21. 치환 적분 (Substitution Rule)

앞서 잘 알려진 함수들에 대한 부정적분 공식을 살펴보았다.

하지만 대부분의 경우에는 역도함수가 무엇인지 찾기 쉽지 않다.

 

예를 들어 다음 식의 역도함수는 무엇인지 바로 떠오르지 않을 것이다.

$$ \int 2x\sqrt{1 + x^2} dx $$

하지만 $1 + x^2 = u$ 라고 치환하면 $2x dx = du$ 이므로 다음과 같다.

$$ \int 2x\sqrt{1 + x^2} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{\frac{1}{2}} du = \dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C $$

이제 $u = 1 + x^2$ 를 대입해주어 부정적분을 마무리할 수 있다.

$$ \int 2x\sqrt{1 + x^2} dx = \dfrac{2}{3}(1 + x^2)^{\frac{3}{2}} + C $$

이러한 기법을 치환 적분이라고 부른다.

 

 

치환 적분

$u = g(x)$ 가 구간 $I$ 에서 미분 가능하고 $f$ 가 구간 $I$ 에서 연속이면 다음이 성립한다.
$$ \int \textcolor{skyblue}{f(g(x))} \textcolor{orange}{g'(x)dx} = \int \textcolor{skyblue}{f(u)} \textcolor{orange}{du} $$ 

 

예제 1

다음을 구하라
$$ \int x^5 \sqrt{1 + x^2} dx $$

루트 안이 가장 처리하기 까다로워 보이므로 $1 + x^2 = u$ 로 치환하자.

그러면 $2x dx = du \quad \Longrightarrow \textcolor{orange}{\quad x dx = \dfrac{1}{2}du}$ 이고

$x^2 = u - 1$ 이므로 $x^4 = (u-1)^2$ 이다.

따라서 다음과 같이 적을 수 있다.

$$ \begin{align} \int x^5 \sqrt{1 + x^2} dx = &\int \textcolor{orange}{x} \cdot x^4 \sqrt{1 + x^2} \textcolor{orange}{dx} \\ = &\int (u-1)^2 \sqrt{u} \textcolor{orange}{\dfrac{1}{2}du} \\ = &\dfrac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}} [u^2 - 2u  + 1] du \\ = &\dfrac{1}{2}\int u^{\frac{5}{2}} - 2u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} du \\ = &\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{2}{7}u^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot \dfrac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} + \dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right] + C \\ = &\dfrac{1}{7}(1 + x^2)^{\frac{7}{2}} - \dfrac{2}{5}(1 + x^2)^{\frac{5}{2}} + \dfrac{1}{3}(1 + x^2)^{\frac{3}{2}} + C \end{align} $$ 

 

 

부정적분이 아니라 정적분일 때도 치환적분을 이용할 수 있다.

다만 구간 역시 치환된 범위를 택해야 한다.

정적분에서의 치환 적분

$g'$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속이고 $f$ 가 $[g(a), g(b)]$ 에서 연속이면 다음이 성립한다.
$$ \int_a^b \textcolor{skyblue}{f(g(x))} \textcolor{orange}{g'(x) dx} = \int_{u = g(a)}^{u = g(b)} \textcolor{skyblue}{f(u)} \textcolor{orange}{du} $$

 

예제 2

다음을 계산하라.
$$ \int_0^4 \sqrt{2x + 1} dx $$

$2x + 1 = u$ 라고 치환하자.

$dx = \dfrac{1}{2}du$ 이고

$x$ 축의 구간 $[0, 4]$ 은 $u$ 축의 구간 $[1, 9]$ 로 변한다.

따라서 다음과 같다.

$$ \begin{align} \int_0^4 \sqrt{2x + 1} dx = &\dfrac{1}{2}\int_1^9 \sqrt{u} du \\ = & \left[ \dfrac{1}{3}u^{\frac{3}{2}} \right]_1^9 \\ = &\dfrac{26}{3} \end{align} $$