21. 치환 적분 (Substitution Rule)

앞서 잘 알려진 함수들에 대한 부정적분 공식을 살펴보았다.

하지만 대부분의 경우에는 역도함수가 무엇인지 찾기 쉽지 않다.

 

예를 들어 다음 식의 역도함수는 무엇인지 바로 떠오르지 않을 것이다.

$$\int 2x\sqrt{1+x^2}dx$$

하지만 $1+x^2=u$ 라고 치환하면 $2xdx=du$ 이므로 다음과 같다.

$$\int 2x\sqrt{1+x^2}dx=\int \sqrt{u}du=\int u^{\frac{1}{2}}du={\displaystyle \frac{2}{3}}{u}^{\frac{3}{2}}+C$$

이제 $u=1+x^2$ 를 대입해주어 부정적분을 마무리할 수 있다.

$$\int 2x\sqrt{1+x^2}dx={\displaystyle \frac{2}{3}}(1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}+C$$

이러한 기법을 치환 적분이라고 부른다.

 

 

치환 적분

$u=g(x)$ 가 구간 $I$ 에서 미분 가능하고 $f$ 가 구간 $I$ 에서 연속이면 다음이 성립한다.
$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$$ 

 

예제 1

다음을 구하라
$$\int x^5\sqrt{1+x^2}dx$$

루트 안이 가장 처리하기 까다로워 보이므로 $1+x^2=u$ 로 치환하자.

그러면 $2xdx=du⟹xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}du$ 이고

$x^2=u-1$ 이므로 $x^4=(u-1{)}^2$ 이다.

따라서 다음과 같이 적을 수 있다.

$$\begin{array}{rl}\int x^5\sqrt{1+x^2}dx=& \int x\cdot x^4\sqrt{1+x^2}dx\\ =& \int (u-1{)}^2\sqrt{u}{\displaystyle \frac{1}{2}}du\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\int u^{\frac{1}{2}}[u^2-2u+1]du\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\int u^{\frac{5}{2}}-2u^{\frac{3}{2}}+u^{\frac{1}{2}}du\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}[{\displaystyle \frac{2}{7}}{u}^{\frac{7}{2}}-2\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}{u}^{\frac{5}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{u}^{\frac{3}{2}}]+C\\ =& {\displaystyle \frac{1}{7}}(1+x^2{)}^{\frac{7}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}(1+x^2{)}^{\frac{5}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}(1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$$ 

 

 

부정적분이 아니라 정적분일 때도 치환적분을 이용할 수 있다.

다만 구간 역시 치환된 범위를 택해야 한다.

정적분에서의 치환 적분

$g^{\prime }$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속이고 $f$ 가 $[g(a),g(b)]$ 에서 연속이면 다음이 성립한다.
$${\int }_a^{b}f(g(x))g^{\prime }(x)dx={\int }_{u=g(a)}^{u=g(b)}f(u)du$$

 

예제 2

다음을 계산하라.
$${\int }_0^4\sqrt{2x+1}dx$$

$2x+1=u$ 라고 치환하자.

$dx={\displaystyle \frac{1}{2}}du$ 이고

$x$ 축의 구간 $[0,4]$ 은 $u$ 축의 구간 $[1,9]$ 로 변한다.

따라서 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^4\sqrt{2x+1}dx=& {\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_1^9\sqrt{u}du\\ =& {\left[{\displaystyle \frac{1}{3}}{u}^{\frac{3}{2}}\right]}_1^9\\ =& {\displaystyle \frac{26}{3}}\end{array}$$