19. 미적분학의 기본 정리 (The Fundamental Theorem of Calculus)

지금까지 글에서 함수 아래에 놓인 넓이를 계산하기 위해 정적분을 이용했었다.

그리고 미분은 그래프의 기울기를 계산하기 위해 이용했었었다.

이번에 소개할 뉴턴과 라이프니츠가(따로) 발견한

미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)는

전혀 관련이 없어보였던 미분과 적분은 서로 역연산 관계임을 알려주는 정리이다.

 

미적분학의 기본정리를 설명하기 위해 다음과 같이 정적분으로 정의된 함수 $g(x)$ 를 고려하자.

$$ g(x) = \int_a^x f(t) \; dt $$

여기서 $f$ 는 $[a,b]$ 에서 연속인 함수이고 $x \in [a,b]$ 이다.

그러면 아래 그림과 같이 $g(x)$ 는 $x$ 값에 따라 달라지는

$f$ 아래에 놓인 넓이를 나타내는 함수임을 알 수 있다.

 

 

그러면 $h > 0$ 에 대해 $g(x + h) - g(x)$ 는 아래와 같이

크기가 $h$ 인 구간 위에 놓인 넓이를 나타내게 된다. (사각형 말고 색칠된 영역)

 

이 넓이는 밑변이 $h$ 이고 높이가 $f(x)$ 인 사각형의 넓이와 비슷함을 관찰하자.

따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ g(x+h) - g(x) \approx f(x)h $$

양변을 $h$ 로 나누어주면 익숙한 꼴이 보인다.

$$ \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \approx f(x) $$

$h \to 0$ 극한을 양변에 취해주면 다음과 같이 될 것으로 기대할 수 있다.

$$ g'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{g(x + h) - g(x)}{h} = f(x) $$

정적분으로 정의된 함수 $\displaystyle g(x) = \int_a^x f(t) \; dt$ 를 미분했더니 적분대상이였던 함수 $f$ 가 나온 것이다.

좀 더 쉬운 말로,

함수를 적분한 것을 미분하면 원상태로 돌아온다는 말이 되고 이는 적분과 미분이 역연산 관계임을 의미한다.

이렇게 적분과 미분이 연결될 수 있다는 것을 예상할 수 있었다.

$g'(x) = f(x)$ 가 된다는 것은 사실이며 이것은 미적분학의 기본정리 1이다.

 

 

 

미적분학의 기본정리 1

함수 $f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이면, 다음과 같이 정적분으로 정의된 함수
$$ g(x) = \int_a^x f(t) \; dt  \quad (a \le x \le b) $$
는 $[a, b]$ 에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하고 이 때 $g'(x) = f(x)$ 이다.

구간 $[a, b]$ 안에 속하는 $x, x+h$ 에 대해 $g(x+h) - g(x)$ 는 다음과 같다.

$$ \begin{align} \textcolor{orange}{g(x + h) - g(x)} = &\int_a^{\textcolor{red}{x+h}} f(t) dt - \int_a^x f(t) dt \\ = & \left( \int_a^\textcolor{red}{x} f(t) dt + \int_\textcolor{red}{x}^\textcolor{red}{x+h} f(t) dt \right) - \int_a^x f(t) dt \\ = &\textcolor{orange}{\int_x^{x+h} f(t) dt} \end{align} $$

따라서 $h \neq 0$ 이면

$$ \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} = \dfrac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t) dt $$

 

 

이제 $h > 0$ 인 경우를 살펴보자. $f$ 가 $[x, x+h]$ 에서 연속이므로 극값정리에 의해

$f$ 는 구간안에서 최솟값 $m$ 과 최댓값 $M$ 을 갖는다.

이 때의 $x$ 값을 각각 $u, v$ 라고 하자.

 

구간에서 $m \le f(x) \le M$ 을 만족하므로 이를 정적분해주면 다음이 성립한다.

$$ mh \le \int_x^{x+h} f(t) dt \le Mh $$

양변을 $h$ 로 나누어주고 위에서 구한 결과를 이용하면 다음과 같다. ($h>0$ 이므로 부등호 방향은 그대로)

$$ m \le \dfrac{g(x + h) - g(x) }{h} \le M $$

아까 $f(u) = m$, $f(v) = M$ 이라고 했으므로

$$ f(u) \le \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \le f(v) $$

$h < 0$ 일 때도 이 결과를 그대로 얻어낼 수 있다. 과정은 생략한다.

