16. 역도함수(Antiderivative)

 

고등학교 미적분학을 공부했다면 이번 글에서 소개하는 내용이 어쩌면 쓸 데 없다고 느껴질 수도 있다.

미분-적분이 역연산 관계라는 것을 알고 각종 적분 공식들을 기계적으로 암기해왔기 때문에

역도함수를 보고 "그냥 적분으로 바로 넘어가면 될 것이지 왜 굳이 챕터를 나눠서 설명한담?"

이라고 생각할 것이기 때문이다.

 

하지만 대학 과정의 수학을 공부하기로 마음 먹었다면,

수학을 기계적으로 시험 문제풀기 위한 용도라는 느낌을 던져버리고

수학이라는 거대한 논리 체계를 천천히 쌓아 올린다는 생각으로 임해야 한다.

 

이전 글까지 미분에 관련된 내용만 설명했지 적분이라는 단어는 아직 언급한적도 없고,

미분과 적분이 연결된 개념이라는 말도 전혀 한 적이 없다.

무(無)에서 쌓아 올린다는 느낌으로 이번 챕터는 적분이라는 존재를 전혀 모른다고 생각하고 공부하자.

 

 

 

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역도함수(Anti-derivative)를 다음과 같이 정의한다.

역도함수의 정의

함수 $F$ 가 또다른 함수 $f$ 에 대해 어떤 구간 $I$ 에서 $F^{\prime }(x)=f(x)$ 를 만족한다면
$F$ 는 $I$ 에서 $f$ 의 역도함수(Antiderivative)라고 정의한다.

 

예를 들어서, $f(x)=x^2$ 라고 하자. $f$ 의 역도함수는 무엇일까?

다시 말해, $F^{\prime }(x)=f(x)=x^2$ 를 만족하는 $F(x)$ 가 무엇일까?

 

다시 강조하지만, 적분과 적분 공식을 전혀 모른다고 생각하고 글을 읽자.

여러 시도 끝에 $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3$ 이면 $F^{\prime }(x)=x^2$ 가 됨을 알 수 있었다.

따라서 $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3$ 는 $f(x)=x^2$ 의 역도함수이다.

 

어라 그런데 $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3+7$ 도 역시 미분하면 $x^2$ 가 되므로

$f(x)=x^2$ 의 역도함수가 될 수 있다는 것을 알 수 있다.

뿐만 아니라 임의의 상수 $C$ 에 대해서 $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3+C$ 역시 미분하면 $x^2$ 가 되므로

$f(x)=x^2$ 의 역도함수이다.

이처럼 상수 $C$ 에 따라서 역도함수는 무한히 많다는 것을 알 수 있다.

 

 

 

그렇다면 다른 꼴의 역도함수도 존재할까?

예를 들어서, $F(x)={\log }_5\left[{\displaystyle \frac{e^{36x^3}\sin (-2x)}{\pi \cos (9999x)}}\right]$ 같은 이상한 식을 미분했더니 $x^2$ 가 나올 수도 있지 않냐는 것이다. (이 경우 아니긴 하지만 말이다.)

하지만 다행히도 그렇지 않고 역도함수는 상수항 $C$ 를 제외하고는 꼴이 유일하다는 것을 증명할 수 있다.

 

이 글에서 $f^{\prime }(x)=0$ 이면 $f(x)=C$ 임을 평균값 정리를 이용해 증명한 바 있다.

($f(x)=C$ 이면 $f^{\prime }(x)=0$ 임을 증명하는 것은 그냥 미분계수의 정의를 이용하면 간단히 나오지만,

이 명제의 역인 $f^{\prime }(x)=0$ 이면 $f(x)=C$ 이다는 당연히 참인 것이 아니고 따로 증명이 필요한 것이다.

순서를 잘못 보고 헷갈려서 당연한걸 왜 증명해? 라고 생각하지 않아야 한다.)

그리고 이 식의 $f$ 자리에 $F(x)-G(x)$ 를 넣으면 

$F^{\prime }(x)=G^{\prime }(x)$ 이면 $F(x)=G(x)+C$ 이다를 따름 정리로 증명할 수 있다는 것도 언급한 바가 있다.

