10. 선형근사 (Linear Approximation)

과학이나 공학에서는 때때로 정확한 값 보다는 적은 노력으로 꽤 근접한 유사값을 찾아낼 수 있다면
그것을 높이 평가하기도 한다.

 

쉬운 예로

$y = \sin{x}$ 가 $x=0$ 에서 $\sin{0} = 0$ 임은 알지만 
$\sin{(0.2)}$ 가 무엇인지 알고자 한다면 이는 쉽지 않다.

한참 나중에 소개하게 될 $\sin{x}$ 의 테일러 전개에 의해

$$\sin{x} = x - \dfrac{1}{3!}x^{3} + \dfrac{1}{5!}x^5 - \dfrac{1}{7!}x^7 + \cdots $$

로 표현되는 식에 $0.2$ 를 대입하여 한없이 긴 계산을 해야할 것이다.

 

하지만 선형근사라는 방법을 이용하면 복잡한 계산없이 간단하게 근삿값을 구할 수 있게 된다.

핵심 아이디어는 아래 그림과 같이 $x=0$ 에서의 $\sin{x}$ 의 접선인 $y=x$ 의 값들이

$x=0$ 주변 에서의 $\sin{x}$ 의 값들과 거의 차이나지 않는다는 점을 이용하는 것이다.

 

 

따라서 $\sin{x} \approx x$ 라고 할 수 있을 것이고 $x = 0.2$ 를 대입하면 $\sin{(0.2)} \approx 0.2$ 을 얻는다.

$\approx$ 는 이 기호 왼쪽과 오른쪽의 값이 유사하다는 의미의 기호이다.

실제로 유용한 계산 도구인 WolframAlpha(클릭) 를 이용해보면 $\sin{(0.2)} = 0.198699...$ 로 $0.2$ 와 거의 같다는 것을 알 수 있다.

 

 

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일반적으로 미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대해

이 함수의 $x = a$ 에서의 접선인 $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ 의 $x=a$ 근처의 값들은

원래 함수 $y = f(x)$ 의 $x = a$ 근처의 값과 유사하다.

 

즉 식으로 표현하면 다음과 같고

$$ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) $$

다음과 같이 적을 수 있는 $x=a$ 에서의 접선의 함수인 $L(x)$ 를 $x=a$ 에서의 $f(x)$ 의 선형화 라고 부른다.

$$ L(x) = f(a) + f'(a)(x-a) $$

선형화가 새로운 개념이라서 외워야 하거나 그런건 아니고

단순히 $x = a$ 에서 $f$ 의 접선함수가 그냥 선형화랑 같은 것이므로 전혀 어려운 개념이 아니다.

 

 

 

예제1

선형화를 이용해 $\sqrt{4.2}$ 가 얼마인지 추정해보자.

우선 적절한 함수부터 정해야 한다. $y = \sqrt{x}$ 면 될 것 같다.

그리고 $4.2$ 랑 가까운 $x$ 값 중 $\sqrt{x}$ 를 쉽게 구할 수 있는 점을 찾아야 한다.

$\sqrt{4} = 2$ 임을 알고 있으므로 $x = 4$ 에서의 $\sqrt{x}$ 의 선형화를 이용하면 될 것 같다.

 

$f(x) = \sqrt{x}$ 라 하면 $f$ 의 $x = 4$ 에서의 선형화는 다음과 같다.

$$\begin{align} L(x) &= f(4) + f'(4)(x-4) \\ &= 2 + \dfrac{1}{4} (x-4) \\ &= \dfrac{1}{4}x + 1 \end{align}$$

 

$L(4.2) = \dfrac{1}{4}\cdot 4.2 + 1 = 2.05$ 이므로 $\sqrt{4.2} \approx 2.05$ 라고 할 수 있다.

Wolfram Alpha(클릭) 을 이용해 구해보면 $\sqrt{4.2} = 2.04939...$ 로 꽤나 근접하게 구했음을 알 수 있다.

