7. 미분 공식 (Differentiation Formulae)

이번 포스팅은 몇몇 함수들에 대한 미분 공식을 정리할 것이다.

상수함수, 거듭제곱함수에 대한 미분공식을 먼저 보인 후

상수배의 공식, 합의 공식, 차의 공식, 곱의 공식, 몫의 공식을 증명하여 확장해 나갈 것이며

마지막으로 이를 이용해 삼각함수의 미분공식을 유도해낼 것이다.

 

지수함수, 로그함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수에 대한 미분 공식은 이번 포스팅에서 다루지는 않는다.

 

 

아래에 정리된 공식들을 설명하고 증명한다.

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상수함수 $(f(x)=c)$

$${\displaystyle \frac{d}{dx}}(c)=0$$

 

증명

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)=& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{c-c}{h}}\\ =& 0\end{array}$$

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거듭제곱함수 $(f(x)=x^n)$

$n$ 이 임의의 실수이면

$${\displaystyle \frac{d}{dx}}(x^n)=n{x}^{n-1}$$

 

증명

임의의 실수 $n$ 에 대해서 성립하지만 일단은 양의 정수인 $n$ 에 대해서만 증명을 남기고

실수인 경우의 증명은 한참 뒤에 다룰것이다.

 

증명1

$f^{\prime }(a)$ 를 구한 후 $a$ 대신에 $x$ 를 대입할 것이다.

$x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+x^{n-3}{a}^2+\cdots +x{a}^{n-2}+a^{n-1})$ 을 이용하면

 

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(a)=& \underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{x^n-a^n}{x-a}}\\ =& \underset{x\to a}{lim}{x}^{n-1}+x^{n-2}a+x^{n-3}{a}^2+\cdots +x{a}^{n-2}+a^{n-1}\\ =& a^{n-1}+a^{n-2}{a}^{+}{a}^{n-3}{a}^2+\cdots +a{a}^{n-2}+a^{n-1}\\ =& n{a}^{n-1}\end{array}$$

 

이제 $a$ 대신 $x$ 를 대입하면 공식을 얻는다.

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증명2

도함수의 정의에 따라 다음을 얻는다

$$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}}$$

 

한편 이항정리에 의해 다음이 성립한다.

$$(x+h{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{h}^k$$

여기서 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})={}_n{C}_k$ 이다.

 

따라서

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)=& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\left[\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{h}^k\right]-x^n}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{[x^n+n{x}^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}{h}^2+\cdots +nx{h}^{n-1}+h^n]-x^n}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{n{x}^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}{h}^2+\cdots +nx{h}^{n-1}+h^n}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}[n{x}^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}h+\cdots +nx{h}^{n-2}+h^{n-1}]\\ =& n{x}^{n-1}\end{array}$$

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상수배의 공식

$c$ 가 상수, $f$ 가 미분가능한 함수이면

$${\displaystyle \frac{d}{dx}}[cf(x)]=c{\displaystyle \frac{d}{dx}}f(x)$$

 

증명

$g(x)=cf(x)$ 라 하면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)=& \underset{hto0}{lim}{\displaystyle \frac{g(x+h)-g(x)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}c\left[{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\right]\\ \text{(극한법칙 중 상수배의 법칙)}& =& c\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=& c{f}^{\prime }(x)\end{array}$$

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합의 공식

$f$ 와 $g$ 가 모두 미분가능할 때 다음이 성립한다.

$${\displaystyle \frac{d}{dx}}[f(x)+g(x)]={\displaystyle \frac{d}{dx}}f(x)+{\displaystyle \frac{d}{dx}}g(x)$$

 

증명

$F(x)=f(x)+g(x)$ 라 하면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)=& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{F(x+h)-F(x)}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)]}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}[{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}+{\displaystyle \frac{g(x+h)-g(x)}{h}}]\\ \text{(극한법칙 중 합의 법칙)}& =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}+\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{g(x+h)-g(x)}{h}}=& f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)\end{array}$$

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차의 공식

$f$ 와 $g$ 가 모두 미분가능할 때 다음이 성립한다.

$${\displaystyle \frac{d}{dx}}[f(x)-g(x)]={\displaystyle \frac{d}{dx}}f(x)-{\displaystyle \frac{d}{dx}}g(x)$$

 

증명

$f+g=f+(-1)g$ 라 두고 합의 공식과 상수배의 공식을 적용하면 된다.

