*모바일에서는 일부 수식이 잘려 안보일 수 있습니다
직선상으로만 이동하는 어떤 자동차가 1시간만에 36km를 이동했다고 치자.
속력 = 거리/시간 이므로
우리는 이 자동차의 속력을 \( \frac{36km}{1h} = 36km/h\) \( =\frac{36\times1000 m}{1\times3600 s}\) \( = 10m/s\) 라고 계산한다.
하지만 자동차는 항상 같은 속력으로 이동한것만은 아닐테고
순간순간 다른 속력으로 이동한 거리들이 합쳐져서 한 시간동안 36km를 이동한 것이다.
(논외지만 이 부분에서 적분의 개념을 떠올릴 수 있는가?)
평균 속력 말고 매 순간 순간의 속력은 어떻게 구할 수 있을까?
같은 아이디어를 1시간이라는 큰 범위가 아닌 1초라는 작은 범위로 좁혀 생각해보자.
자동차가 출발한지 \(13\)초가 지났을 때 시작점에서부터 \(55m\)의 위치에 있고
\(14\)초가 지났을 때 시작점에서부터 \(62m\)의 위치에 있었다고 해보자.
같은 방법으로 \(\frac{거리차}{시간차}\) 를 계산해보면 \(\frac{7m}{1s}\) \(=7m/s\) 를 얻는다.
꽤 순간속력스러운 계산이지만, 1초라는 짧은 시간 내에도 속력은 계속 변화하므로
그 속력이 순간속력이라고 할 수는 없다.
더욱 짧은 시간을 택해도 여전히 그 짧은 시간 내에 속력은 계속 변화한다.
하지만 한없이 0에 가까울 정도로 짧은 시간을 택한다면 그 속력은 순간속력이라고 할 수 있을 것이다.
이러한 문제로부터 함수의 극한이 탄생하게 된것이다.
자동차의 속력이 \( (0 \le t \le 5) \) 에서는 \(\text{distance}(미터) = \dfrac{t^{2}}{2}(초)\) 식을 따르는
운동을 한다고 가정하자. 간단히 \(f(x) = \dfrac{1}{2}x^2\) 로 표현할 수 있다.
만약 2초일 때의 순간속력을 구하고자 한다면, \(x=2\)일 때부터 작은 시간차이인 \(\Delta x\) 후의 시간까지
자동차가 이동한 거리를 구해서 시간으로 나누어 주어야 한다. 그리고 이 작은 시간차를 0에 한없이 작게 만들어주면 된다.
2초일 때 자동차의 평균속력은 다음과 같이 구한다.
$$ \text{velocity}_{\text{average}} = \dfrac{거리차}{시간차} = \dfrac{f(2+\Delta x) - f(2)}{(2+\Delta x) - (2)} = \dfrac{\frac{(2+\Delta x)^2}{2} - \frac{2^2}{2}}{\Delta x} = \frac{1}{2}\Delta x + 2$$
이제 \( \Delta x\) 를 0으로 한없이 가까이 만들어 극한을 계산하면 순간속력이 되고 다음과 같은 표현을 쓴다.
$$ \text{velocity} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{(2+\Delta x) - (2)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{2} \Delta x + 2 $$
\(\Delta x \to 0\) 이므로 \(\Delta x = 0\)으로 취급해 대입하면 2를 얻는다.
따라서 이 자동차의 2초일 때 평균속력은 \(2m/s\) 이다.
(\(\Delta x\)를 처음엔 0이 아닌것 처럼 취급하여 나눗셈을 하였지만 후에는 0으로 취급해 대입하였다. 이 내용은 다음 포스팅에서 다룬다.)
위 예시에서는 "변화율"의 극한을 계산하는 과정을 보였다.
하지만 변화율의 극한 외에도 다양한 곳에서 어떠한 현상을 함수화하였을 때
그 함수의 특정한 위치에서의 극한값을 계산할 필요가 있을 수도 있을 것이다.
