6. 도함수와 미분가능성 (Derivative and Differentiability)

 

 

 

이전 포스팅에서 함수 $f$의  고정된 값 $a$ 에서의 미분계수에 대해 다뤘고 다음과 같은 식임을 알았다.

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$$

 

그리고 자연스럽게 고정된 점이 아닌 임의의 점 $x$ 에서의 미분계수도 생각해볼 수 있을것이다.

다음과 같이 $a$ 대신에 $x$ 를 대입함으로써 이를 구할 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(f의 도함수)}& f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\end{array}$$

 

위 식을 잘 보자. 

정의역의 $x$ 라는 값이 들어가면 $x$ 점의 미분계수가 되어

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ 라는 값이 튀어 나오는 것이 마치 함수와 같다.

 

즉 $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ 극한이 존재하기만 하면

이 때의 $x$ 값들을 모두 $f^{\prime }(x)$ 에 대응시킬 수 있고

$f^{\prime }$ 를 $f$ 의 도함수라고 부르는 새로운 함수로 정의할 수 있게 된다.

 

 

도함수를 나타내는 다른 표현으로는 $y=f(x)$ 일 때

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{df}{dx}}={\displaystyle \frac{d}{dx}}f$ 등이 있다.

이런 방식의 표현을 라이프니츠식 표기법이라고 하고

다가올 포스팅에서 서술할 연쇄법칙을 적용할 때 편리한 표현방식을 제공해준다.

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도함수의 직관적인 의미는 무엇일까?

$x=a$ 에서의 미분계수가 그 점에서의 기울기임을 저번 포스팅에서 확인하였다.

따라서 임의의 점에서의 기울기에 대한 함수가 도함수라고 할 수 있을것이다.

 

다음 그림을 보며 도함수의 의미에 대해 감을 잡아보자.

 

파란 곡선이 $f(x)$, 빨간 곡선이 기울기 함수 $f^{\prime }(x)$ 이다. 

위 그림에서 두 그래프 중 위쪽의 그래프는 원함수(원래 함수) $f(x)$ 이고 아래의 그래프는 도함수 $f^{\prime }(x)$ 를 나타내었다.

 

원함수에서 점 $A$의 이전 구간에는 곡선이 점점 내려가므로 기울기가 음수이다. 

그리고 같은 구간에서 도함수 $f^{\prime }$ 가 0보다 아래에 있는것을 확인할 수 있다.

 

원함수에서 점 $A$ 와 $B$ 사이의 구간에서는 곡선이 점점 올라가므로 기울기가 양수이다.

그리고 같은 구간에서 도함수 $f^{\prime }$ 가 0보다 위에 있는것을 확인할 수 있다.

 

원함수에서 점 $A,B,C$ 의 순간에서는 곡선이 증가하지도 감소하지도 않는다. 따라서 기울기가 0이고

같은 위치에서 도함수의 값이 0임을 확인할 수 있다.

 

원함수의 점 $P$ 에서 기울기가 약 $\frac{3}{2}$ 라고 되어있다.

같은 위치에서 도함수의 값이 약 $\frac{3}{2}=1.5$ 임을 확인할 수 있다.

 

다른 구간에도 같은 방식으로 생각할 수 있다.

 

 

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임의의 구간에서 도함수는 항상 존재할까? 그렇지 않다.

위에서 언급하였듯이 $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ 의 극한이 존재 하는 곳에서만 정의된다.

다음 예제를 보자

 

$Q1.)f(x)=\sqrt{x}$ 일 때 $f$ 의 도함수를 구하고 정의역을 구하라.

 

풀이

도함수의 정의에 의해

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)=& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}}\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\end{array}$$

 

$x<0$ 이면 $\sqrt{x}$ 가 정의가 안되므로 $f^{\prime }(x)$ 극한이 존재하지 않게 된다.

또 $x=0$ 인 경우에는 분모의 $\sqrt{x}$ 가 $0$ 이 되므로 이 때도 극한이 존재하지 않는다.

따라서 $x<0$에서 도함수가 정의되고

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ 이다.

 

 

 

위 예시에서 보았듯이 항상 모든 구간에서 미분계수가 존재하는것이 아니다.

$x=a$ 에서의 미분계수 $f^{\prime }(a)$ 가 존재한다면 이를 다른 말로 $f$ 는 $x=a$ 에서 미분가능하다 라고 표현한다.

 

그리고 열린 구간 $(a,b)$ 에서 미분 계수가 모조리 존재한다면 $f$ 는 $(a,b)$ 에서 미분가능하다 라고 표현한다.

$(a,\mathrm{\infty }),(-\mathrm{\infty },a),(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 에서도 마찬가지이다.

(닫힌구간이 아니라 열린구간으로 표현한 이유)

$x=a$ 에서 미분계수가 존재하려면 다음의 극한이 존재해야 한다.

$$\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}\text{ 또는 }\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$$

 

우극한 좌극한 모두 존재할 때 극한이 존재한다 라고 표현했음을 상기하자.

 

원래 함수 $f$ 의 정의역이 닫힌 구간 $[a,b]$ 으로 주어졌다고 가정하자.

그리고 $x=a$ 일 때의 미분계수인 $\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ 를 계산하려고 해보자.