 

이 명제를 말로 풀어 해석하자면,

도함수가 같은 함수들은 서로 상수 만큼만 차이가 난다는 의미이고

따라서 어떤 함수의 역도함수들은 서로 상수 만큼만 차이가 난다는 뜻이다.

즉, 위에서 언급한 것 처럼 이상한 꼴의 역도함수가 존재할 가능성이 없다는 얘기이다.

 

잘 이해가 안되는 사람을 위해 추가 설명을 하자면

$F(x)=\frac{1}{3}{x}^3$ 가 $f(x)=x^2$ 의 역도함수임은 위에서 보인 바가 있다.

즉 $F^{\prime }(x)=x^2$ 이라는 말이다.

그런데 또다른 함수 $G$ 가 존재해서 $G^{\prime }(x)=x^2$ 이면 $G$ 또한 $f(x)=x^2$ 의 역도함수라는 말이다.

이 경우 명제를 이용하면 $F^{\prime }(x)=G^{\prime }(x)$ 이므로 $G(x)$ 는 $F(x)$ 에 어떤 상수를 더한것에 불과하다는 말이다.

즉, 또다른 임의의 역도함수 $G$ 는 $F$ 에 상수를 더하는 것 외에 이상한 꼴을 가질 수 없다는 말이다.

 

 

따라서 다음과 같은 정리를 세울 수 있다.

 

역도함수의 일반 꼴

만약 $F$ 가 어떤 구간 $I$ 에서 $f$ 의 역도함수라면
임의의 상수 $C$ 에 대해 $f$ 의 구간 $I$ 에서의 일반적인 역도함수 꼴은 다음과 같다.
$$F(x)+C$$

 

예제 1

다음 함수들의 역도함수의 일반적인 형태를 각각 구하라.
1. $f(x)=\sin x$
2. $f(x)=x^4$
3. $f(x)=x^{-3}$

1. 미분공식에 따르면 $-\cos x$ 를 미분하면 $\sin x$ 가 됨을 알 수 있다.

따라서 $\sin x$ 의 역도함수는 $-\cos x$ 에 임의의 상수 $C$ 를 더한 $-\cos x+C$ 이다.

이는 일반적인 형태이고, 다시 말해 $\sin x$ 의 가능한 모든 역도함수들은

$C$ 에 어떤 값을 대입함으로써 얻을 수 있다는 말이다.

 

 

 

2. $x^5$ 를 미분하면 $5x^4$ 이므로 ${\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^5$ 를 미분하면 $x^4$ 가 됨을 알 수 있다.

따라서 $x^4$ 의 역도함수는 ${\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^5+C$ 이다.

 

 

 

3. $x^{-3}$ 는 ${\displaystyle \frac{1}{x^3}}$ 이므로 주의할 점이 있다.

$x=0$ 에서 정의가 되지 않고, 이 함수는 구간이 $x>0$ 일 때랑 $x<0$ 일 때로 나뉘기 때문에

역도함수 역시 두 구간으로 나눠서 구해야 한다.

 

$x>0$ 인 경우

$x^{-2}$ 를 미분하면 $-2x^{-3}$ 이므로 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-2}$ 를 미분하면 $x^{-3}$ 이 됨을 알 수 있다.

따라서 $x^{-3}$ 의 $x>0$ 에서의 역도함수는 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-2}+C_1$ 이다.

 

$x<0$ 인 경우

$x<0$ 일 때 역시 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-2}$ 를 미분하면 $x^{-3}$ 이므로

$x^{-3}$ 의 $x<0$ 에서의 역도함수는 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-2}+C_2$ 이다.

 

따라서 역도함수의 일반적인 형태는 다음과 같다.

$$F(x)=\{\begin{array}{l}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-2}+C_1,(x>0)\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-2}+C_2,(x<0)\end{array}$$

(어차피 형태가 같은데 $C_1,C_2$ 로 나누지 말고 그냥 묶어서 $C$ 로 표현하면 안되냐고 생각할 수 있는데,

만약 묶어서 표현한다면, $x>0$ 일 때와 $x<0$ 일 때의 역도함수가 완전히 일치하게 되고

이렇게 표현하면 일반적인 형태로 표현한 것이 아니게 된다.

