롤의 정리 (Rolle's Theorem)
함수 $f$ 가 다음 세 가지 조건을 만족하면 $f'(c) = 0$ 인 수 $c$ 가 $(a, b)$ 에 존재한다.
1. $f$ 는 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이다.
2. $f$ 는 개구간 $(a, b)$ 에서 미분가능하다.
3. $f(a) = f(b)$
증명
세 가지 경우가 있다.
1. $f(x) = k$, ($k$는 상수)
2. $x \in (a, b)$ 인 어떤 $x$ 에서 $f(x) > f(a)$ 인 경우
3. $x \in (a, b)$ 인 어떤 $x$ 에서 $f(x) < f(a)$ 인 경우
1번의 경우에는 $f'(x) = 0$ 이므로 $c$ 는 구간 $(a, b)$ 의 아무 점을 택하여도 성립한다.
2번의 경우에는 함수가 폐구간에서 연속이므로 극값정리에 의해 $[a, b]$ 에서 항상 최댓값을 갖는다.
하지만 구간의 양 끝 $f(a) = f(b)$ 보다 더 큰 값을 갖게 하는 점 $x$ 가 존재한다고 했으므로
이러한 조건을 만족하는 $x$ 값들 중 하나인 어떤 점 $x = c$ 에서 최댓값을 가져야 한다.
그러면 이 점은 극대이고 조건2에 의해 미분가능하므로 $f'(c)$ 가 존재한다.
따라서 페르마 정리에 의해 $f'(c) = 0$ 이다.
3번의 경우도 2번과 비슷하다.
폐구간에서 연속이므로 $[a, b]$ 에서 최솟값을 가져야 하는데
구간의 양 끝 보다 $x \in (a, b)$ 를 만족하는 어떠한 점 $x$ 에서 함숫값이 더 작으므로
이러한 조건을 만족하는 $x$ 값 중 하나인 $x = c$ 에서 최솟값을 가져야 한다.
그러면 이 점은 극소이고 조건2에 의해 미분가능하므로 $f'(c)$ 가 존재한다.
따라서 페르마 정리에 의해 $f'(c) = 0$ 이다.
이 정리를 이용할 수 있는 예제를 살펴보자
예제 1
아래방향의 중력이 작용할 때, 시간 $t = 0 (s)$ 일 때 높이 $h (m)$ 에서 쏘아올렸더니
$t = t_{e} (s)$ 일 때 높이 $h (m)$ 지점을 다시 지나갔다.
이 물체의 속도가 $0 (m/s)$ 가 되는 때가 $0$ 초와 $t_{e}$ 초 사이에 있음을 증명하라.
풀이
초기속도를 $v_{0} (m/s)$, 중력가속도를 $g (m/s^{2})$ 라고 가정하면
물체의 운동방정식을 다음과 같이 기술할 수 있다.
$$ y(t) - h = v_{0}t - \dfrac{1}{2}gt^{2} $$
이를 정리하면 다음과 같은 함수 $y(t)$ 를 얻는다.
$$ y(t) = h + v_{0}t - \dfrac{1}{2}gt^{2} $$
이 식은 $t$ 에 관한 이차 다항함수이므로 실수 전체에서 연속이고 미분 가능하다.
따라서 $[0, t_{e}]$ 에서 연속이고 $(0, t_{e})$ 에서 미분가능하다.
그리고 문제 조건에 의해 $y(0) = h$, $y(t_{e}) = h$ 이다.
따라서 롤의 정리에 의해 $y'(c) = 0$ 가 되는 $c$ 가 구간 $(0, t_{e})$ 에 존재한다.
예제 2
방정식 $x^3 + x - 1 = 0$ 이 단 한 개의 실근을 가짐을 증명하라.
풀이
1. 근이 존재함을 보이기
실근이 존재함을 보이기 위해 중간값 정리를 이용할 것이다.
이를 위해서 함숫값이 $0$ 보다 큰 경우와 작은 경우를 찾아야 한다.
$f(x) = x^3 + x - 1$ 이라 하면 $f(0) = -1$ 이고 $f(1) = 1$ 이다.
그리고 함수는 다항함수이므로 실수 전체에서 연속이다.
따라서 중간값 정리에 의해 $f(c) = 0$ 을 만족하는 수 $c \in (0, 1)$ 이 존재한다.
따라서 적어도 하나 이상의 실근을 가진다.
2. 실근이 두 개 이상 존재하지 않음을 보이기
이번에는 롤의 정리를 이용할 것이다.
