9. 음함수의 미분법 (Implicit Differentiation)

이전까지는 일반적인 $y = f(x)$ 의 꼴로 표현되는 함수들의 미분에 대해 알아보았다.

이런 형태의 함수를 양함수 (Explicit function) 이라 부른다.

한편 다음과 같은 식에 대해서도 미분계수가 궁금할 수 있다.
$$x^2 + y^2 = 9$$

이 방정식은 반지름이 $3$인 원의 방정식으로

하나의 $x$ 값에 두 개의 $y$ 값이 대응되는 점들이 있으므로 함수가 아니다.
하지만 원의 방정식에도 분명 접선이 존재할것이고 이들의 기울기를 구하는 방법이 있을것으로 보인다.

 

위의 원의 방정식 처럼 $f(x, y) = 0$ 의 꼴로 표현되는 함수를 음함수 (Implicit Function) 라고 부른다.

음함수는 식의 정리를 통해 하나의 양함수로 풀 수 있는 경우도 있고

둘 이상의 양함수로 풀 수 있는 경우도 있다. 
예시의 원의 방정식의 경우에는 $y = \pm \sqrt{9 - x^{2}}$ 으로 다음 그림과 같이 두 개의 함수로 표현된다.

 

 

 

음함수에서는 음함수 미분법이라는 방법으로 미분을 적용할 수 있다.

방법은 양변을 $x$ 에 대해 미분하고, 나온 방정식을 $y'$ 에 대해 푸는것이다.

 

참고로 음함수를 미분 가능한지에 대한 것부터 먼저 살펴봐야 하나,

이는 수학의 한 분야인 해석학을 다변수 해석까지 공부해야 보일 수 있는 내용이라 하고

증명보다는 사용법을 익히는 것이 더 중요하다고 하므로 생략한다.
필자도 이런 식의 엄밀하지 못한 서술을 하고 넘어가는 심정이 매우 참담하나

이 챕터에 한해서는 넘어가도록 하자.

 

다음 예제들은 모두 스튜어트 미분적분학 8판에 수록되어 있는 예제이다.

다만 설명을 책보다 자세히 썼으므로 책으로 이해 안되는 부분이 있다면 참고하면 좋다.

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예제 $1$

음함수 $x^2 + y^2 = 25$ 에서 $\dfrac{dy}{dx}$ 를 구하라.

풀이

$1. $ 양변을 $x$ 에 대해 미분한다.
$$ \begin{align} \dfrac{d}{dx} [x^{2} + y^{2}] &= \dfrac{d}{dx}[25] \\ 2x + \dfrac{d}{dx}[y^{2}] &= 0 \tag{1} \end{align} $$

이제 $\dfrac{d}{dx}[y^{2}]$ 를 구하기 위해 $y$ 를 $x$ 에 대한 함수로 가정하고 연쇄법칙을 적용해보자.

$$\dfrac{d}{dx}[y^{2}] = \left[ \dfrac{d}{dy}y^{2} \right] \cdot \dfrac{dy}{dx} = [2y] \cdot \dfrac{dy}{dx}$$

( $g(y) = y^{2}$ 과 $y = h(x)$ 라는 함수가 있고 이들의 합성함수인 $g(h(x))$ 가 있다고 하면
이 합성함수의 미분은 연쇄법칙에 의해 $\dfrac{dg}{dy} \cdot \dfrac{dy}{dx}$ 였음을 떠올려보라. )

 

이제 이 결과를 $(1)$ 에 대입하면 다음을 얻는다.
$$2x + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$$

 

$2. $ $y'$ 에 대해 정리한다.

이 식을 $\dfrac{dy}{dx}$ 에 대해 정리하면 다음을 얻는다.

$$ \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y} $$

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예제 $2$

$\sin{(x+y)} = y^{2}\cos{x}$ 일 때 $y'$ 를 구하라.

풀이

$1. $ 양변을 $x$ 에 대해 미분한다.

$$\dfrac{d}{dx}[\sin{(x+y)}] = \dfrac{d}{dx} [y^{2}\cos{x}]$$

우선 좌변의 $\dfrac{d}{dx}[\sin{(x+y)}]$ 를 보자.

$y$ 를 $x$ 에 대한 함수로 본다면 $y(x)$ 꼴로 생각할 수 있고 $\sin{(x+y(x))}$ 로 생각할 수 있다.
그리고 $h(x) = x + y(x)$ , $g(h) = \sin(h)$ 라고 하면 $\sin{(x + y)} = g(h(x))$ 라고 볼 수 있을 것이다. 