 

이 함수의 $x<a$ 인 구간에서는 함수가 정의가 안되므로

좌극한을 계산하기 위한 $\underset{x\to a^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ 의 식 중

분자의 $f(x)$는 말이 안되는 식이 된다.

 

따라서 좌극한이 존재하지 않고 $\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ 의 극한은 존재하지 않는다.

$x=b$ 에서의 우극한도 비슷한 방식으로 존재하지 않고 따라서 극한도 존재하지 않는다.

 

이러한 이유로 닫힌 구간으로 주어진 정의역 $[a,b]$에서는 아무리 미분 가능한점이 많아도

열린 구간 $(a,b)$ 보다 더 많을 수는 없다.

따라서 편리성을 위해 일반적으로 열린구간으로 표현한것일 뿐이다. 

정의역보다 작은 정의역 안에 포함된 구간이라면 닫힌구간에서 미분가능하다는 표현도 가능하다.

$\text{ex) }$ $f$ 가 $(-1,5)$ 에서 미분 가능하다면 $f$ 는 $[0,3]$ 에서 미분 가능하다고 표현할 수 있다.

 

 

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4번째 포스팅 여기(링크) 에서 함수의 성질 중 연속성에 대해 다루었다.

그리고 미분가능성 역시 함수의 성질이라 할 수 있다.

 

다음 정리는 이 두 가지 성질이 어떻게 연결되어 있는지 보여준다.

 

 

정리

$f$ 가 $a$ 에서 미분가능하면 $f$ 는 $a$ 에서 연속이다.

 

증명

$f$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하다는 말은 다음의 극한이 존재한다는 말이다.

$$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$$

 

그리고 

$f$ 가 $x=a$ 에서 연속이라는 말은 다음이 성립한다는 말이다.

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

 

이제 이 둘을 연결시켜 보이면 된다.

 

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먼저 $\underset{x\to a}{lim}[f(x)-f(a)]=0$ 임을 보이자.

 

$\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}=f^{\prime }(a)$ 로 수렴함이 주어져있다.

또 한편 $\underset{x\to a}{lim}(x-a)=0$ 이므로 수렴한다. 따라서 다음이 성립할 것이다.

 

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to a}{lim}[f(x)-f(a)]=& \underset{x\to a}{lim}[{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}\cdot (x-a)]\\ \text{(극한법칙)}& =& \left[\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}\right]\cdot [\underset{x\to a}{lim}(x-a)]=& f^{\prime }(a)\cdot 0\\ =& 0\end{array}$$

 

 

그리고 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}[f(x)-f(a)]+f(a)$ 인데

$\underset{x\to a}{lim}[f(x)-f(a)]=0$ 으로 수렴함을 위에서 보였고

$\underset{x\to a}{lim}f(a)=f(a)$ 으로 역시 수렴하므로 극한법칙에 의해

 

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to a}{lim}f(x)=& \underset{x\to a}{lim}[f(x)-f(a)]+f(a)\\ =& \underset{x\to a}{lim}f(x)-f(a)+\underset{x\to a}{lim}f(a)\\ =& 0+f(a)\\ =& f(a)\end{array}$$

 

$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$ 임을 보였으므로 $f$ 는 $x=a$ 에서 연속이다.

 

참고로 고교 수학에서 "미분가능하려면 연속이어야 한다" 라고 배운 경우가 있을텐데

맞는 말이기는 하다만 이것만 기억을 해서 마치 미분가능성의 정의에 연속이 포함된 것처럼 오해할 수 있다.

다시 정의를 보면 알겠지만 $f$ 의 미분가능성의 정의엔 $f$ 의 연속성 개념이 포함되어 있지 않다.

 

그렇다면 왜 그런 말이 나온것일까?

위에서 보인 정리에 의해서 ($f$ 가 미분가능하면 / $f$는 연속이다.) 가 참이다.

"$f$ 가 연속이다" 는 "$f$ 가 미분가능하다"의 필요조건인것이다. 

따라서 $f$ 가 미분가능하려면 우선 $f$ 가 연속이어야 한다는 말도 되는것이다.

 

비유하자면

(펭수가 펭귄이면 / 펭수는 동물이다.) 에서 펭수가 펭귄이려면 우선 펭수가 동물이어야 하는것은 당연한 일이다.

펭수가 우선 동물이어야 펭귄인지 아닌지 따져볼 수 있는 것이다.

 

 

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함수 $f$의 도함수 $f^{\prime }$ 가 있듯이 함수 $f^{\prime }$의 도함수 $f^{″}$ 도 존재한다.

도함수를 정의했던 방법과 같은 방식으로 $f$ 대신에 $f^{\prime }$ 를 넣어 다음과 같이 정의된다.

$$f^{″}(a)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(a+h)-f^{\prime }(a)}{h}}$$

 

이를 함수 $f$ 의 2계도함수 라고 부르고

$y=f(x)$ 으로 주어질 때 라이프니츠식 표기법으로는 다음과 같이 적는다.

${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)={\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$

 

마찬가지의 방법으로 3계도함수 또는 그 이상의 고계도함수도 정의할 수 있다.

 

 

 

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