미분을 이용하면 그래프의 개형을 파악하는데 도움이 된다.
13, 14번 글에서는 곡선을 그릴 때 미분을 이용하여 개형을 파악하는 도구들을 다룰 것이고
15번 글에서 이들을 종합하여 곡선을 그리는 예제들을 다룰 것이다.
이번 글에서 일계도함수, 이계도함수를 이용해 그래프의 개형을 파악하는데 도움을 주는 정리들을 알아보자.
1. 일계도함수를 이용한 판정법
미분가능한 함수라면 이 함수가 어떤 구간에서 증가 또는 감소하는지 판별할 수 있다.
(참고) 함수의 증가, 감소의 정의
증가
어떤 구간 I에 속하는 임의의 $x_1, x_2$ 가 $x_1 < x_2$ 를 만족한다고 할 때,
$f(x_1) < f(x_2)$ 가 항상 성립한다면 $f(x)$ 는 구간 $I$ 에서 증가라고 이야기 한다.
감소
어떤 구간 I에 속하는 임의의 $x_1, x_2$ 가 $x_1 < x_2$ 를 만족한다고 할 때,
$f(x_1) > f(x_2)$ 가 항상 성립한다면 $f(x)$ 는 구간 $I$ 에서 감소라고 이야기 한다.
증가/감소 판정법
$\cdot$ 어떤 구간에서 $f'(x) > 0$ 이면 그 구간에서 $f$ 는 증가한다.
$\cdot$ 어떤 구간에서 $f'(x) < 0$ 이면 그 구간에서 $f$ 는 감소한다.
$x_1, x_2$ 를 구간 내의 임의의 수라고 하고 $x_1 < x_2$ 를 만족한다고 하자.
주어진 조건을 이용해 증가/감소의 정의가 나오도록 이끌어내면 된다.
증가에 대해서 먼저 보이자.
$f'(x) > 0$ 이므로 미분계수가 존재한다는 말이고 구간에서 미분가능하다.
따라서 주어진 구간에 속하는 $[x_1, x_2]$ 에서도 미분가능하다는 얘기이고,
미분가능하면 연속이라는 정리에 의해 $[x_1, x_2]$ 에서 연속이다.
따라서 평균값 정리에 의해 다음을 만족하는 $c \in (x_1, x_2)$ 가 존재한다.
$$ f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) $$
$f'(x) > 0 $ 이므로 $f'(c) > 0$ 이고 $x_2 - x_1 > 0$ 이므로
$f(x_2) - f(x_1) > 0$ 을 얻는다.
즉 $f(x_2) > f(x_1)$ 이다.
감소에 대해서도 같은 방법으로 결론을 얻는다.
이 증가/감소 판정법을 이용하면 원래 증가/감소의 정의를 이용해 보이지 않고도
미분만 하여 양의 값을 갖는지 음의 값을 갖는지만 이용하여 증감을 얘기할 수 있다.
증가 감소 말고도 임계수에서 극대인지 극소인지도 미분을 이용해 알아낼 수 있다.
앞서 임계수(critical number)는 $f'(x) = 0$ 이거나 미분계수가 존재하지 않는 점이라고 정의했었다.
극대 또는 극소이면 그 점은 임계수가 된다고도 했었는데 (왜냐하면 페르마 정리에 의해 극대 또는 극소인 점은 $f'(x) = 0$ 이고 따라서 임계수)
반대로 임계수라고 해서 그 점이 극대 또는 극소라는 보장은 없다.
하지만 다음 정리를 이용하면 임계수에서 극대인지 극소인지 판별해낼 수 있다.
1계 도함수 판정법
$c$를 연속함수 $f$ 의 임계수라고 가정하자.
$\cdot$ $f'$ 이 $c$ 를 기준으로 양에서 음으로 바뀌면 $f$ 는 $c$ 에서 극대이다.
$\cdot$ $f'$ 이 $c$ 를 기준으로 음에서 양으로 바뀌면 $f$ 는 $c$ 에서 극소이다.
$\cdot$ $f'$ 이 $c$ 를 기준으로 부호가 변하지 않으면 극대도 극소도 아니다.
극대를 기준으로 설명하면
$c$를 기준으로 왼쪽은 $f'(x) > 0$, 오른쪽은 $f'(x) < 0$ 이므로
바로 위에서 언급한 증가/감소 판정법에 의해 왼쪽에서는 증가, 오른쪽에서는 감소하게 되고
따라서 극대의 정의에 의해 $c$ 에서 $f$ 는 극대이다.