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곱의 공식

$f$ 와 $g$ 가 모두 미분가능할 때 다음이 성립한다.

$${\displaystyle \frac{d}{dx}}[f(x)g(x)]=[{\displaystyle \frac{d}{dx}}f(x)]g(x)+f(x)[{\displaystyle \frac{d}{dx}}g(x)]$$

 

증명

$F(x)=f(x)g(x)$ 라 하면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)=& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{F(x+h)-F(x)}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\end{array}$$

 

분자에 $f(x+h)g(x)$ 를 빼고 더해도 같은 식이다. 따라서

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)=& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x+h)g(x)}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}[f(x+h){\displaystyle \frac{g(x+h)-g(x)}{h}}+g(x){\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}]\\ =& \underset{h\to 0}{lim}f(x+h)\cdot \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{g(x+h)-g(x)}{h}}+\underset{h\to 0}{lim}g(x)\cdot \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ =& f(x)g^{\prime }(x)+g(x)f^{\prime }(x)\end{array}$$

(여기서 두 번째 줄에서 세 번째 줄으로 넘어갈 때 극한법칙 중 곱의 법칙이 이용되었다.

$g$와 $f$가 미분 가능하기 때문에 $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{g(x+h)-g(x)}{h}}$ 이 수렴하고 $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ 도 수렴한다.

또 $f$가 미분 가능하므로 미분가능하면 연속이라는 정리에 의해 $\underset{h\to 0}{lim}f(x+h)=f(x)$ 가 성립하므로 수렴한다 $g(x)$ 는 h에 무관한 식이므로 상수취급이다. 따라서 모두 수렴하므로 곱의 극한이 극한의 곱으로 분리 될 수 있다.)

 

덧셈 순서만 바꾸면 공식을 얻는다.

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몫의 공식

$f$ 와 $g$ 가 모두 미분가능할 때 다음이 성립한다.

$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left[{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}\right]={\displaystyle \frac{[{\displaystyle \frac{d}{dx}}f(x)]g(x)-f(x)[{\displaystyle \frac{d}{dx}}g(x)]}{[g(x){]}^2}}$$

 

증명

$F(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ 라고 하면 다음을 얻는다.

 

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)=& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{F(x+h)-F(x)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{f(x+h)}{g(x+h)}}-{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x+h)g(x)}}\end{array}$$

 

분자에 $f(x)g(x)$ 를 빼고 더해도 같은 식이다. 따라서

 

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)=& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x+h)g(x)}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{g(x){\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}-f(x){\displaystyle \frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}{g(x+h)g(x)}}\\ =& {\displaystyle \frac{\underset{h\to 0}{lim}g(x)\cdot \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}-\underset{h\to 0}{lim}f(x)\cdot \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}{\underset{h\to 0}{lim}g(x+h)\cdot \underset{h\to 0}{lim}g(x)}}\\ =& {\displaystyle \frac{g(x)f^{\prime }(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}}\end{array}$$

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$\sin x$ 의 도함수

${\displaystyle \frac{d}{dx}}(\sin x)=\cos x$

 

증명

$f(x)=\sin x$ 라 하면 도함수의 정의에 의해

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}}$$

 

삼각함수의 덧셈 공식에 의해

$\sin (x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$ 이므로

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)=& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}}\\ \text{(1)}& =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}}\end{array}$$

 

이 때

${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}}$ 와

${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}}$ 가 모두 수렴한다면

 

이들 식에 $h$ 와 무관하여 $h$입장에서는 상수인 $\sin x,\cos x$ 을 곱한 다음의 식

${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\sin x{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}}$ 와

${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\cos x{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}}$ 역시 수렴할것이고

 

극한 법칙에 의해 식 $(1)$ 은 다음과 같이 분리될 수 있을것이다.