왜냐하면 양수인 구간, 음수인 구간에서 독립적으로 상수 $C_1,C_2$ 가 정해졌는데,

운이 좋아서 둘이 같게 되는 경우도 있겠지만 대부분의 경우엔 둘이 다르기 때문이다.)

 

 

예제 2

임의의 상수 $K$ 에 대해 $f^{″}(x)=K$ 를 만족하는 $f(x)$ 는
함수의 형태가 다음과 같은 경우 이외에는 존재하지 않다는 것을 증명하여라.
$$f(x)=A{x}^2+Bx+C$$

틀린 풀이 : 

$f(x)=A{x}^2+Bx+C$ 를 미분하면 $2Ax+B$ 이고,

이를 다시 미분하면 $2A$ 가 된다. $2A=K$ 라고 하면 증명된다.

 

이 풀이는 틀렸다. 왜냐하면 $f(x)=A{x}^2+Bx+C$ 의 꼴인 경우에는 $f^{″}(x)=K$ 를 만족함을 보였지만

$f(x)$ 가 다른 형태의 꼴일 때 역시 $f^{″}(x)=K$ 가 될 수 있는 가능성이 전혀 없다는 것을 보이지 않았기 때문이다.

 

옳은 풀이 : 

$f^{″}(x)$ 의 역도함수는 $f^{\prime }$ 로 표현할 수 있다.

왜냐하면 $[f^{\prime }{]}^{\prime }=f^{″}$ 이기 때문에 역도함수의 정의를 만족하기 때문이다.

한편 $f^{\prime }(x)=Kx$ 라고 설정하면 $f^{″}=K$ 이므로

$f^{″}$ 의 일반적인 역도함수 $f^{\prime }$ 는 상수를 더해 $f^{\prime }(x)=Kx+L$ 라고 할 수 있다.

(사실 '증명' 문제이기 때문에 본문에서 언급한 것 처럼 평균값 정리를 이용해

$f^{″}=K$ 이면 $f^{\prime }=Kx+L$ 꼴이 유일하다는 것을 보여야 하지만 본문에서 언급했으므로 생략한다)

 

마찬가지로 $f$ 는 $f^{\prime }$ 의 역도함수이다.

한편 $f(x)={\displaystyle \frac{K}{2}}{x}^2+Lx$ 라고 하면 $f^{\prime }(x)=Kx+L$ 이므로

$f^{\prime }$ 의 일반적인 역도함수 $f$ 는 또 다른 상수를 더해 $f(x)={\displaystyle \frac{K}{2}}{x}^2+Lx+M$ 이라고 할 수 있다.

 

여기서 $A={\displaystyle \frac{K}{2}}$, $B=L$, $C=M$ 이라고 정의하면

$f^{″}(x)=K$ 를 만족하게 하는 가능한 모든 경우의 $f(x)$ 는

$$f(x)=A{x}^2+Bx+C$$

임이 증명된다.

 

 

 

참고로 미분방정식을 공부했다면,

$f^{″}=K$ 를 2계 선형 비동차 미분방정식으로 볼 수 있고 Characteristic equation 이 $r^2=0$ 이므로

Complementary solution 은 $\varphi (x)=c_1{e}^{0x}+c_{2}x{e}^{0x}=c_1+c_{2}x$ 이고

Particular solution 은 $X(x)=c_3{x}^3$ 로 구해져서

이 둘을 더하여 일반 해(General solution)을 다음과 같이 구할 수 있음을 알 수 있다.

$$f(x)=c_3{x}^2+c_{2}x+c_1$$

$c_3,c_2,c_1$ 을 각각 $A,B,C$ 로 바꾸면 위와 같은 결과임을 알 수 있다.

추후에 미분방정식을 공부하게 될 때 돌아와서 이 풀이를 다시 보면 좋다.