12. 롤의 정리, 평균값 정리 (Rolle's Theorem, Mean Value Theorem)

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롤의 정리 (Rolle's Theorem)

함수 $f$ 가 다음 세 가지 조건을 만족하면 $f^{\prime }(c)=0$ 인 수 $c$ 가 $(a,b)$ 에 존재한다.
1. $f$ 는 폐구간 $[a,b]$ 에서 연속이다.
2. $f$ 는 개구간 $(a,b)$ 에서 미분가능하다.
3. $f(a)=f(b)$

증명

세 가지 경우가 있다.

1. $f(x)=k$, ($k$는 상수)

2. $x\in (a,b)$ 인 어떤 $x$ 에서 $f(x)>f(a)$ 인 경우

3. $x\in (a,b)$ 인 어떤 $x$ 에서 $f(x)<f(a)$ 인 경우

 

1번의 경우에는 $f^{\prime }(x)=0$ 이므로 $c$ 는 구간 $(a,b)$ 의 아무 점을 택하여도 성립한다.

 

2번의 경우에는 함수가 폐구간에서 연속이므로 극값정리에 의해 $[a,b]$ 에서 항상 최댓값을 갖는다.

하지만 구간의 양 끝 $f(a)=f(b)$ 보다 더 큰 값을 갖게 하는 점 $x$ 가 존재한다고 했으므로 
이러한 조건을 만족하는 $x$ 값들 중 하나인 어떤 점 $x=c$ 에서 최댓값을 가져야 한다.
그러면 이 점은 극대이고 조건2에 의해 미분가능하므로 $f^{\prime }(c)$ 가 존재한다.

따라서 페르마 정리에 의해 $f^{\prime }(c)=0$ 이다.

 

3번의 경우도 2번과 비슷하다. 

폐구간에서 연속이므로 $[a,b]$ 에서 최솟값을 가져야 하는데 

구간의 양 끝 보다 $x\in (a,b)$ 를 만족하는 어떠한 점 $x$ 에서 함숫값이 더 작으므로
이러한 조건을 만족하는 $x$ 값 중 하나인 $x=c$ 에서 최솟값을 가져야 한다.

그러면 이 점은 극소이고 조건2에 의해 미분가능하므로 $f^{\prime }(c)$ 가 존재한다.

따라서 페르마 정리에 의해 $f^{\prime }(c)=0$ 이다.

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이 정리를 이용할 수 있는 예제를 살펴보자

 

예제 1

아래방향의 중력이 작용할 때, 시간 $t=0(s)$ 일 때 높이 $h(m)$ 에서 쏘아올렸더니

$t=t_e(s)$ 일 때 높이 $h(m)$ 지점을 다시 지나갔다.

이 물체의 속도가 $0(m/s)$ 가 되는 때가 $0$ 초와 $t_e$ 초 사이에 있음을 증명하라.

 

풀이

초기속도를 $v_0(m/s)$, 중력가속도를 $g(m/s^2)$ 라고 가정하면

물체의 운동방정식을 다음과 같이 기술할 수 있다.

$$y(t)-h=v_{0}t-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$$

이를 정리하면 다음과 같은 함수 $y(t)$ 를 얻는다.

$$y(t)=h+v_{0}t-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$$

 

이 식은 $t$ 에 관한 이차 다항함수이므로 실수 전체에서 연속이고 미분 가능하다.

따라서 $[0,t_e]$ 에서 연속이고 $(0,t_e)$ 에서 미분가능하다.

그리고 문제 조건에 의해 $y(0)=h$, $y(t_e)=h$ 이다.

 

따라서 롤의 정리에 의해 $y^{\prime }(c)=0$ 가 되는 $c$ 가 구간 $(0,t_e)$ 에 존재한다.

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예제 2

방정식 $x^3+x-1=0$ 이 단 한 개의 실근을 가짐을 증명하라.

 

풀이

1. 근이 존재함을 보이기

 

실근이 존재함을 보이기 위해 중간값 정리를 이용할 것이다.

이를 위해서 함숫값이 $0$ 보다 큰 경우와 작은 경우를 찾아야 한다.

$f(x)=x^3+x-1$ 이라 하면 $f(0)=-1$ 이고 $f(1)=1$ 이다.

그리고 함수는 다항함수이므로 실수 전체에서 연속이다.

따라서 중간값 정리에 의해 $f(c)=0$ 을 만족하는 수 $c\in (0,1)$ 이 존재한다.

따라서 적어도 하나 이상의 실근을 가진다.