만약 $f$ 가 서로 다른 두 개의 실근 $a, b$ 를 갖는다면 $f(a) = f(b) = 0$ 을 만족할 것이고
$f$ 는 다항함수이므로 실수 전체에서 연속이고 미분가능하다.
따라서 롤의 정리에 의해 $f'(c) = 0$ 을 만족하는 $c \in (a, b)$ 가 존재해야 한다.
하지만 $f'(x) = 3x^2 + 1$ $\geq 1$ 이므로 $f'(c) = 0$ 을 만족하는 $c$ 가 존재함은 모순이다.
따라서 가정했던 서로다른 두 개의 실근을 가진다 명제는 모순이고
최대 하나의 실근을 갖는다.
1과 2에 의해 방정식은 단 한 개의 실근만 갖는다는것이 증명된다.
평균값 정리 (Mean Value Theorem)
함수 $f$ 가 다음 조건들을 만족한다고 하자.
1. $f$ 는 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이다
2. $f$ 는 개구간 $(a, b)$ 에서 미분가능하다.
그러면 다음을 만족하는 수 $c \in (a, b)$ 가 존재한다.
$$ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} $$
증명
함수 $f$ 에 구간의 양 끝 점을 잇는 선분함수 $g$ 를 뺀
새로운 함수 $h$에 대해 롤의 정리를 적용하여 증명한다.
두 점 $(a, f(a)), (b, f(b))$ 를 지나는 선분함수 $g(x)$ 는 다음과 같다.
$$ g(x) = f(a) + \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a) $$
따라서 $h(x)$ 는 다음과 같다.
$$ \begin{align} h(x) = &f(x) - g(x) \\ &f(x) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a) \tag{1} \end{align} $$
1. $h(x)$ 는 $[a, b]$ 에서 연속인 함수 $f$ 와 실수 전체에서 연속인 다항함수의 합이므로
$h$ 는 $[a, b]$ 에서 연속이다.
2. $h(x)$ 는 $(a, b)$ 에서 미분가능한 함수 $f$ 와 실수 전체에서 미분가능한 다항함수의 합이므로
$h$ 는 $(a, b)$ 에서 미분가능하다.
3. $h(x)$ 에 $a, b$ 를 각각 대입해보면 $h(a) = 0$, $h(b) = 0$ 이므로 $h(a) = h(b)$ 임을 알 수 있다.
따라서 롤의 정리에 의해 $h'(c) = 0$ 을 만족하는 $c \in (a, b)$ 가 존재한다.
$(1)$ 에서 구한 $h$ 를 미분해보면 다음을 얻는다
$$ h'(x) = f'(x) -\dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} $$
따라서 롤의 정리의 결과는 다음과 같다
$$ \begin{align} &h'(c) = f'(c) - \dfrac{f(b) - f(a) }{b - a} = 0 \\ \Longrightarrow &f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} \end{align}$$
평균값 정리의 기하학적 의미는 다음 그림과 같이 구간 내에서 연속이고 미분가능한 함수가 있을 때
구간 내의 어떤 점의 미분계수가 양 끝점을 잇는 선분의 기울기와 같게 되는 점이 존재한다는 것이다.
평균값 정리는 롤의 정리의 좀 더 일반화 된 버전이라 볼 수 있다.
평균값 정리의 조건에서 조건을 좀 더 좁혀 구간의 양 끝점 함숫값이 같아야 한다고 만들어주면
롤의 정리가 되는것을 알 수 있다.
그렇다고 롤의 정리는 무시하고 평균값 정리만 알려고 하면 곤란하다.
평균값 정리의 증명에 롤의 정리가 이용되므로 두 정리와 그 증명법 모두 잘 숙지해둘 필요가 있다.
예제 3
$f(0) = -3$ 이고 모든 $x$ 에 대해 $f'(x) \le 5$ 라고 가정한다.
이 때 가능한 가장 큰 $f(2)$ 의 값은 얼마인가?
풀이
모든 $x$ 에 대해 $f'(x)$ 가 존재하므로 $f$ 는 실수 전체에서 미분가능하다.
따라서 $f$ 는 실수전체에서 연속이다.
즉 임의의 구간에서 평균값 정리를 이용할 수 있다.