극소도 같은 방법으로 증명한다.
이 판정법은 다음 그림과 같이 함수의 그래프를 그려보면 당연한 결과처럼 보인다.
2. 이계도함수를 이용한 판정법
이계도함수도 그래프의 개형을 파악하는데 도움을 준다.
우선 다음 그림을 보자. 둘 다 증가하는 함수이지만 이 둘의 모양은 사뭇 다르다.
하나는 위로 휘어있고 다른 하나는 아래로 휘어있다. 이 둘을 구분할 방법이 필요하다.
그림 (a)와 같은 모양을 위로 오목(Concave upward),
(b)와 같은 모양을 아래로 오목(Concave downward)라고 한다.
고등학교땐 보통 볼록이라는 말을 썼을텐데 스튜어트에서는 오목이라는 말을 쓰므로
이 표현에 익숙해지는것이 좋다. 오목성의 방향은 입을 벌리는 방향이다.
오목성의 수학적 정의는 다음과 같다.
오목성의 정의
함수 $f$ 의 그래프가 구간 $I$ 에서 모든 접선보다 위에 놓여있을 경우
함수 $f$ 는 $I$ 에서 위로오목이라고 한다.
함수 $f$ 의 그래프가 구간 $I$ 에서 모든 접선보다 아래에 놓여있을 경우
함수 $f$ 는 $I$ 에서 아래로오목이라고 한다.
그리고 이런 오목성을 이계도함수를 이용해 다음과 같이 판정할 수 있다.
오목성 판정법
구간 $I$ 안의 모든 $x$ 에 대해 $f''(x) > 0$ 이면 $f$ 의 그래프는 $I$ 에서 위로 오목이다.
구간 $I$ 안의 모든 $x$ 에 대해 $f''(x) < 0$ 이면 $f$ 의 그래프는 $I$ 에서 아래로 오목이다.
위로 오목인 경우를 증명한다. 아래로 오목인 경우는 반대로 하면 된다.
$a$ 를 구간 $I$ 안의 임의의 수라고 하자.
$y = f(x)$ 의 그래프가 $(a, f(a))$ 에서의 접선
$y = f(a) + f'(a)(x-a)$ 위에 놓여있음을 보이면 된다.
$x > a$ 인 경우,
평균값 정리에 의해 다음을 만족하는 $c \in (a, x)$ 이 존재한다.
$$ f(x) - f(a) = f'(c)(x-a) $$
한편 $f''(x) > 0$ 이므로 $f'(c) > f'(a)$ 이다.
따라서 $f(x) - f(a) = f'(c)(x-a) > f'(a)(x-a)$ 이다.
정리하면 $f(x) > f(a) + f'(a)(x-a)$ 를 얻고 증명이 된다.
$x < a$ 인 경우
위와 유사하게 증명한다.
한편, 오목성의 종류가 바뀌는 점은 변곡점이라고 한다.
변곡점의 정의
$f$ 가 곡선 $y = f(x)$ 의 한 점 $P$ 에서 연속이고
그 점에서 곡선이 위로 오목 $\rightarrow$ 아래로 오목 혹은
아래로 오목 $\rightarrow$ 위로 오목으로 바뀌면 점 $P$ 를 변곡점(Inflection point) 라고 한다.
이계도함수로는 함수의 극대/극소점을 판정할 수 있다.
2계도함수 판정법
$f''$ 이 $c$ 부근에서 연속이라고 가정하자.
$\cdot$ $ f'(c) = 0 $ 이고 $f''(c) > 0$ 이면 $f$ 는 $c$ 에서 극소이다.
$\cdot$ $ f'(c) = 0 $ 이고 $f''(c) < 0$ 이면 $f$ 는 $c$ 에서 극대이다.
일계도함수 판정법에서 증가/감소 판정법을 이용하여 이끌어냈듯이
이계도함수 판정법은 오목성 판정법을 이용하여 이끌어낸다.
극소의 경우를 증명한다.
$f''(c) > 0$ 이므로 오목성 판정법에 의해 $f$ 는 $c$ 부근에서 위로 오목이다.
오목성의 정의에 의하면 $(c, f(c))$ 에서의 접선보다 $f$가 위에 놓여있다는 결론을 얻을 수 있다.
한편 $f'(c) = 0$ 이므로 이 접선은 수평접선이므로 $f(c)$는 $c$ 근방에서 최소값을 가지게 된다.
따라서 $c$ 는 $f$ 의 극소점이다.
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