이전 포스팅까지 함수의 극한에 대해 다루었다.
\(x=a\)에서의 극한은 \(x = a\)를 내부에 두지만
포함하지 않아도 되는 어떤 열린 구간 \(I\)에서의 계산을 다루었었다.
즉 \( x=a \)에서의 함숫값은 \(x \to a\)의 극한이랑 아무 상관도 없다는 말이다.
따라서 \( \lim\limits_{x \to a} f(x) \neq f(a) \)인 경우도 있고
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) \)인 경우도 있는데, 후자의 경우를 만족하면
\( f(x)\)는 \(x=a\)에서 연속이다. 라고 정의한다.
연속의 정의
$ \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) $ 이면 $ f(x) $ 는 $a$에서 연속이다.
즉, 함수가 어떤 점 \(x=a\)에서 연속이기 위한 조건으로는 다음 세가지가 있다.
- \( \lim\limits_{x \to a} f(x) \) 가 발산하지 않고 존재한다.
- \( f(a) \)가 존재한다. (\(x=a\)가 \(f(x)\)의 정의역에 속한다.)
- \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) \)
직관적으로는 함수의 그래프에서 그 점이 주변의 점이랑 동떨어져 있지 않은 경우가 연속이라 할 수 있다.
\(x=1\) 인 점에서는 함수의 좌극한 우극한이 같아 극한은 존재하지만, \(f(1)\)이 존재하지 않으므로 연속이 아니다.
\(x=3\) 인 점에서는 함수의 좌극한 우극한이 다르므로 극한이 존재하지 않는다. 따라서 연속이 될 수 없다.
\( x=5 \) 인 점에서는 극한도 존재하고 함숫값도 존재하지만 그 둘이 다른 값이므로 연속이 아니다.
이 그래프에서는 \( x = 0 \)에서의 함숫값은 1로 존재하나
좌극한과 우극한은 무한대로 발산하므로 극한이 존재하지 않는다.
따라서 x=0에서 연속이 아니다.
일반적으로 어떤 점에서의 연속은 극한이 존재할 때, 즉 좌극한과 우극한이 존재하고
둘이 같은 값을 가지며 함숫값 또한 같은 값을 가지는 경우를 생각하지만,
연속의 정의를 확장하여 한쪽 극한에 대한 연속성을 생각해 볼 수 있다.
한쪽 연속성의 정의
다음과 같은 경우 함수 \(f\)는 \(a\)의 왼쪽에서 연속이다 라고 하며
$$ \lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a) $$
다음과 같은 경우는 \(f\)는 \(a\)의 오른쪽에서 연속이다 라고 한다.
$$ \lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a) $$
또 어떤 함수 \(f\)가 구간 \(I\)내의 모든 점에서 연속이면, 이 함수 \(f\)는 \(I\)에서 연속이다 라고 한다.
구간의 끝부분에 대해서는 위에서 언급한 한쪽 방향의 연속성을 이용한다.
이 함수의 경우엔 \(\sqrt{1-x^{2}}\) 내부의 값이 음수가 되면 안되므로 \(1-x^2 \geq 0\)이 정의역이다.
즉 정의역은 \( (-1 \le x \le 1) \)이다.
\( a \in (-1 < x < 1) \)인 \(a\)에 대해서는
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) \) 이므로
\( (-1, 1) \)에서 연속이다.
양 끝점에 대해서도 한쪽극한으로 확장한 연속의 정의를 이용하면 \(-1, 1\)에서도 연속이라 할 수 있다.
따라서 \([-1, 1]\)에서 연속이다.
정리
어떤 점 \(x=a\) 에서 모두 연속인 함수 \(f, g \) 가 있다면
이들의 합, 곱, 차, 몫(분모가 0이 아니면), 상수배 모두 \(x=a\) 에서 연속이다.
수식으로 하는 증명은 생략하지만, 말로 적으면 다음과 같다.
이 둘이 연속이라고 했으므로 둘 다 \(x=a\) 에서 극한이 존재한다.
그리고 극한법칙에 의해 이들의 합, 곱, 차, 몫, 상수배 역시 극한이 존재하고
각각 \(f, g\)극한의 합, 곱, 차, 몫, 상수배랑 같다. 함숫값 역시 마찬가지이므로
이들은 모두 연속이라 할 수 있다.
일반적으로 다항함수, 삼각함수, 유리함수, 제곱근함수 들은 모두 정의역 내에서 연속이라고 알려져 있으며
연속인 함수의 합성 역시 정의역 내에서 연속임이 알려져 있다.
연속인 함수에서는 중요한 성질로 다음과 같은 정리가 있는데, 증명은 고급 미적분학(아마도 해석학)에서 다룬다고 한다.
증명은 생략한다.
중간값 정리(Intermediate Value Theorem)
$ f $가 폐구간 $ [a, b] $ 에서 연속이고 $ N $ 이 $ f(a), f(b) $ 사이의 수라고 하자.
그러면 $ f(c) = N $을 만족하는 $ c \in (a, b) $ 가 존재한다.
얼핏 보면 당연한 말 같다. 함수가 안끊기고 쭉 이어지는데 당연히 두 값 사이의 값을 지나가지 않을까?
할 수 있는데, 수학에서 "안끊기고 쭉 이어지는데" 같은 말은 잘 정의되지 않은 말이다. 이 정리를 당연히 여기고 넘어가지는 말자.
중요한 점은 위의 오른쪽 그림 처럼 \(f(c) = N\)이게 하는 \(c\)가 유일하지 않을 수 있다는 점이다.
이 정리는 오직 존재성을 보이는데 그친다.
\(Q1).\) 방정식 \( x^{5} - x^{2} - 4 = 0\) 이 적어도 하나의 근을 가짐을 증명하여라.
풀이
\(f(x) = x^{5} - x^{2} - 4\) 라고 하자.
이는 다항함수이므로 실수 전체에서 연속이다.
한편
\(f(2) = 32 - 4 - 4 = 24 > 0 \)
\(f(0) = -4 < 0 \)
이므로 중간값 정리에 의해 \( f(c) = 0 \)을 만족하는 \(c \in (0, 2)\) 가 존재한다.
이는 방정식의 근이므로 \(x^{5} - x^{2} - 4 = 0\)는 적어도 하나의 근을 갖는다.
지금까지 함수의 극한과 연속에 대해 알아보았다.
이와 관련된 연습문제 포스팅을 따로 만들어둘 예정이고 1~4번 글들을 잘 숙지한 다음 풀어보면 된다.
연습문제 링크 : 바로가기
다음 포스팅부터는 도함수와 변화율에 대한 단원을 공부할 것이다.
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