14. 점근선 (Asymptote)

무한히 뻗는 곡선에서 어떠한 직선과의 거리가 0으로 수렴해간다면

이 때의 직선을 점근선이라고 한다.

어떠한 함수의 곡선이 점근선을 가지는지 여부도 그 곡선의 특징을 나타내는 요소라고 할 수 있으므로

곡선을 그릴 때 점근선을 파악해야한다.

 

스튜어트 미분적분학에서는 다음 세 종류의 점근선을 다룬다.

수평점근선, 수직점근선, 경사점근선

이들을 각각 알아보자.

 

 

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수평점근선

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L}$ 이거나 ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L}$ 이면 
직선 $y=L$ 을 $f(x)$ 의 수평점근선(Horizontal asymptote)라 한다.

 

예시 1

$$y={\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+1}}$$

위의 곡선은 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+1}}=1}$ 이므로 $y=1$ 을 수평점근선으로 갖는다. (양의 무한대)

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+1}}=1}$ 이므로 역시 $y=1$ 을 수평점근선으로 갖는다. (음의 무한대)

이는 위에서 구한 수평점근선이랑 같다.

 

 

 

예시 2

$$y={\displaystyle \frac{5\sin x}{x}}-3$$

위의 곡선은 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{5\sin x}{x}}-3=-3}$ 이므로 $y=-3$ 을 수평점근선으로 갖는다. (양의 무한대)

음의 무한대에서도 같은 수평점근선을 갖는다.

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수직점근선

다음 중 적어도 하나를 만족하면 직선 $x=a$ 는 수직점근선이다.
$$\begin{array}{rlr}& \underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }& \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }\\ & \underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }& \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }\end{array}$$

예시 1

$$y={\displaystyle \frac{2x^2}{x^2-1}}$$

위의 곡선을 $f(x)$ 라 하면

${\displaystyle \underset{x\to -1^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }}$ 이고 ${\displaystyle \underset{x\to {11}^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }}$ 이므로

$x=-1$, $x=1$ 은 수직점근선이다.

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경사점근선

다음중 하나를 만족하면 $y=mx+b$ 는 경사점근선이다.
$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)-(mx+b)=0$$, $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)-(mx+b)=0$$

경사점근선을 찾는 것은 수평, 수직점근선을 찾는 것에 비해 어렵다.

따라서 특수한 경우가 아니면 경사점근선을 찾아야하는 문제는 잘 나오지 않는다.

유리함수의 경우에는 분자의 차수가 분모의 차수보다 하나 더 클 때 경사점근선이 존재한다.

 

예시 1

$$y={\displaystyle \frac{x^3}{x^2+1}}$$

위 곡선을 $f(x)$ 라 하면 $f(x)$ 를 직접 나눗셈하여 $f(x)=x-{\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$ 을 얻는다.

따라서 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)-x=0}$ 이고 ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)-x=0}$ 이므로

$y=x$ 는 경사점근선이다.