 

 

이제 $h \to 0$ 극한을 취하자.

$x \le u, v \le x + h$ 이므로 샌드위치 정리에 의해 $u, v$ 의 극한 값은 $x$ 가 된다.

 

즉 다음과 같다.

$$ \lim_{h \to 0} f(u) \le \lim_{h \to 0} \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \le \lim_{h \to 0} f(v) \textcolor{blue}{\Longrightarrow} f(x) \le g'(x) \le f(x) $$

역시 샌드위치 정리에 의해 $g'(x) = f(x)$가 됨을 알 수 있다.

 

이렇게 $g(x)$ 는 $(a, b)$ 에서 $g' = f$ 로 미분가능하고 따라서 $(a, b)$ 에서 연속임을 보였다.

$x =  a$ 이거나 $x = b$ 인 경우엔 각각 $h > 0$ 인 경우와 $h < 0$ 인 경우만을 생각하여

한쪽 연속으로 생각할 수 있다. (이 글 참조)

그러면 $a, b$ 점을 포함해 확장된 연속의 정의를 이용하면 $[a, b]$ 에서 연속이라 할 수 있다. ■

라이프니츠의 미분 기호를 이용하면 미적분학의 기본정리 1(영어로는 줄여서 FTC1)을 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$$ \dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt = f(x) $$

 

 

 

예제 1

다음과 같이 정의된 $g(x)$ 에 대해 $g'(x)$ 를 구하라.
$$ g(x) = \int_0^x \sqrt{1 + t^2} dt $$

$f(t) = \sqrt{1 + t^2}$ 는 실수 전체에서 연속이므로 FTC1 에 의해 다음과 같다.

$$g'(x) = f(x) = \sqrt{1 + x^2}$$

 

 

 

 

정적분의 정의는 무한급수로 되어있었다.

따라서 정적분을 계산하려면 무한급수를 계산해야하는데, 이는 굉장히 어려운 작업이다.

하지만 미분과 적분이 역연산 관계임을 알았으므로 다음과 같이

미적분학의 기본정리2를 이용하면 간단하게 정적분을 계산할 수 있다.

 

미적분학의 기본정리 2

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속함수이면 다음이 성립한다.
$$ \int_a^b f(t) \; dt = F(b) - F(a) $$
이 때, $F(x)$ 는 $f(x)$ 의 임의의 역도함수이다.

$g(x) = \int_a^x f(t) dt$ 라 정의하자.

그러면 미적분학의 기본정리1에 의해 $g'(x) = f(x)$ 가 성립한다.

즉 $g(x)$ 는 $f(x)$ 의 역도함수 중 하나이다.

 

$F(x)$ 를 $f(x)$ 의 또 다른 역도함수라고 하면

이 글의 정리에 의해  $F(x)$ 랑 $g(x)$ 는 미분가능한 구간에서 상수만큼만 차이난다.

즉 $F(x) = g(x) + C$ 이다 ($(a, b)$ 의 범위에서).

 

$F, g$ 가 모두 $[a, b]$ 에서 연속이므로

구간의 양 끝점에 대해서도 확장된 연속의 정의를 이용해

$F(x) = g(x) + C$ 가 성립함을 알 수 있다.

따라서 다음과 같다.

$$ \textcolor{limegreen}{F(b) - F(a)} = [g(b) + C] - [g(a) + C] = g(b) - g(a) $$

그런데 $g(a) = \int_a^a f(t) dt = 0$ 이므로

$$ g(b) - g(a) = g(b) = \textcolor{limegreen}{\int_a^b f(t) dt} $$

 

 

예제 2

다음 정적분을 계산하라.
$$ \int_0^1 x^2 dx $$

이 글에서는 같은 문제를 수열의 합을 이용해 어렵게 구했었다.

하지만 미적분학의 기본정리 2(FTC2)를 이용하면 답을 쉽게 구할 수 있다.

$f(x) = x^2$ 의 한 역도함수로는 $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$ 가 있다.

FTC2 에 의해 $\displaystyle \int_0^1 x^2 dx = F(1) - F(0) = \dfrac{1}{3}$ 이다.

 

(FTC2 에 의하면 임의의 역도함수를 택할 수 있다고 되어있다.

$F(x) = \dfrac{x^3}{3}$ 말고 $\dfrac{x^3}{3} + 4$ 를 택해도 같은 답을 얻을 수 있음을 주목하자.)