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)=& \underset{h\to 0}{lim}\sin x{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}+\underset{h\to 0}{lim}\cos x{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}\\ =& \sin x\left[\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}\right]+\cos x\left[\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}\right]\end{array}$$

 

이제

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}=0$

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}=1$ 임을 증명한다면

이를 대입하여 증명하고자 하는 공식인 $f^{\prime }(x)=\cos x$ 을 얻는다.

 

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}=1$ 증명

 

그림은 푸른 선으로 표시된 중심각이 $0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ 인 부채꼴에 붉은 선으로 표시된 선분 $\overline{BE},\overline{AD}$가 접해있는 모습이다.

 

$\overline{BC}$ $\le \overline{BA}\le$ $\stackrel{⌢}{BA}$ 가 성립하므로

$\sin \theta \le \theta$ $⟹$ ${\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}\le 1$

 

또 한편 다음이 성립한다.

$\begin{array}{rl}\theta =\stackrel{⌢}{BA}& \le \overline{BE}+\overline{EA}\\ & \le \overline{DE}+\overline{EA}=\overline{DA}=\tan \theta \end{array}$

 

즉 $\theta \le {\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}⟹$ $\cos \theta \le {\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}$

 

 

 

따라서 둘을 합치면 다음을 얻고

$$\cos \theta \le {\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}\le 1$$

 

${\displaystyle \underset{\theta \to 0+}{lim}\cos \theta =1}$, ${\displaystyle \underset{\theta \to 0+}{lim}1=1}$ 임을 알고 있으므로

각 항에 $0$ 의 우극한을 취하면 압축정리에 의해 다음을 얻는다.

$$\underset{\theta \to 0+}{lim}{\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}=1$$

 

${\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}$ 는 $\theta$ 대신 $-\theta$ 를 넣어도 같은 식을 얻으므로 우함수이다.

따라서 $0$ 의 좌극한 역시 같아야 한다. 따라서 다음이 성립한다.

$$\underset{\theta \to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}=1$$

 

 

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}=0$ 증명

 

$$\begin{array}{rl}\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}=& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}\cdot {\displaystyle \frac{\cos h+1}{\cos h+1}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{-{\sin }^{2}h}{h(\cos h+1)}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}\cdot {\displaystyle \frac{-\sin h}{\cos h+1}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}\cdot \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{-\sin h}{\cos h+1}}\\ =& 1\cdot 0=0\end{array}$$

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$\cos x$ 의 도함수

${\displaystyle \frac{d}{dx}}(\cos x)=-\sin x$

 

증명

$f(x)=\cos x$ 라 하면 도함수의 정의에 의해

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)=& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}}\end{array}$$

 

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}=1$ 임은 $\sin x$ 의 도함수 구하는 과정에서 증명하였다.

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}=0$ 임을 증명한다면

극한법칙을 적용하여 다음을 보일 수 있을것이다.

 

$$f^{\prime }(x)=\cos x\left[\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}\right]-\sin x\left[\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}\right]=-\sin x$$

 

 

 

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}=0$ 증명

 

$$\begin{array}{rl}\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}=& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}}\cdot {\displaystyle \frac{\cos h+1}{\cos h+1}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}h-1}{h(\cos h+1)}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{-{\sin }^{2}h}{h(\cos h+1)}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}\cdot {\displaystyle \frac{-\sin h}{\cos h+1}}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}\cdot \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{-\sin h}{\cos h+1}}\\ =& 1\cdot 0=0\end{array}$$

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$\tan x$ 의 도함수

${\displaystyle \frac{d}{dx}}(\tan x)={\sec }^{2}x$

 

증명

$f(x)=\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$ 라 하고 몫의 미분법을 적용하면

 

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)=& {\displaystyle \frac{[{\displaystyle \frac{d}{dx}}\sin x]\cos x-\sin x[{\displaystyle \frac{d}{dx}}\cos x]}{{\cos }^{2}x}}\\ =& {\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}\\ =& {\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}\\ =& {\sec }^{2}x\end{array}$$

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나머지 $\sec x,\csc x,\cot x$ 의 도함수 증명은 $\tan x$ 의 도함수를 구하듯 몫의 미분으로 구할 수 있다.

 

 

 

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