리 느리게라도 도는 속도가..

※이 글은 2계 동차 선형미분방정식에 대한 기본 지식이 있어야 이해할 수 있습니다. 비동차 미분방정식의 특정해(Particular solution)를 구하는 방법으로 이전 글에서 계수비교법(Method of undetermined coefficient)를 소개했었다. 이 방법은 일반적인 선형 미분방정식 (편의를 위해 2계 미분방정식에 대해서 적을 것이다.) $$ y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t) $$ 에서 $g(t)$ 항이 $\sin{x}$ 나 $e^x \cos{x}$ 꼴 등의 특수한 경우에 대해서만 이용할 수 있음을 알 수 있었다. 하지만 $g(t)$ 항이 항상 그런 특수한 꼴을 하고 있으리란 법은 없고, 일반적인 $g(t)$ 꼴에 대해서도 특정해를 구하는 방법이 있으면 좋을 것이다. ..

고등학교 미적분학을 공부했다면 이번 글에서 소개하는 내용이 어쩌면 쓸 데 없다고 느껴질 수도 있다. 미분-적분이 역연산 관계라는 것을 알고 각종 적분 공식들을 기계적으로 암기해왔기 때문에 역도함수를 보고 "그냥 적분으로 바로 넘어가면 될 것이지 왜 굳이 챕터를 나눠서 설명한담?" 이라고 생각할 것이기 때문이다. 하지만 대학 과정의 수학을 공부하기로 마음 먹었다면, 수학을 기계적으로 시험 문제풀기 위한 용도라는 느낌을 던져버리고 수학이라는 거대한 논리 체계를 천천히 쌓아 올린다는 생각으로 임해야 한다. 이전 글까지 미분에 관련된 내용만 설명했지 적분이라는 단어는 아직 언급한적도 없고, 미분과 적분이 연결된 개념이라는 말도 전혀 한 적이 없다. 무(無)에서 쌓아 올린다는 느낌으로 이번 챕터는 적분이라는 존재..

Heat equation 의 풀이법 중 하나인 Combination of variables method를 소개한다. Heat equation 은 다음의 꼴을 갖는 편미분방정식이다. Heat equation 3차원 공간에서 특정 시간 $t$ 와 특정 위치에서의 온도를 나타내는 함수 $u(x, y, z, t)$ 에 대해 $$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \nabla^2 u$$ 종종 문제를 간단히 하기 위해 $y$ 와 $z$ 에 대한 열전달이 없다고 가정하고 오직 한 방향 $x$ 에 대해 이 방정식을 다음과 같이 기술한다. $$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$ 이런 꼴의 편미분방정식은 ..