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위의 예제1 에서 구한 선형화함수 $L(x)$ 로 $x = 4.2$ 보다 $4$ 에서 더 멀리 떨어진 점에 대해 값을 추정하면 어떻게 될까?

다음을 살펴보자.

 

$$ \begin{matrix} L(3) = 1.75 & \text{실제 값} \sqrt{3} = 1.732... & \text{오차} \approx \textcolor{red}{0.018} \\ L(3.5) = 1.875 & \text{실제 값} \sqrt{3.5} = 1.870... & \text{오차} \approx \textcolor{red}{0.005} \\ L(4) = 2 & \text{실제 값} \sqrt{4} = 2 & \text{오차} = \textcolor{skyblue}{0} \\ L(4.5) = 2.125 & \text{실제 값} \sqrt{4.5} = 2.121.. & \text{오차} \approx \textcolor{red}{0.004} \\ L(5) = 2.250 & \text{실제 값} \sqrt{5} = 2.236... & \text{오차} \approx \textcolor{red}{0.014} \\ L(5.5) = 2.375 & \text{실제 값} \sqrt{5.5} = 2.345... & \text{오차} \approx \textcolor{red}{0.030} \end{matrix} $$

 

$x= 4$ 에서의 선형화는 $x=4$에서 멀리 떨어진 점에 대해 추정할수록 오차값이 더욱 커짐을 알 수 있다.

일반적으로 $x=a$ 에서의 선형화는 $x = a$ 근처로 갈수록 점점 정확한 값을 얻는다. 
따라서 선형화를 통해 계산을 할 때는 원하는 오차범위 안에 들도록 $x=a$ 를 잘 설정할 필요가 있다.

 

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선형근사 식은 미분의 기호들을 이용하면 간단히 표현될 수 있다.

미분가능한 함수 $f$ 에 대해 어떤 점 $x$ 에서의 접선의 기울기는 $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$ 로 표현된다는 것을 살펴보았었다.

직관적인 해석은 $x$ 근처에서 $x$ 의 변화에 대한 $y$ 변화의 비율이 $f'(x)$ 라는 어떤 값인 것이다.

 

따라서 이 변화비율인 $f'(x)$ 에 $x$ 가 변한 정도인 $dx = \Delta x$ 를 곱해준다면 

$y$ 가 변한정도인 $dy$ 를 얻을 수 있을 것이다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

$$ dy = f'(x) dx$$

$x$ 가 고정되어 있으면 $f'(x)$ 는 상수이고 종속변수 $dy$ 는 독립변수 $dx$ 에 관한 식이 되는 것이다. 

 

아래 그림을 보며 이것의 기하학적 의미를 생각해보자.

$\Delta y$ 는 실제로 함수값이 변한 정도이다. $dy$ 는 선형화의 변화량을 나타낸다. 선형근사에서 보인것과 같이 $dx = \Delta x$ 가 작을수록 실제 변화량 $\Delta y$ 랑 $dy$ 의 차이는 작아진다.

 

이것이 어떻게 이용될 수 있을까?

위의 그림에서 예를 들자. 쉽게 함숫값을 알 수 있는 점 $x$에 대해 (변수가 아니라 고정된 값이라고 가정한다.)

$x + \Delta x$ 일 때의 함숫값 $f(x + \Delta x)$ 의 추측값이 궁금하다면

계산하기 어려운 $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ 를 계산하는것이 아닌 $dy = f'(x) dx$ 를 이용하는 것이다. 

$dy$ 로도 꽤 유사한 값을 얻어낼 수 있으므로 이제 여기에 (쉽게 함숫값을 알 수 있었던) $f(x)$ 를 더해주면 

원하는 함숫값 $f(x + \Delta x)$ $\approx$ $f(x) + dy = f(x) + f'(x)dx$ 를 계산할 수 있을 것이다.

 

 

이제 5번 포스트부터 이어진 내용인 [미분, 도함수, 연쇄법칙, 선형근사] 에 관한 연습문제를 풀어보자.

연습문제 링크 : 바로가기

다음 포스트부터는 미분의 활용에 관한 내용을 다룬다.

 

 

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