곡선 \(C\) 가 \(y = f(x)\) 로 나타내어 진다고 하자.
이 곡선위의 점 \(P : (a, f(a))\) 과
첫번째 그림과 같이 곡선위의 \(P\) 가 아닌 또 다른 점
\(Q : (x, f(x))\) 를 설정하여 두 점을 이은 선분을 만들자.
이 선분의 기울기 \(m_{PQ}\)은 \(\dfrac{f 증가량}{x 증가량} \) 임을 알 수 있고
식으로는 다음과 같이 적는다.
\(m_{PQ} = \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}\)
그리고 두번째 그림처럼 \(x \to a\) 로 만들어 점 \(Q\) 가 점 \(P\) 와 가까워지게 만들 때,
이 선분 \(PQ\)의 기울기는 점 \(P\) 에서의 접선의 기울기라고 정의한다.
접선의 기울기
\(y = f(x)\) 로 표현되는 곡선 위의 점 \(P : (a, f(a))\) 에서의 접선은
다음 식으로 표현되는 값의 기울기를 갖는다.
$$ \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a}$$
\(x\) 를 \(a\)에서 \(h\)만큼 떨어진 점이라고 본다면
위의 접선의 기울기 정의의 \(x\) 자리에 \(x = a+h\)를 대입하여
접선의 기울기 식의 또 다른 형태로 다음과 같이 쓸 수도 있다.
$$ \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
이러한 접선의 기울기는 어떤 의미를 가질까?
만약 \(f(x)\) 를 어떠한 물체의 "\(x\) 시간일 때 위치" 라고 정의한다면
시간 \(x\)가 \(x = a\) 일 때 시작하여 \(h\) 시간만큼 운동했을 때
처음의 시간은 \(a\) 이고, \(h\) 시간 이후의 시간은 \(a+h\) 일 것이고
처음의 위치는 \(f(a)\) 이고, \(h\) 시간 이후의 위치는 \( f(a+h) \)일 것이다.
그리고 이 물체의 \(x=a\) 일 때의 순간속력을 구하고자 한다면
1. 함수의 극한 (Limits of functions 에서 보았듯이
\(속력 = \dfrac{거리(위치 차이)}{시간(시간 차이)}\) 이므로
$$ 순간속력 = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} $$
이 식은 위에서 정의한 \(f\)의 접선의 기울기 식이랑 일치한다.
따라서 \(f\) 가 시간 \(x\) 에 따른 위치함수라고 정의되었을 땐
이 함수의 접선의 기울기는 그 시간에서의 순간속력을 의미하게 된다.
또는 만약 함수 \(f\) 가 어떤 세균의 시간에 따른 개체 수라고 설정한다면
이 때 함수 \(f\) 의 접선의 기울기는 세균의 특정한 때의 증식률이라고 볼 수 있다.
위에서 보았듯 함수 \(f\) 의 의미를 어떻게 설정하냐에 따라 접선의 기울기는 다양한 의미를 갖고
접선의 기울기를 구하는 계산은 과학이나 공학에서 변화율을 계산할 때 자주 쓰이므로
"\(x=a\) 에서 \(f\) 의 접선의 기울기"를 \(f\) 의 \(x=a\) 에서의 미분계수 라고 따로 이름을 붙였다.
그리고 간단히 \(f'(a)\) 라고 표현하기로 정의한다.
미분계수의 정의
함수 \(f\) 의 \(x=a\) 에서의 미분계수는 다음과 같이 정의한다.
$$f'(a) = \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} \text{ 또는 } \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
이제 이 정의에 따라 함수 \(f\) 의 \(x=a\) 에서의 접선의 기울기는 간단히 \(f'(a)\) 라고 표현하기로 하자.
일반적으로 점 \((a, f(a))\) 를 지나고 기울기가 \(m\) 인 직선의 방정식이 \(y - f(a) = m(x-a)\) 임이 알려져 있다.
그러므로 \(f\) 의 \(x=a\) 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다고 할 수 있다.
\( y-f(a) = f'(a)(x-a) \)
마지막으로 예제를 두 개 남기며 이번 포스팅을 마친다.
\(Q1).\) 공을 공기중으로 초기속도 \(10 m/s\) 로 던질 때 \(t\)초 후의 높이 \((m)\)는
\(y=10t-4.9t^{2}\) 이다. \(t = 2\) 에서의 속도를 구하라.
풀이
*참고) 초기속도가 \(v_0 (m/s)\)이고 가속도가 \(a (m/s^2)\) 인 물체의 운동방정식은
\(x(t) = v_0t + \dfrac{1}{2}at^2\) 이다. (위치변수를 대표격으로 \(x\)라고 썼지만 꼭 수평방향으로만 적용되는 식은 아니다.)
지구의 중력가속도는 약 \(9.8 (m/s^2)\) 로 알려져 있으므로
초기속도 \(10 (m/s)\)와 아래방향 중력가속도(음수)를 운동방정식에 대입하면 \(y = 10t- 4.9t^2\) 를 얻는다.
유도과정은 일반물리학에서 공부할 수 있다.
시간에 대한 높이 함수가 \(y(t) = 10t - 4.9t^2\) 로 주어져 있고,
이 함수의 \(t=2\) 에서의 미분계수를 묻는 문제이다.
미분 계수의 정의에 따라
$$ \begin{align} y'(2) = &\lim_{h \to 0} \dfrac{y(2 + h) - y(2)}{h} \\ =&\lim_{h \to 0} \dfrac{[10\times(2+h) - 4.9\times(2+h)^2] - [10 \times 2 - 4.9 \times 2^2]}{h} \\ = &\lim_{h \to 0} 4.9h - 9.6 \\ =&-9.6 \end{align}$$
따라서 \(t = 2(s)\) 에서의 속도는 \(-9.6m/s\) 이다.
\( Q2). y = 4x - x^2\) 의 점 \((1,3)\) 에서의 접선의 방정식을 구하시오.
(다항식의 미분 공식을 사용하지 말고 미분 계수의 정의를 이용하라.)
풀이
\(f(x) = 4x - x^2\) 라 하자.
\(x = 1, y = f(1) = 3\) 를 지나는 접선의 방정식은 정의에 의해
\(y - 3 = f'(1)(x-1)\) 이다.
$$ \begin{align} f'(1) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = &\lim_{h \to 0} \dfrac{[4(1+h) - (1+h)^{2}] - [4 - 1]}{h} \\ = &\lim_{h \to 0} \dfrac{-h^{2} + 2h}{h} \\ = &\lim_{h \to 0} -h + 2 \\ = &2 \end{align}$$
이므로 \(f'(1)\) 을 대입하여 정리하면
접선의 방정식은 \( y = 2(x-1) + 3 \) 이다.
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