 

2. 실근이 두 개 이상 존재하지 않음을 보이기

 

이번에는 롤의 정리를 이용할 것이다.

만약 $f$ 가 서로 다른 두 개의 실근 $a,b$ 를 갖는다면 $f(a)=f(b)=0$ 을 만족할 것이고

$f$ 는 다항함수이므로 실수 전체에서 연속이고 미분가능하다.

따라서 롤의 정리에 의해 $f^{\prime }(c)=0$ 을 만족하는 $c\in (a,b)$ 가 존재해야 한다.

하지만 $f^{\prime }(x)=3x^2+1$ $\ge 1$ 이므로 $f^{\prime }(c)=0$ 을 만족하는 $c$ 가 존재함은 모순이다.

따라서 가정했던 서로다른 두 개의 실근을 가진다 명제는 모순이고

최대 하나의 실근을 갖는다.

 

1과 2에 의해 방정식은 단 한 개의 실근만 갖는다는것이 증명된다.

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평균값 정리 (Mean Value Theorem)

함수 $f$ 가 다음 조건들을 만족한다고 하자.
1. $f$ 는 폐구간 $[a,b]$ 에서 연속이다
2. $f$ 는 개구간 $(a,b)$ 에서 미분가능하다.

그러면 다음을 만족하는 수 $c\in (a,b)$ 가 존재한다.
$$f^{\prime }(c)={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$$

증명

함수 $f$ 에 구간의 양 끝 점을 잇는 선분함수 $g$ 를 뺀

새로운 함수 $h$에 대해 롤의 정리를 적용하여 증명한다.

 

두 점 $(a,f(a)),(b,f(b))$ 를 지나는 선분함수 $g(x)$ 는 다음과 같다.

$$g(x)=f(a)+{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$$

 

따라서 $h(x)$ 는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}h(x)=& f(x)-g(x)\\ \text{(1)}& & f(x)-f(a)-{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\end{array}$$

 

1. $h(x)$ 는 $[a,b]$ 에서 연속인 함수 $f$ 와 실수 전체에서 연속인 다항함수의 합이므로

$h$ 는 $[a,b]$ 에서 연속이다.

2. $h(x)$ 는 $(a,b)$ 에서 미분가능한 함수 $f$ 와 실수 전체에서 미분가능한 다항함수의 합이므로

$h$ 는 $(a,b)$ 에서 미분가능하다.

3. $h(x)$ 에 $a,b$ 를 각각 대입해보면 $h(a)=0$, $h(b)=0$ 이므로 $h(a)=h(b)$ 임을 알 수 있다.

 

따라서 롤의 정리에 의해 $h^{\prime }(c)=0$ 을 만족하는 $c\in (a,b)$ 가 존재한다.

 

$(1)$ 에서 구한 $h$ 를 미분해보면 다음을 얻는다

$$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$$

따라서 롤의 정리의 결과는 다음과 같다

$$\begin{array}{rl}& h^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=0\\ ⟹& f^{\prime }(c)={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\end{array}$$

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평균값 정리의 기하학적 의미는 다음 그림과 같이 구간 내에서 연속이고 미분가능한 함수가 있을 때

구간 내의 어떤 점의 미분계수가 양 끝점을 잇는 선분의 기울기와 같게 되는 점이 존재한다는 것이다.

 

평균값 정리는 롤의 정리의 좀 더 일반화 된 버전이라 볼 수 있다.

평균값 정리의 조건에서 조건을 좀 더 좁혀 구간의 양 끝점 함숫값이 같아야 한다고 만들어주면

롤의 정리가 되는것을 알 수 있다.

그렇다고 롤의 정리는 무시하고 평균값 정리만 알려고 하면 곤란하다.

평균값 정리의 증명에 롤의 정리가 이용되므로 두 정리와 그 증명법 모두 잘 숙지해둘 필요가 있다.

 

 

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예제 3

$f(0)=-3$ 이고 모든 $x$ 에 대해 $f^{\prime }(x)\le 5$ 라고 가정한다.

이 때 가능한 가장 큰 $f(2)$ 의 값은 얼마인가?

 

풀이

모든 $x$ 에 대해 $f^{\prime }(x)$ 가 존재하므로 $f$ 는 실수 전체에서 미분가능하다.

따라서 $f$ 는 실수전체에서 연속이다.

즉 임의의 구간에서 평균값 정리를 이용할 수 있다.