이제 이 합성함수에 대해 연쇄법칙을 적용하면 다음과 같다.

$$ \begin{align} \dfrac{dg}{dx} &= \dfrac{dg}{dh} \cdot \dfrac{dh}{dx} \\ &= [\cos{h}] \cdot [1 + y'(x)] \\ &= [\cos{(x + y(x))}] \cdot [1 + y'(x)] \\ &= \cos{(x + y)} \cdot (1 + y') \end{align} $$

 

우변의 $\dfrac{d}{dx}[y^{2}\cos{x}]$ 에 대해서도 비슷한 방법으로 미분한다.

역시 $y$ 를 $x$ 에 대한 함수로 본다면 $y(x)$ 꼴로 표현될 수 있을것이다.

그러면 $[y(x)]^{2} \cdot \cos{x}$ 의 꼴이고 이에 곱의 미분을 적용하면 다음을 얻는다.
$$ \begin{align} &\dfrac{d}{dx}[y(x)]^{2} \cdot \cos{x} + [y(x)]^{2} \cdot (-\sin{x}) \\ = &2y(x)y'(x) \cdot \cos{x} + [y(x)]^{2} \cdot (-\sin{x}) \\ = &2yy'\cos{x} - y^{2}\sin{x} \end{align} $$

여기서 $\dfrac{d}{dx}[y(x)]^{2}$ 는 $g(y) = y^{2}$ 와 $y(x)$ 의 합성함수 꼴이라고 볼 수 있으므로 연쇄법칙을 적용했다.

 

따라서 

$$ \begin{align} \dfrac{d}{dx}[\sin{(x+y)}] &= \dfrac{d}{dx} [y^{2}\cos{x}] \\ \Longleftrightarrow \cos{(x + y)} \cdot (1 + y') &= 2yy'\cos{x} - y^{2}\sin{x} \end{align} $$

 

$2. $ $y'$ 에 대해 정리한다.

$$\cos{(x + y)} \cdot (1 + y') = 2yy'\cos{x} - y^{2}\sin{x}$$

에서 $y'$ 에 관한 식을 모두 우변으로 이동시키면 다음을 얻는다.

$$ \cos{(x + y)} + y^{2}\sin{x} = (2y\cos{x})y' - \cos{(x+y)} \cdot y' $$

 

따라서 다음을 얻는다.

$$ y' = \dfrac{y^{2}\sin{x} + \cos{(x+y)}}{2y\cos{x} - \cos{(x+y)}} $$

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두 가지 예제와 풀이를 보였는데,

이해 안될 수 있을법한 부분을 생략없이 자세히 적었기 때문에 복잡해보일 수 있다.
하지만 핵심만 따지고 보면 그렇게 복잡하지는 않다.

$1. $ 모든 것을 $x$ 에 대해 미분한다.

이 때 $y$ 는 $x$ 에 대한 함수로 취급하고 $y$ 로 이루어진 식은 연쇄법칙을 적용한다.

 

$2. $ $y'$ 에 대해 정리한다.

 

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다음 예제는 음함수로 정의된 함수의 2계도함수를 구하는 방법을 보여준다.

 

예제 3

$x^4 + y^4 = 16$ 일 때 $y''$ 를 구하라.

풀이

$y'' = \dfrac{d}{dx}y'$ 이므로 우선 $y'$ 부터 구해보자.

식에 음함수 미분을 적용하면 다음과 같다.
$$ 4x^3 + 4y^3y' = 0 $$

$y'$ 에 대해 정리하면 다음을 얻는다.

$$ y' = -\dfrac{x^3}{y^3} $$

 

따라서

$$ y'' = \dfrac{d}{dx}\left[ -\dfrac{x^3}{y^3} \right] $$

$y$ 를 $x$ 에 대한 함수로 본다면 몫의 미분을 적용할 수 있다.

$$ \begin{align} y'' &= -\dfrac{ \left[\dfrac{d}{dx}x^3 \right] \cdot y^{3} - x^3 \cdot \left[ \dfrac{d}{dx} y^3 \right] }{(y^3)^2} \\ &= -\dfrac{3x^{2} y^{3} - 3x^{3} y^{2} y' }{y^6} \end{align} $$

 

여기에 위에서 구한 $y'$ 를 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.

$$ y'' = -\dfrac{3x^{2} (x^4 + y^4) }{y^7} $$

 

한편 $x^4 + y^4 = 16$ 을 만족하므로 이 식을 대입한다면 다음과 같이 좀 더 간단한 꼴로 만들 수 있다.

$$ y'' = -\dfrac{3x^2 \cdot 16}{y^7} = -48\dfrac{x^2}{y^7} $$

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