일반적으로 함수 \( f(x)\)에 대해 \(x \to a\)로의 극한을 다음과 같이 표현한다.
$$ \lim_{x \to a} f(x) $$
만약 이 극한값이 \(x=a\) 에서 존재한다면(존재 안하는 함수도 있다), 또 이 극한값이 \(L\)이라 한다면,
다음과 같이 표현한다.
$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$
그리고 극한의 직관적인 정의는 다음과 같이 볼 수 있다.
\(x\)가 \(a\)와 같지는 않지만 충분히 가까이 접근할 때
\(f(x)\)의 값을 \(L\)에 근접시킬 수 있으면
"\(x\)가 \(a\)에 접근 할 때 \(f(x)\)의 극한은 \(L\)이다."
라고 하고 기호로는 다음과 같이 쓴다.
$$ \lim_{x \to a} f(x) = L$$
극한이 존재하지 않는 함수는 어떤 함수일까?
다음 사진을 보자.
\(x = 0\)의 왼쪽에서 \(0\)에 다가가면 \(f(x) \to 0\)이고
\(x = 0\)의 오른쪽에서 \(0\)에 다가가면 \(f(x) \to 1\)인것을 볼 수 있다.
위에서 말한 정의대로 \(x=0\)에서 극한이 존재하려면
\(x=0\)과 충분히 가까운 값으로 어떠한 한가지 값에 충분히 가깝게 만들 수 있어야 하는데
그 값을 \(0\)으로 할지 \(1\)로 할지 정할 수 없다.
위에서 언급한 정의와 이 사례를 조합하면
\(x \to a^{-}\)로의 극한을 \(x\)의 \(a\)에서의 좌극한이라고 하고
\(x \to a^{+}\)로의 극한을 \(x\)의 \(a\)에서의 우극한이라고 한다면
\(x=a\)에서 극한이 존재한다는것은 \(x=a\)의 좌극한, 우극한이 존재하고
또 둘이 같은 값을 가져야 한다는 것이다.
즉 다음이 성립한다.
$$ \lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x) = L (존재) \Longleftrightarrow \lim_{x \to a} f(x) = L$$
풀어서 쓰면,
"\(x=a\)에서의 좌극한과 우극한이 존재하고(진동하거나 무한대로 발산하지 않음)
그 둘의 값이 \(L\)로 같다면, \(x=a\)에서의 극한은 존재하고 그 값은 \(L\)이다. "
라고 할 수 있겠다.
다음 그래프들을 보며 어디에서 극한이 존재하고 존재하지 않는지 생각해보자.
마지막으로 아래 그래프와 같이 좌극한과 우극한이 모두 양의 무한대로 발산하거나
음의 무한대로 발산하는 경우에는 극한이 존재한다고 하지는 않지만
단지 존재하지 않는 여러 경우 중 특수한 경우이므로 다음과 같이 표현한다.
$$ \lim_{x \to a} f(x) = -\infty $$
$$ \lim_{x \to a} f(x) = +\infty $$
다음 포스팅에서는 극한의 엄밀한 정의를 다룰 것이다.
이전 포스팅 : 들어가기 앞서서
'수학 > 미분적분학 (Stewart Calculus)' 카테고리의 다른 글
| [연습문제] 극한, \(\epsilon - \delta\)논법, 연속 (1~4) (0) | 2021.01.04 |
|---|---|
| 4. 함수의 연속과 중간값 정리 (Continuity and Intermediate Value Theorem) (0) | 2021.01.03 |
| 3. 극한법칙과 압축정리 (Limit laws and Squeeze Theorem) (1) | 2021.01.02 |
| 2. 극한의 엄밀한 정의, 엡실론 델타 논법(Epsilon-delta argument) (1) | 2021.01.02 |
| 들어가기 앞서서 (0) | 2021.01.02 |