 

구간 $[0,2]$ 에 대해 평균값 정리를 적용하면 다음을 만족하는 수 $c\in (0,2)$ 가 존재한다.

$$f^{\prime }(c)={\displaystyle \frac{f(2)-f(0)}{2-0}}={\displaystyle \frac{f(2)+3}{2}}$$

모든 실수에 대해 $f^{\prime }(x)\le 5$ 이므로 $f^{\prime }(c)\le 5$ 라고 할 수 있다.

그러면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(c)={\displaystyle \frac{f(2)+3}{2}}\le 5\\ ⟹& f(2)\le 7\end{array}$$

따라서 $f(2)$ 의 값으로 가능한 가장 큰 값은 $7$ 이다.

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평균값 정리의 중요한 의미는 미분법의 기초적인 사실들을 설명하기 위해 사용될 수 있다는 것이다.

다음 정리를 보자

 

 

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정리

구간 $(a,b)$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f^{\prime }(x)=0$ 이면 $f$ 는 $(a,b)$ 에서 상수이다.

증명

$x_1,x_2$ 를 $x_1<x_2$ 인 $(a,b)$ 에 속하는 임의의 두 수라고 하자.

$f$ 가 $(a,b)$ 에서 미분가능하므로 $f$ 는 $(x_1,x_2)$ 에서 미분가능하고 $[x_1,x_2]$ 에서 연속이다.

이 구간에서 평균값 정리를 이용하면 다음을 만족하는 수 $c\in (x_1,x_2)$ 를 얻는다.

$$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(c)(x_2-x_1)$$

모든 $x$ 에 대해 $f^{\prime }(x)=0$ 이므로 $f^{\prime }(c)=0$ 이다. 따라서 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}& f(x_2)-f(x_1)=0\\ ⟹& f(x_2)=f(x_1)\end{array}$$

 

$(a,b)$ 에 속하는 임의의 서로 다른 두 점에서의 함숫값이 같으므로 

이는 $f$ 가 상수임을 의미한다.

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이 정리를 보고 아마 이렇게 생각했을 것이다.

"어? 상수함수를 미분하면 $0$ 이 됨을 앞에서 보였는데 당연한것 아닌가?"

하지만 이것은 서술하는 방향을 잘 생각해보면

상수함수를 미분하면 $0$ 이 됨을 보인것이지

미분했을 때 $0$ 이 되는 함수는 오직 상수임을 보인 것이 아니다.

위 정리는 미분하였을 때 $0$ 이 되는 함수는 오직 상수함수임을 보이는 정리이다.

 

이 정리에 대해 한가지 주의해야할 점이 있다.

다음과 같은 함수를 보자.

$$f(x)={\displaystyle \frac{x}{|x|}}=\{\begin{array}{ll}+1,& x>0\\ -1,& x<0\end{array}$$

정의역인 $D=\{x|x\ne 0\}$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f^{\prime }(x)=0$ 이지만 $f$ 는 상수가 아니다.

때문에 위 정리가 틀린것으로 보인다.

 

하지만 잘 살펴보면 모순이 아니다.

왜냐하면 이 함수는 하나의 구간인 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 의 모든 $x$ 에 대해

$f^{\prime }(x)=0$ 을 만족하는것이 아니기 때문이다. ($x=0$ 에서는 미분계수가 존재하지 않는다.)

따라서 구간을 $(-\mathrm{\infty },0)$, $(0,\mathrm{\infty })$ 로 나누면 각각의 구간에서는 $f$ 가 상수임을 알 수 있고

정리에 모순이 아님을 알 수 있다.

 

 

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따름정리

구간 $(a,b)$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$ 이면
$f-g$ 는 $(a,b)$ 에서 상수이다.
즉, $f(x)=g(x)+c$ 이다. ($c$는 상수)

증명

$F(x)=f(x)-g(x)$ 라고 하면 $(a,b)$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)=0$$

따라서 바로 위에서 언급한 정리에 의해 $F$ 는 상수이다.

즉 $f-g$ 는 상수이다.

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이 따름정리의 의미는 두 함수가 주어진 구간에서 도함수가 같으면

두 함수의 그래프는 같은 꼴을 가지고 위아래로 평행이동한 모습이라는 것이다.

당연하다고 생각이 든다면 고등학교 때의 주입식 교육탓이라고 본다. 

아마 "도함수가 같은 두 함수가 상수만큼 차이난다는 이유가 뭔데?" 라고 물었을 때

"그냥 그렇다고 배웠으니깐" 말고 다른 답변이 떠오르지 않았을 것이다.

 

 

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