14. 점근선 (Asymptote)

무한히 뻗는 곡선에서 어떠한 직선과의 거리가 0으로 수렴해간다면

이 때의 직선을 점근선이라고 한다.

어떠한 함수의 곡선이 점근선을 가지는지 여부도 그 곡선의 특징을 나타내는 요소라고 할 수 있으므로

곡선을 그릴 때 점근선을 파악해야한다.

 

스튜어트 미분적분학에서는 다음 세 종류의 점근선을 다룬다.

수평점근선, 수직점근선, 경사점근선

이들을 각각 알아보자.

 

 

---

수평점근선

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = L$ 이거나 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ 이면 
직선 $y = L$ 을 $f(x)$ 의 수평점근선(Horizontal asymptote)라 한다.

 

예시 1

$$y = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$$

위의 곡선은 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = 1$ 이므로 $y = 1$ 을 수평점근선으로 갖는다. (양의 무한대)

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = 1$ 이므로 역시 $y = 1$ 을 수평점근선으로 갖는다. (음의 무한대)

이는 위에서 구한 수평점근선이랑 같다.

 

 

 

예시 2

$$y = \dfrac{5\sin{x}}{x} - 3$$

위의 곡선은 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{5 \sin{x} }{x} - 3 = -3$ 이므로 $y = -3$ 을 수평점근선으로 갖는다. (양의 무한대)

음의 무한대에서도 같은 수평점근선을 갖는다.

---

 

 

 

 

수직점근선

다음 중 적어도 하나를 만족하면 직선 $x = a$ 는 수직점근선이다.
$$ \begin{align} &\lim_{x \to a^{+}} f(x) = \infty &\lim_{x \to a^{-}} f(x) = \infty \\ &\lim_{x \to a^{+}} f(x) = -\infty &\lim_{x \to a^{-}} f(x) = -\infty \end{align}$$

예시 1

$$ y = \dfrac{2x^2}{x^2 - 1} $$

위의 곡선을 $f(x)$ 라 하면

$\displaystyle \lim_{x \to -1^{-}} f(x) = \infty$ 이고 $\displaystyle \lim_{x \to 11^{+}} f(x) = \infty$ 이므로

$x = -1$, $x = 1$ 은 수직점근선이다.

---

 

 

 

 

경사점근선

다음중 하나를 만족하면 $y = mx + b$ 는 경사점근선이다.
$$ \lim_{x \to \infty} f(x) - (mx + b) = 0 $$, $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) - (mx + b) = 0 $$

경사점근선을 찾는 것은 수평, 수직점근선을 찾는 것에 비해 어렵다.

따라서 특수한 경우가 아니면 경사점근선을 찾아야하는 문제는 잘 나오지 않는다.

유리함수의 경우에는 분자의 차수가 분모의 차수보다 하나 더 클 때 경사점근선이 존재한다.

 

예시 1

$$ y = \dfrac{x^3}{x^2 + 1} $$

위 곡선을 $f(x)$ 라 하면 $f(x)$ 를 직접 나눗셈하여 $f(x) = x - \dfrac{x}{x^2 + 1}$ 을 얻는다.

따라서 $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) - x = 0 $ 이고 $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) - x = 0 $ 이므로

$y = x$ 는 경사점근선이다.