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고교 수학에서 미적분학을 공부했으면 필히 함수의 극한에 대해 먼저 공부했을 것이다.
미분과 적분에 모두 함수의 극한 개념이 적용되기 때문이다.
뉴턴에 의해 미적분학의 기본정리가 발견되고 전혀 다른 분야로 발전해왔던
미분과 적분이 통합되면서 미적분학은 크게 발전하게 된다.
하지만 이 과정에서 극한을 계산할 때
어떨 때는 0에 한없이 가까워지는 수지만 0이 아닌것처럼 취급하여 분모에 들어가고
어떨 때는 0처럼 취급하여 계산에서 제외시키는 등
무한소를 다루는 명쾌한 방법을 내놓지 못한 채 미적분학이 발달하다 보니
적용 시키면 안되는 경우에 대해서도 미적분학을 적용시키는 사례도 있었다고 한다.
따라서 극한을 계산하는데 있어 좀 더 엄밀한 정의가 필요했고
19세기에 Augustin Louis Cauchy 라는 수학자에 의해 $\epsilon - \delta$ 논법의 기초 틀이 마련됐다.
'수'라는것은 움직이는 것이 아니다.
그러므로 "$x$ 가 $a$ 에 점점 다가갈 때 $L$ 에 충분히 근접하게 할 수 있다" 와 같은 동적인 표현을
'수'라는 정적인 표현으로 정의해야만 했다.
이러한 방법의 극한을 정의하기 위해 간단한 식에서 출발하자.
$$ \lim_{x\to1} 2x $$
이 계산은 결과가 2일 것으로 예상할 수 있다.
하지만 어떠한 이유로 2라고 할 수 있는 것일까?
극한 안의 식인 \(2x = f(x)\)라 하고
직접 x의 값을 1에 점점 가까워 지는 수를 대입하여 보자.
\(x=0.9 \)부터 시작하여 점점 늘려보자.
\(x=1-0.1\) 이면 \(f(0.9) =1.8\)
\(x=1-0.05\) 이면 \(f(0.95) =1.9\)
\(x=1-0.02\) 이면 \(f(0.98) =1.96\)
\(x=1-0.01\) 이면 \(f(0.99) =1.98\)
이제는 반대로 \(x=1.1\)부터 시작하여 점점 줄여보자.
\(x=1+0.1\) 이면 \(f(1.1) =2.2\)
\(x=1+0.05\) 이면 \(f(1.05) =2.1\)
\(x=1+0.02\) 이면 \(f(1.02) =2.04\)
\(x=1+0.01\) 이면 \(f(1.01) =2.02\)
2로 수렴할 것이라고 예상 된다.
이제 2를 예상 값이라고 하고 2.1이나 1.96처럼 예상값과 약간의 오차가 있는 값을 얻기 위해서
이에 대응하는 x가 어디에 존재하는지 볼 것이다.
위에서
\(x=1-0.1\) 이면 \(f(0.9) =1.8\) 이고
\(x=1+0.1\) 이면 \(f(1.1) =2.2\) 임을 구했다. 따라서
\(f(x)\)의 오차가 0.2 미만으로 나게 하기 위해서는 \(x\)의 오차가 1에서 0.1 이내로 차이나야 한다.
마찬가지로 \(f(x)\)의 오차가 0.1 미만으로 나게 하려면 \(x\)가 1에서 0.05 이내여야 하고
\(f(x)\) 오차가 0.02 이내이려면 \(x\)가 1에서 0.01 이내여야 한다.
그리고 \(f(x)\) 오차를 아무리 작게 잡아도 이에 대응하는 \(x\)의 오차범위가 존재 할것으로 보인다.
(실제로 존재하고 그 과정은 밑에서 보일 것이다)
즉 $2$ 에 가깝지만 $2$ 가 아닌 모든 임의의 값을 도출해내는 $1$ 에 가깝지만 $1$ 이 아닌 $x$ 값이 존재한다는 말이고
이런 상황일 때 \({x\to1}\)일 때 \(f(x)\)의 극한은 \(2\) 이다. 라고 하는 것이다.
여기서 \(f(x)\)의 오차를 \( \epsilon\) (엡실론)이라고 하고
\(x\)의 오차를 \( \delta \) (델타)라고 하면 다음과 같은 표현을 얻는다.
임의의 \( \epsilon>0 \) 에 대해 정의역 내의 \(0 < |x-1|<\delta \) 의 범위에서 \( |f(x)-2|<\epsilon \) 이게 하는 \( \delta > 0 \)가 존재하면
\(\lim\limits_{x\to1} f(x) = 2\)라고 정의한다.
좀 더 일반적으로
임의의 \( \epsilon>0 \) 에 대해 정의역 내의 \(0 < |x-a|<\delta \) 의 범위에서 \( |f(x)-L|<\epsilon \) 이게 하는 \( \delta > 0 \)가 존재하면 다음과 같이 정의한다.
$$ \lim_{x\to a} f(x) = L $$
이제 위에서 언급한 정의대로 \(\lim\limits_{x\to1} f(x) \) 가 2가 되는지 확인할 것이다.
우리는 임의의 \( \epsilon>0 \)에 대해 \(0 < |x-1|<\delta \) 이면 \( |f(x)-2|<\epsilon \) 이게 하는 \( \delta > 0 \)가 존재하는지 궁금한 것이다.
\(f(x) = 2x\)였으므로 \( |f(x)-2| = |2x - 2| = 2|x-1| \) 인데 \( |x-1|<\delta \) 도 만족한다면
\( 2|x-1| < 2\delta \) 이다.
따라서 \(2\delta = \epsilon\), 즉 \(\delta = \dfrac{\epsilon}{2}\) 라고 설정하면
\(\epsilon\)을 아무런 양수로 잡아도 \(0 < |x-1|<\delta \) 일 때
\(|f(x)-2|\)\(=|2x-2|=2|x-1|\) \(<\) \(2\times\delta = 2\times\dfrac{\epsilon}{2} =\) \( \epsilon \) 을 만족한다.
따라서 정의에 의해 \(\lim\limits_{x\to1} f(x) = 2 \) 이다.
무한극한에 대해서도 엄밀한 방법으로 정의될 수 있다.
\( f \) 는 수 \(a\)를 포함하는 어떤 개구간(\(a\)는 제외 가능)에서 정의된 함수라 하자.
임의의 양의 실수 \( M > 0\)에 대해 \( 0 < |x-a| < \delta\) \(\Longrightarrow \) \( f(x) > M \)을 만족하는
\(\delta > 0\) 이 존재하면 \(f\) 의 \(a\)로의 극한은 \(\infty\)로 발산한다 라고 하고
(극한이 존재 하는것은 아님) 다음과 같이 적는다.
$$ \lim_{x \to a} f(x) = \infty $$
위에서 보인 극한의 정의의 방법으로 $$ \lim_{x\to a} x = a $$ 임을 보일 수 있고 다음 포스팅에서 다룰 규칙들에 의해 좀 더 복잡한 다항식이나 유리식들에 대한 극한을 계산할 수 있게 해준다.
오늘 다룬 \(\epsilon-\delta\) 논법의 핵심은 \(\delta\)의 존재성을 보이는것이다.
이후에 올릴 연습문제 포스팅에서 몇몇 연습문제들을 풀이할 예정인데, 어떻게 \(\epsilon\)과 연관된 부등식에서 \(\delta\)와 연관된 부등식으로 이끌어내는지 보일 것이다.
이전 포스팅 : 1. 함수의 극한 (Limits of functions)
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