22. 부분 적분 (Integration by Parts)

이번에는 적분을 할 때 이용되는 또 다른 테크닉인 부분 적분을 소개한다.

 

$x$ 에 대한 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해

미분 공식 중 곱의 공식은 다음과 같다.

$${\displaystyle \frac{d}{dx}}[fg]=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$

이 식의 양변을 부정적분해주면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}fg=& \int f^{\prime }g+f{g}^{\prime }dx\\ =& \int f^{\prime }gdx+\int f{g}^{\prime }dx\end{array}$$

식을 재정렬하면

$$\int f^{\prime }gdx=fg-\int f{g}^{\prime }dx$$

 

여기서 $f$ 는 적분될 함수이고 $g$ 는 미분될 함수이다.

우리는 $f$ 가 적분되거나 $g$ 가 미분되면서 식이 더 간단해지길 바란다.

다음 예제를 통해 무슨 말인지 설명한다.

예제 1

다음을 부정적분 하라.
$$\int x\sin xdx$$

$x\sin x=x\cdot \sin x$ 인데,

$x$ 는 미분되면 상수가 되어 간단해지지만 적분하면 2차항이 생겨서 더욱 복잡해진다.

반면 $\sin x$ 는 미분해도, 적분해도 똑같은 삼각함수로 남는다.

 

따라서 $x$ 를 미분할 함수로 정하고 $\sin x$ 를 적분할 함수 로 정하자.

$$\begin{array}{rl}\int x\sin xdx=& x\cdot (-\cos x)-\int 1\cdot (-\cos x)dx\\ =& -x\cos x+\int \cos xdx\\ =& -x\cos x+\sin x+C\end{array}$$

 

 

어떤 함수를 미분할 함수로 잡을지 선택에 도움이 되는 법칙이 있다.

Herbert Kasube 가 제안한 LIATE 법칙인데, 각 이니셜이 뜻하는 것은 다음과 같다.

L : Logarithmic functions (로그함수)

I : Inverse trigonometric functions (역삼각함수)

A : Algebraic functions (대수적 함수)

T : Trigonometric functions (삼각함수)

E : Exponential functions (지수함수)

 

처음 나열한 순서대로 미분할 함수로 잡으면 계산이 쉽게 풀린다는 법칙으로

한국에서는 교육과정 밖인 I(Inverse trigonometric functions = 역삼각함수) 를 제외하고

LATE = "로다삼지" 라고 잘 알려진 법칙이다. 

 

 

예제 2

다음을 부정적분 하라
$$\int \ln xdx$$

$\ln x=1\cdot \ln x$ 로 분리시켜 생각하자.

LIATE 법칙을 적용하여 $\ln x$ 를 미분할 함수로, $1$ 을 적분할 함수로 잡아보자.

$$\begin{array}{rl}\int \ln xdx=& x\ln x-\int x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx\\ =& x\ln x-x\end{array}$$

 

예제 3

다음을 부정적분 하라
$$\int e^x\sin xdx$$

$e^x$ 도, $\sin x$ 도 둘 다 미분해서 간단한 꼴로 변형되지 않는다.

하지만 LIATE 법칙에 따라 $\sin x$ 를 미분할 함수로 택하여 보자.

$$\begin{array}{rl}\int e^x\sin xdx=& e^x\sin x-\int e^x\cos xdx\end{array}$$

다시 지수함수 $\times$ 삼각함수 꼴의 적분을 마주하게 된다.

당황하지 않고 한 번 더 같은 법칙을 적용하여 부분적분을 해보자.

$$\begin{array}{rl}\int e^x\cos xdx=& e^x\cos x-\int e^x\cdot (-\sin x)dx\\ =& e^x\cos x+\int e^x\sin xdx\end{array}$$

이 결과를 대입하면

$$\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin xdx$$

$\int e^x\sin xdx$ 가 다시 나와서 이를 넘겨 정리할 수 있게 되었다.

따라서 정리하면 다음과 같다.

$$\int e^x\sin xdx={\displaystyle \frac{e^x}{2}}(\sin x-\cos x)+C$$

 

예제 4

다음 적분을 계산하라
$${\int }_0^1{\tan }^{-1}xdx$$

블로그에 연재중인 미적분학 시리즈에서 역삼각함수를 아직 설명 안했지만

LIATE 법칙 때문에 미리 가져온 문제이다.

${\tan }^{-1}x=1\cdot {\tan }^{-1}x$ 이므로 LIATE 법칙에 따라 ${\tan }^{-1}x$ 를 미분할 함수로 잡자.

${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\tan }^{-1}x={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$ 이므로

$${\int }_0^1{\tan }^{-1}xdx={[x{\tan }^{-1}x]}_0^1-{\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}dx$$

 

우변의 두 번째 항의 적분을 계산하기 위해 $x^2+1=u$ 로 치환하면 $xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}du$ 이다.

구간은 $x\in [0,1]$ 에서 $u\in [1,2]$ 로 바뀐다. 따라서 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}dx=& {\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_1^2{\displaystyle \frac{1}{u}}du\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{[\ln |u|]}_1^2\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 2\end{array}$$

결과를 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{\tan }^{-1}xdx=& {[x{\tan }^{-1}x]}_0^1-{\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}dx\\ =& {\tan }^{-1}1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 2\\ =& {\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{\ln 2}{2}}\end{array}$$