22. 부분 적분 (Integration by Parts)

이번에는 적분을 할 때 이용되는 또 다른 테크닉인 부분 적분을 소개한다.

 

$x$ 에 대한 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해

미분 공식 중 곱의 공식은 다음과 같다.

$$ \dfrac{d}{dx}[fg] = f'g +  fg' $$

이 식의 양변을 부정적분해주면 다음과 같다.

$$ \begin{align} fg = &\int f'g + fg' \; dx \\ = &\int f'g \; dx + \int fg' \; dx \end{align} $$

식을 재정렬하면

$$ \int f'g \; dx = fg - \int fg' \; dx$$

 

여기서 $f$ 는 적분될 함수이고 $g$ 는 미분될 함수이다.

우리는 $f$ 가 적분되거나 $g$ 가 미분되면서 식이 더 간단해지길 바란다.

다음 예제를 통해 무슨 말인지 설명한다.

예제 1

다음을 부정적분 하라.
$$ \int x \sin{x} \; dx$$

$x \sin{x} = x \cdot \sin{x}$ 인데,

$x$ 는 미분되면 상수가 되어 간단해지지만 적분하면 2차항이 생겨서 더욱 복잡해진다.

반면 $\sin{x}$ 는 미분해도, 적분해도 똑같은 삼각함수로 남는다.

 

따라서 $x$ 를 미분할 함수로 정하고 $\sin{x}$ 를 적분할 함수 로 정하자.

$$ \begin{align} \int x \sin{x} \; dx = &x \cdot (-\cos{x}) - \int 1 \cdot (-\cos{x}) \; dx \\ = &-x\cos{x} + \int \cos{x} \; dx \\ = &-x\cos{x} + \sin{x} + C \end{align} $$

 

 

어떤 함수를 미분할 함수로 잡을지 선택에 도움이 되는 법칙이 있다.

Herbert Kasube 가 제안한 LIATE 법칙인데, 각 이니셜이 뜻하는 것은 다음과 같다.

L : Logarithmic functions (로그함수)

I : Inverse trigonometric functions (역삼각함수)

A : Algebraic functions (대수적 함수)

T : Trigonometric functions (삼각함수)

E : Exponential functions (지수함수)

 

처음 나열한 순서대로 미분할 함수로 잡으면 계산이 쉽게 풀린다는 법칙으로

한국에서는 교육과정 밖인 I(Inverse trigonometric functions = 역삼각함수) 를 제외하고

LATE = "로다삼지" 라고 잘 알려진 법칙이다. 

 

 

예제 2

다음을 부정적분 하라
$$ \int \ln{x} \; dx $$

$\ln{x} = 1 \cdot \ln{x}$ 로 분리시켜 생각하자.

LIATE 법칙을 적용하여 $\ln{x}$ 를 미분할 함수로, $1$ 을 적분할 함수로 잡아보자.

$$ \begin{align} \int \ln{x} \; dx = &x\ln{x} - \int x \cdot \dfrac{1}{x} \; dx \\ = &x\ln{x} - x \end{align} $$

 

예제 3

다음을 부정적분 하라
$$ \int e^x \sin{x} \; dx $$

$e^x$ 도, $\sin{x}$ 도 둘 다 미분해서 간단한 꼴로 변형되지 않는다.

하지만 LIATE 법칙에 따라 $\sin{x}$ 를 미분할 함수로 택하여 보자.

$$ \begin{align} \int e^x \sin{x} \; dx = &e^x \sin{x} - \textcolor{skyblue}{\int e^x \cos{x} \; dx} \end{align} $$

다시 지수함수 $\times$ 삼각함수 꼴의 적분을 마주하게 된다.

당황하지 않고 한 번 더 같은 법칙을 적용하여 부분적분을 해보자.

$$ \begin{align} \textcolor{skyblue}{\int e^x \cos{x} \; dx} = &e^x \cos{x} - \int e^x \cdot (- \sin{x}) \; dx \\ = &e^x \cos{x} + \int e^x \sin{x} \; dx \end{align} $$

이 결과를 대입하면

$$ \textcolor{orange}{\int e^x \sin{x} \; dx} = e^x \sin{x} - e^x\cos{x} - \textcolor{orange}{\int e^x \sin{x} \; dx}$$

$\textcolor{orange}{\int e^x \sin{x} \; dx}$ 가 다시 나와서 이를 넘겨 정리할 수 있게 되었다.

따라서 정리하면 다음과 같다.

$$ \textcolor{orange}{\int e^x \sin{x} \; dx} = \dfrac{e^x}{2} \left( \sin{x} - \cos{x} \right)  + C$$

 

예제 4

다음 적분을 계산하라
$$ \int_0^1 \tan^{-1}{x} \; dx $$

블로그에 연재중인 미적분학 시리즈에서 역삼각함수를 아직 설명 안했지만

LIATE 법칙 때문에 미리 가져온 문제이다.

$ \tan^{-1}{x} = 1 \cdot \tan^{-1}{x} $ 이므로 LIATE 법칙에 따라 $\tan^{-1}{x}$ 를 미분할 함수로 잡자.

$ \dfrac{d}{dx} \tan^{-1}{x} = \dfrac{1}{1 + x^2} $ 이므로

$$ \int_0^1 \tan^{-1}{x} \; dx = \left[ x\tan^{-1}{x} \right]_0^1 - \int_0^1 \dfrac{x}{x^2 + 1} \; dx $$

 

우변의 두 번째 항의 적분을 계산하기 위해 $x^2 + 1 = u$ 로 치환하면 $x dx = \dfrac{1}{2} du$ 이다.

구간은 $x \in [0, 1]$ 에서 $u \in [1, 2]$ 로 바뀐다. 따라서 다음과 같다.

$$ \begin{align} \int_0^1 \dfrac{x}{x^2 + 1} \; dx = &\dfrac{1}{2}\int_1^2 \dfrac{1}{u} \; du \\ = &\dfrac{1}{2}\left[ \ln{|u|} \right]_1^2 \\ = & \dfrac{1}{2}\ln{2} \end{align} $$

결과를 대입하면 다음과 같다.

$$ \begin{align} \int_0^1 \tan^{-1}{x} \; dx = &\left[ x\tan^{-1}{x} \right]_0^1 - \int_0^1 \dfrac{x}{x^2 + 1} \; dx \\ = &\tan^{-1}{1} - \dfrac{1}{2}\ln{2} \\ = &\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\ln{2}}{2} \end{align} $$