구간 $[0, 2]$ 에 대해 평균값 정리를 적용하면 다음을 만족하는 수 $c \in (0, 2)$ 가 존재한다.
$$ f'(c) = \dfrac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \dfrac{f(2) + 3}{2}$$
모든 실수에 대해 $f'(x) \le 5$ 이므로 $f'(c) \le 5$ 라고 할 수 있다.
그러면 다음을 얻는다.
$$ \begin{align} &f'(c) = \dfrac{f(2) + 3}{2} \le 5 \\ \Longrightarrow &f(2) \le 7 \end{align} $$
따라서 $f(2)$ 의 값으로 가능한 가장 큰 값은 $7$ 이다.
평균값 정리의 중요한 의미는 미분법의 기초적인 사실들을 설명하기 위해 사용될 수 있다는 것이다.
다음 정리를 보자
정리
구간 $(a, b)$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f'(x) = 0$ 이면 $f$ 는 $(a, b)$ 에서 상수이다.
증명
$x_{1}, x_{2}$ 를 $x_1 < x_2$ 인 $(a, b)$ 에 속하는 임의의 두 수라고 하자.
$f$ 가 $(a, b)$ 에서 미분가능하므로 $f$ 는 $(x_1, x_2)$ 에서 미분가능하고 $[x_1, x_2]$ 에서 연속이다.
이 구간에서 평균값 정리를 이용하면 다음을 만족하는 수 $c \in (x_1, x_2)$ 를 얻는다.
$$ f(x_2) - f(x_1) = f'(c) (x_2 - x_1) $$
모든 $x$ 에 대해 $f'(x) = 0$ 이므로 $f'(c) = 0$ 이다. 따라서 다음과 같다.
$$ \begin{align} &f(x_2) - f(x_1) = 0 \\ \Longrightarrow &f(x_2) = f(x_1) \end{align}$$
$(a, b)$ 에 속하는 임의의 서로 다른 두 점에서의 함숫값이 같으므로
이는 $f$ 가 상수임을 의미한다.
이 정리를 보고 아마 이렇게 생각했을 것이다.
"어? 상수함수를 미분하면 $0$ 이 됨을 앞에서 보였는데 당연한것 아닌가?"
하지만 이것은 서술하는 방향을 잘 생각해보면
상수함수를 미분하면 $0$ 이 됨을 보인것이지
미분했을 때 $0$ 이 되는 함수는 오직 상수임을 보인 것이 아니다.
위 정리는 미분하였을 때 $0$ 이 되는 함수는 오직 상수함수임을 보이는 정리이다.
이 정리에 대해 한가지 주의해야할 점이 있다.
다음과 같은 함수를 보자.
$$ f(x) = \dfrac{x}{|x|} = \begin{cases} +1, & x>0 \\ -1, & x<0 \end{cases} $$
정의역인 $D = \{x|x \neq 0\}$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f'(x) = 0$ 이지만 $f$ 는 상수가 아니다.
때문에 위 정리가 틀린것으로 보인다.
하지만 잘 살펴보면 모순이 아니다.
왜냐하면 이 함수는 하나의 구간인 $(-\infty, \infty)$ 의 모든 $x$ 에 대해
$f'(x) = 0$ 을 만족하는것이 아니기 때문이다. ($x = 0$ 에서는 미분계수가 존재하지 않는다.)
따라서 구간을 $(-\infty, 0)$, $(0, \infty)$ 로 나누면 각각의 구간에서는 $f$ 가 상수임을 알 수 있고
정리에 모순이 아님을 알 수 있다.
따름정리
구간 $(a, b)$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f'(x) = g'(x)$ 이면
$f - g$ 는 $(a, b)$ 에서 상수이다.
즉, $f(x) = g(x) + c$ 이다. ($c$는 상수)
증명
$F(x) = f(x) - g(x)$ 라고 하면 $(a, b)$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 다음이 성립한다.
$$ F'(x) = f'(x) - g'(x) = 0 $$
따라서 바로 위에서 언급한 정리에 의해 $F$ 는 상수이다.
즉 $f - g$ 는 상수이다.
이 따름정리의 의미는 두 함수가 주어진 구간에서 도함수가 같으면
두 함수의 그래프는 같은 꼴을 가지고 위아래로 평행이동한 모습이라는 것이다.
당연하다고 생각이 든다면 고등학교 때의 주입식 교육탓이라고 본다.
아마 "도함수가 같은 두 함수가 상수만큼 차이난다는 이유가 뭔데?" 라고 물었을 때
"그냥 그렇다고 배웠으니깐" 말고 다른 답변이 떠오르지 않았을 것이다.
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